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例谈数学新教材中的数学史
例谈数学新教材中的数学史
广州大学理学院数学系卢建川
摘要：
本文主要选取新教材北京师范大学、华东师范大学出版的数学教科书中的阅读材料与读一读中有关数学史的问题进行简单分析、拓展。
关键词：
欧拉公式多面体黑洞数皮克公式格点面积
正文
一、“数学史选讲”的主要形式
二、数学发展简史
三、例谈数学新教材中的数学史
（一）、欧拉公式
1、欧拉公式的相关史料及其发现过程
2、欧拉定理
3、欧拉示性数
4、研究简单多面体欧拉定理的重要意义
5、欧拉公式的应用
（二）、黑洞数的种种
1、黑洞数6174、495……
2、黑洞数375889和1、371、370、407、153等
16145
42042
3、黑洞数4→2→1→4→2→1
4、黑洞数123
5、黑洞数0
（三）、皮克公式
1、皮克公式
2、皮克公式的应用
附：
1、蜂房问题
2、圆锥曲线的实际背景
3、数列求和的思想与方法
4、
的近似求值
一、“数学史选讲”的主要形式
1、设置“数学史选讲”的必要性
数学发展的历史是一部内容丰富、思想深刻的历史。
通过生动、丰富的事例，使学生了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，
有助于学生对数学的全面认识和了解，
有助于学生对数学在人类社会的发展中所发挥作用的了解，
有助于学生对科学技术、社会、政治、经济等方面对数学发展所起的作用的了解，
有助于学生学习数学兴趣的培养，
有助于学生感受数学家的严谨和锲而不舍的探索精神。
2、处理好“数学史选讲”的两个要求的关系
一方面，不要求学生系统学习数学史，不必追求整个数学或某个分支发展历史的系统性和完整性，通过学生容易理解的内容、生动活泼的语言和喜闻乐见的事例呈现数学发展历史的一些过程，使学生体会数学的重要思想和发展轨迹。
另一方面，绝非将一个数学家的故事或一项数学发展中的曲折事例放到某一教学内容的后面那么简单，而是要求将数学的发展历史有计划、有目的、和谐地与数学教育内容进行整合。
二、数学发展简史
（一）数学的萌芽时期（前3500年---前600年）
古埃及数学、古巴比伦数学、古印度数学、古中国数学
（二）初等数学时期（前600年---17世纪中叶）
希腊文明时期
（雅典时期：
爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派）
（亚历山大前期：
欧几里德、阿基米德、阿波罗尼斯）
（亚历山大后期：
海伦、丢番图）
东方数学
（中国古代数学的高度发展：
）
（印度数学：
）
（阿拉伯数学）
中世纪和文艺复兴时期的欧洲数学
（斐波那契）
（三次和四次方程、韦达、三角学、小数和对数）
（三）变量数学时期（17世纪中叶---19世纪20年代）
变量数学建立
（笛卡儿和解析几何的创建、费尔马、射影几何、）
微积分的发明
变量数学的发展
（四）近代数学时期（19世纪20年代----1945年）
高等微积分的发展
形形色色的几何学
各种各样的代数
分析的算术化
希尔伯特和哥廷根学派
（五）现代数学时期
应用数学
数学
计算机数学
数学哲学
三、例谈数学新教材中的数学史
（一）、欧拉公式
（一）欧拉公式的相关史料及其发现过程
古希腊的毕达哥拉斯学派对正多面体进行过许多研究，因为在柏拉图的唯心主义体系中，它们被认为是可以作为宇宙基石的最简单的理想物体。
这些结果被收入了《几何原本》中，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
欧几里得曾试图证明只有这五种正多面体，但未能成功。
这一问题的解决，完全不同于我们平时所习惯的几何方法，它不是依靠度量的量（长度、面积、体积角度等），而是依靠简单的算术量——多面体的面数、棱数和顶点数之间的内在关系。
17世纪法国著名数学家笛卡儿已经注意到：
任意的封闭多面体的面、棱、顶点的数目之间存在一定的关系，以图1中的正多面体为例列表
（图1）
正多边形
顶点数（v）
面数（F）
棱数（E）
正四边形
4
4
6
正六边形
8
6
12
正八边型
6
8
12
正十二边形
20
12
30
正二十边形
12
20
30
（表1）
从五个正多面体我们发现了：
V+F-E=2,那么这个规律适合哪些多面体呢？
到1750年，瑞士的数学家欧拉发现,不论什么形状的凸多面体，其顶点数v、棱数e、面数f之间总有v-e+f=2这个关系。
v-e+f被称为欧拉示性数。
这就是后人以他名字命名的“欧拉公式定理”。
欧拉定理：
简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F之间有关系
V＋F－E＝2
这个定理叫做欧拉定理。
其关系式叫做欧拉公式。
这个欧拉公式的严格证明是由18世纪最著名的数学家欧拉给出的。
它也是这种非度量的几何学——拓扑学的历史上第一定理，这公式的证明方法是新颖而巧妙的，与我们所熟悉的度量的几何学的证明大不相同。
下面我们先来简单介绍一下多面体的变形与简单多面体的概念，然后再对上述关系式给出证明。
我们考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面。
（如图2）
（图2）
像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体．棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体．
（二）欧拉定理验证
下面以立方体为例加以证明
方法1：
逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E
如图3（是立方体，但证明是一般的，是“拓扑”的）：
（1）把多面体（图3）看成表面是薄橡皮的中空立方体。
（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图4的样子。
假设F′、E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形（面）、边和顶点的个数，我们只须证明V′＋F′－E′＝1。
（图3）
（图4）
（图5）
（3）对这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图5的样子。
每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以V′＋F′－E′不变。
因此完全分割成三角形的时候，V′＋F′－E′的值仍然没有变，有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
（图6）
（图7）
（图8）
（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图6的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即BC，这样也就去掉了△ABC。
这样F′和E′各减去1而V′不变，
所以V′＋F′－E′也没有变。
（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图7的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样也就去掉了△DEF。
这样F′减1，E′减2，V′减1，因此V′＋F′－E′仍然没有变。
（6）继续这样进行，直到只剩下一个三角形为止，像图8的样子。
这时F′＝1，E′＝3，V′＝3，因此V′＋F′－E′＝3＋1－3＝1。
（7）最后加上去掉的一个面，得到V＋F－E＝2
因为对任意的简单多面体，运用这样的方法，最后都会只剩下一个三角形，所以都可得到上面的结果，从而，欧拉公式对任何简单多面体都是成立的。
方法2：
计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V，面数F，棱数E。
剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和Σα
一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：
Σα=[（n1-2）·1800+（n2-2）·1800+…+（nF-2）·1800]
=（n1+n2+…+nF-2F）·1800
=（2E-2F）·1800 =（E-F）·3600
（1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为（n-2）·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。
中间V-n个顶点处的内角和为（V-n）·3600，边上的n个顶点处的内角和（n-2）·1800。
所以，多面体各面的内角总和：
Σα=（V-n）·3600+（n-2）·1800+（n-2）·1800=（V-2）·3600.
（2）
由
（1）
（2）得：
（E-F）·3600=（V-2）·3600
所以V+F–E=2.
（三）欧拉示性数
在欧拉公式中，令f（p）＝V＋F－E，f（p）叫做欧拉示性数。
上述多面体欧拉定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f（p）=2．
除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。
例如，将长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体（图9）。
它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。
此多面体的欧拉示性数f（p）＝0。
（图9）
从以上分析，我们可看到不同类型的多面体，它们的欧拉示性数也不同。
事实上，数学家欧拉也正是在研究多面体分类时发现欧拉定理的。
（四）研究简单多面体欧拉定理的重要意义
我们研究简单多面体欧拉定理到底有什么重要意义呢？
1、过去我们研究的几何问题主要涉及到长度、距离、面积、体积等度量问题，而欧拉定理与度量无关。
事实上我们在引导大家进入一个新的几何学领域：
拓扑学．我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮泥）做成图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
2、这个欧拉公式在中学的教科书里曾多次出现，例如华东师大出版的七年级上册的第四章中的阅读材料，北师大出版的七年级上册的第一章里的读一读，高中第四册，为避免老师无言以答学生的发问“有正的奇数面体吗？
”，所以在这里给大家介绍欧拉公式。
（五）欧拉公式的应用
例1：
为什么正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种多面体呢？
让我们由欧拉定理研究这个问题。
解：
设一个正多面体有V个顶点，E条棱，F个面。
并且它的每一个面都是n（n≥3）边形,而且每个顶点都是m（m≥3）条棱的公共端点。
因为E条棱的每一条棱是两个n边形的公共边，又因为F个n边形的边数总和为nF，则有
nF＝2E…………………
（1）
又因为每一条棱上有两个端点（顶点），而已知每一个顶点都有m条棱，所以V个顶点总棱数为mV，则有
mV＝2E……………………
（2）
根据欧拉定理，又有V＋F－E＝2。
将这个式子的两端都乘以2m后，得
2mV＋2mF－2mE＝4m……………………（3）
利用
（1）、
（2）两式得到
2mV＝2（2E）＝2nF,2mE＝mnF
再把这两项代入（3）中，有
（2n＋2m－mn）F＝4m
因为这式子中的F和m都是正数故有
mn－2n－2m＜0
即
（n－2）（m－2）＜4
又因为m≥3，n≥3
所以很容易解得：
3≤m≤5．3≤n≤5．
因此满足这个不等式组合的n与m只可能是下表中所列出的5种取值。
每个面的边数（n）
每个顶点的数（m）
多面体的棱数（E）
多面体的名称
3
3
6
正四面体
4
3
12
正六面体
3
4
12
正八面体
5
3
30
正十二面体
3
5
30
正二十面体
（表2）
这就说明了为什么正多体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种。
例2：
欧拉定理在研究化学分子结构中的应用
下面再让我们看看欧拉定理在研究化学分子结构中的应用。
1996年的诺贝尔化学奖授予对发现
有重大贡献的三位科学家。
如图，
是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体。
这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出
中有多少个五边形和六边形吗？
解：
设
分子中五边形和六边形的个数分别为x个和y个。
分子这个多面体的顶点数V＝60，面数F＝x＋y，
棱数E＝3×60÷2
根据欧拉公式，可得
60＋（x＋y）－3×60÷2＝2………………
（1）
另一方面，棱数也可由多边形的边数之和来表示（注意重复计算）
于是，又得
5x+6y＝3×60……………………
（2）（图10）
解方程
（1）和
（2）组成的方程组，得
x＝12，y＝20
例3：
足球的构造
常见的足球（图3）是由若干块黑色和白色的两种皮缝制而成的。
所有黑块可以近似地看成全等的正五边形，所有白块可以近似地看成全等的正六边形。
这样，足球可以近似地看作一个多面体，下文中我们称之为“足球”。
现在我们来研究“足球”是由多少个黑块和多少个白块组成的，分别有多少个面、顶点和棱。
观察“足球”，不难发现以个特点：
每个黑块与5个白块相邻，每个白块与黑块的3条棱相关联，“足球”的每一个顶点恰好是黑块的一个顶点，等等。
设“足球”的黑块数、白块数、面数、顶点数、棱数分别为x、y、F、V、E，则x＋y＝F，5x＝3y，3V＝2E，V＝5x。
于是， y=
x,E=
V=
x.应用欧拉定理，有x+
x+5x-
x=2，解之得，x=12。
从而y=20,F=32,V=60,E=90.所以，“足球”是由12个黑块（正五边形）和20个白块（正六形）组成的，有32个面，60个顶点，90条棱。
“足球”的32个面包含两种正多边形，可以把它看作一种“准正多面体”。
我们来考察“足球”与正二十面体的关系。
正二十面体的每个面是正三角形（图4），把每个正三角形的每条边3等分，顺次连结6个分点，把每个三角形分成一个正六边形和3个小正三角形（图5）。
这样，在正二十面体中，具有公共顶点的5个小正三角形构成一个正五棱锥的侧面，棱锥的顶点就是正二十面体的顶点，共有12个这种小正五棱。
截去这12个小正五棱，保留底面正五边形（图6显示了截去3个小正五棱锥的情形），剩下的多面体就是“足球”。
原二十面体所有面剩下的20个正六边形就是“足球”的白块，被截去的12个小正五棱锥的底面就是“足球”的黑块。
二、黑洞数的种种
在银河系里有一个很大的黑洞，它的密度大的惊人。
只要进了黑洞就再也出不来了。
在数学里也有黑洞，就是黑洞数，黑洞数又称陷阱数，是一类具有奇特特性的整数，而且品种繁多，远远不止一个。
下面向大家介绍几个黑洞数.
（一）黑洞数6174
请你想出任意一个四位数，并且它的各个数位上的数字不全相同，例如1987,把这个四位数的四个数字由小至大排列，组成一个新数，又由大至小排列，组成一个新数，这两个数相减（大减小），之后重复这个运算（称为卡布列克运算），用式子描述这些卡氏运算如下：
9871－1789＝8082
8820－0288＝8532
8532－2358＝6174
7641－1467＝6174
一直运算下去，都是得到6174这个数。
这就好像掉进了6174这个黑洞里，再也出不来了。
有趣的是，除了1987外的任意一个四位数，只要4个数字不完全相同，重复多次卡氏运算，最后都是掉到6174这个洞里。
再例如：
7786
8776-6778=1998
9981-1899=7982
9872-2789=8082
8820－0288＝8532
8532－2358＝6174
7641－1467＝6174
最终得到的还是6174，我们把这个6174叫做四位数的黑洞数。
任意一个四位的正整数，只要它的四个数字不全相同，则至多进行7次卡氏运算，就会得到6174。
下面用程序验证一下这个四位数的黑洞数。
sub（i）
inti;
{intp,kj,h,max,min,a[5];
a[1]=i/1000;a[2]=（i/100）%10;
a[3]=（i%100）/10;
a[4]=i%10
for（a=1;a<=3;a++）
for（b=a+1;b<=4;b++）
if{（a[a]<=9999;n++）
{i=n;m=0;
while（i!
=6174&&i!
=0）
{i=sub（i）;m++;}
if（m>y）y=m;}
pintf（"\n验证全可转换最多转换次数为:
%d\n",y）;
printf（"需要看某数的转换过程,请输入该数,否则输入0:
"）;
scanf（"%d",&i）;
if（i=0）exit（0）;
printf（"%d",i）;
while（!
=6174&&i!
=0）
{i=sub（i）;printf（"->%d",i）;}
}
注：
四位数i的四个数字全同，一次即转为0。
如果用程序来检验这个黑洞数6174对所有的四位数都成立，要逐个输入四位数进行检验，工作量很大，至少要进行9000次，这是很费神的。
因为四位数很多，对卡氏运算来说，检验了一个数（如2687），就相当于检验了24个四位数（2687，2678，2768，2786，2867，2876，6278，6287，6728，6782，6827，6872，7268，7286，7628，7682，7826，7862，8267，8276，8627，8672，8726，8762），这是因为这24个数的组成数字是一样的，只不过排列顺序不同。
这就是卡布列克运算的基本性质。
依据此性质，工作量变为原工作量的
。
但依然要检验375次。
下面给大家介绍一个用字母代表数的代数思想方法，这会大大减少检验的工作量。
设a,b,c,d是组成一个任意四位数的数字，并设d≤c≤b≤a（a＝b＝c＝d除外），对此四位数进行一次卡氏运算
abcd
－dcba
xytz
其中z＝10＋d－a,（∵d＜a）
t＝（c－1）＋10－b＝c－b＋9,
y＝（b－1）＋10－c＝b－c＋9,或y＝（b－1）－c
x＝（a－1）－d＝a－d－1.或x＝a－d
由此得到t＋y＝18t＝y＝9或t＋y＝8
x＋z＝9x＋z＝9x＋z＝9……………（☆☆）
这（☆☆）式说明了，对任何一个四位数abcd进行一次卡氏运算后，所得差是一个四位数（x＝0时也视为四位数），它的十位数字和百位数字都是9，千位和个位的数字和等于9；或它的十位数字和百位数字和为8，千位和个位的数字和等于10。
这样一来，检验工作又大大地简化了——只要检验以下四位数：
9990，8991，7992，6993，5994；9801，9711，…，9081，8802，8712，…，1089就可以了。
由于9990－0999＝8991
9981－1899＝8082
8082－0288＝8532
8532－2358＝6174；
9972－2799＝7173
7731－1377＝6354
6543－3456＝3087
8730－0378＝8352
8532－2358＝6174；
9963－3699＝6264
6642－2466＝4176
7641－1467＝6174；
9954－4599＝5355
5553－3555＝1998
9981－1899＝8082
8082－0288＝8532
8532－2358＝6174；…..
所以全部的四位数得到了检验，这是一个巧妙的证明。
除了四位数，两位数、三位数也有黑洞数，对两位数和三位数，用这个办法最终将分别得到一个循环（27，45，09，81，63）和495。
也即两位数、三位数的黑洞数分别是一个循环（27，45，09，81，63）和495，五位数也有类似的性质，但数字是不断地循环变换，而不是停留在某个数值，「黑洞」也不只一个。
（注：
对两位数和三位数的黑洞数的验证，也可效仿上面四位数的证明方法，这里我不再对两位数和三位数进行详细的证明。
）
接下来讲一讲有关这一类黑洞数的研究情况。
两百多年前，美国数学家卡布列克（D.R.Kaprekar）研究了对四位数的一种变换。
任给出四位数k0,用它的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m,再减去它的反序数rev（m）,得出数k1=m-rev（m）,然后,继续对k1重复上述变换,得出数k2.如此进行下去,卡布列克发现,无论k0是多大的四位数,
只要四个数字不全相同,最多进行7次上述变换,就会出现四位数6174。
例如：
k0=5298,k1=9852-2589=7263,k2=7632-2367=5265,k3=6552-2556=3996,k4=9963-3699=6264,k5=6642-2466=4176,k6=7641-1467=6174.。
后来,这个问题就流传下来,人们称这个问题为"6174问题",上述变换称为卡布列克变换,简称K变换.。
一般地,只要在0,1,2,...,9中任取四个不全相等的数字组成一个整数k0（不一定是四位数）,然后从k0开始不断地作K变换,得出数k1,k2,k3,...,则必有某个m（m=<7）,使得km=6174.
更一般地,从0,1,2,...,9中任取n个不全相同的数字组成一个十进制数k0（不一定是n位数）,然后,从k0开始不断地做K变换,得出k1,k2,...,那么结果会是怎样的呢?
现在已经知道的是：
n=2,只能形成一个循环:
（27,45,09,81,63）.例如取两个数字7与3,连续不断地做K变换,得出：
36,27,45,09,81,27,...出现循环；
n=3,只能形成一个循环：
（495）；
n=4,只能形成一个循环：
（6174）；
n=5已经发现三个循：
（53855,59994）,（62964,71973,83952,74943）,（63954,61974,82962,75933）；
n=6,已经发现三个循环：
（642654,...）,（631764,...）,（549945,...）；
n=7,已经发现一个循环：
（8719722,...）；
n=8,已经发现四个循环：
（63317664）,（97508421）,（83208762,...）,（86308632,...）；
n=9,已经发现三个循环：
（864197532）,（975296421,...）,（965296431,...）；
容易证明,对于任何自然数n>=2,连续做K变换必定要形成循环。
这是因为由n个数字组成的数只有有限个的缘故。
但是对于n>=5,循环的个数以及循环的长度（指每个循环中所包含数的个数）尚不清楚,这也是国内一些数学爱好者热衷于研究的一个课题.。
（二）黑洞数375889和1、371、370、407、153等
16145
42042
我们随便选一个数，例如1234。
把这个数的各位数字平方，然后相加，即：
12＋22＋32＋42＝30，这样就变为30，接下来将30这个数的各位数字平方，再相加，即：
32＋02＝9，按照上面的规则，不断重复……就会得到：
1234309816561375889
16145
42042
这些数又掉进了一个漩涡黑洞，再也出不来了。
再看168
168101241637
2058
4214589
同样的168也掉进了这个漩涡黑洞。
但是，在这里要指出的是有些数按照上面的规则进行变换的话，则是以“1”为归宿。
例如1995变换的情况如下：
1995188129861001
同样的：
对任意的数，求其各数字立方和，经过有限步后必为1或407或153或371或370或进入下图的循环之一。
1362449191459
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