导数练习题及答案.docx

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导数练习题及答案

.

章末检测

一、选择题

1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是（）

A．（－1,3）B．（－1，－3）

C．（－2，－3）D．（－2,3）

答案B

解析∵f′（x）＝2x＋2＝0，∴x＝－1.

f（－1）＝（－1）2＋2×（－1）－2＝－3.∴M（－1，－3）．

2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为（）

A．（－∞，－1）及（0,1）

B．（－1,0）及（1，＋∞）

C．（－1,1）

D．（－∞，－1）及（1，＋∞）

答案A

解析y′＝4x3－4x＝4x（x2－1），令y′<0得x的范围为（－∞，－1）∪（0,1），故选A.

3．函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于（）

A．2B．3

C．4D．5

答案D

解析f′（x）＝3x2＋2ax＋3.由f（x）在x＝－3时取得极值，

即f′（－3）＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.

1

4．函数y＝ln|x＋1|的大致图象为（）

.

.

答案D

解析函数的图象关于x＝－1对称，排除A、C，当x＞－1时，y＝－ln（x＋1）为减函数，

故选D.

5．二次函数y＝f（x）的图象过原点，且它的导函数y＝f′（x）的图象过第一、二、三象限的

一条直线，则函数y＝f（x）的图象的顶点所在象限是（）

A．第一B．第二

C．第三D．第四

答案C

解析∵y＝f′（x）的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f（x）的图象必然先下降再

上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．

6．已知函数f（x）＝－x3＋ax2－x－1在（－∞，＋∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是

（）

A．（－∞，－3）B．[－3，3]

C．（3，＋∞）D．（－3，3）

答案B

解析f′（x）＝－3x2＋2ax－1≤0在（－∞，＋∞）恒成立，＝4a2－12≤0?

－3≤a≤3.

7．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0等于（）

A．e2B．ln2

ln2

C.D．e

2

答案D

解析f′（x）＝x·（lnx）′＋（x）′·lnx＝1＋lnx.

∴f′（x0）＝1＋lnx0＝2，

∴lnx0＝1，

∴x0＝e.

1

8．设函数f（x）＝3x－lnx（x＞0），则y＝f（x）（）

1

A．在区间（e，1）（1，e）内均有零点

1

B．在区间（e，1），（1，e）内均无零点

1

C．在区间（e，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点

1

D．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点

.

.

答案C

x－3

解析

由题意得f′（x）＝

3x，令f′（x）＞0得x＞3；令f′（x）＜0

得0＜x＜3；f′（x）

＝0

得x＝3，故知函数

f（x）在区间（0,3）

上为减函数，在区间

（3，＋∞）为增函数，在点x

1

e

1

1

＝3处有极小值1－ln3＜0；又f

（1）＝3＞0，f（e）＝3－1＜0，f（e）＝3e＋1＞0.

sin

θ

3

3cos

θ2

5π

9．设函数f（x）＝

3

x

＋

2

x＋tan

θ，其中θ∈[0，12]，则导数f′

（1）的取值范

围是（

）

A．[－2,2]

B

．[

2，3]

C．[3，2]D．[

2，2]

答案

D

解析

∵f′（x）＝x2sin

θ＋x·3cos

θ，

∴f′

（1）＝sin

θ＋

3cos

θ＝2（

1

θ＋

3

cosθ）

sin

2

2

π

＝2sin（θ＋3）．

∵0≤θ≤

5π

π

π

3π

12

，∴≤θ＋≤

，

3

3

4

2

≤sin（

π

2≤2sin（

π

∴

θ＋）≤1.∴

θ＋）≤2.

2

3

3

10．方程2x3－6x2＋7＝0在（0,2）

内根的个数有（）

A．0B．1

C．2D．3

答案

B

解析令

f

（

x

）＝23－62

＋7，

x

x

∴f′（x）＝6x2－12x＝6x（x－2），

由f′（x）＞0得x＞2或x＜0；由f′（x）＜0得0＜x＜2；又f（0）＝7＞0，

f

（2）＝－1＜0，∴方程在（0,2）内只有一实根．

二、填空题

11．若曲线y＝kx＋lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k＝______.

答案－1

1

解析求导得y′＝k＋x，依题意k＋1＝0，

所以k＝－1.

12．已知函数f（x）＝－x3＋ax在区间（－1,1）上是增函数，则实数a的取值范围是________．

.

.

答案a≥3

解析

由题意应有

f

′（

x

）＝－3

x

2＋

≥0，在区间（－1,1）

上恒成立，则

≥3

2，

∈（－1,1）

a

ax

x

恒成立，故a≥3.

13．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：

y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知

曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．

答案（2,15）

解析y′＝3x2－10＝2?

x＝±2，又点P在第二象限内，∴x＝－2，得点P的坐标为（－2,15）14．函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2，在x＝1时有极值10，那么a，b的值分别为________．

答案4，－11

解析f′（x）＝3x2＋2ax＋b，f′

（1）＝2a＋b＋3＝0，

f

（1）＝a2＋a＋b＋1＝10，

2a＋b＝－3

，

a＝－3

，或

a＝4

，当a＝－3时，x＝1不是极值点，a，b的

2

＋＋＝9

b

＝3

b

＝－11

a

ab

值分别为4，－11.

三、解答题

2

3

3

2

6

15．设3

（x）＝x

－2ax＋b（－1≤x≤1）

的最大值为

1，最小值为－

2，求常数

a，b.

解令f′（x）＝3x2－3ax＝0，

得

x

1＝0，

2＝.

x

a

a3

3

f（0）＝b，f（a）＝－2＋b，f（－1）＝－1－2a＋b，

3

f

（1）＝1－2a＋b

23

因为3

故最大值为f（0）＝b＝1，

33

所以f（x）的最小值为f（－1）＝－1－2a＋b＝－2a，

3

6

6

所以－2a＝－

2

，所以a＝

3.

6

故a＝3，b＝1.

3

1

1

16．若函数f（x）＝4x

－ax＋3在[－2，2]上是单调函数，则实数

a的取值范围为多少？

.

.

解

f′（x）＝12x2－a，若f（x）在[－

1，1

]上为单调增函数，则

f′（x）≥0在[－

1，1

]上恒

2

2

2

2

成立，

即12x2－a≥0在[－1，1]上恒成立，

22

∴a≤12x2在[－1，1]上恒成立，∴a≤（12x2）min＝0.22

当a＝0时，f′（x）＝12x2≥0恒成立（只有x＝0时f′（x）＝0）．∴a＝0符合题意．

11

若f（x）在[－2，2]上为单调减函数，

11

则f′（x）≤0，在[－，]上恒成立，

22

即12x2－a≤0在[－1，1]上恒成立，

22

∴a≥12x2在[－1，1]上恒成立，

22

∴a≥（12x2）max＝3.

2

2

－1）

1

当a＝3时，f′（x）＝12x－3＝3（4x

≤0恒成立（且只有x＝±时f′（x）＝0）．

2

因此，a的取值范围为

a≤0或a≥3.

17．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池

（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为

r米，高

为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为

100

元/平方

米，底面的建造成本为

160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为

12000π元（π为圆周率）．

（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

解

（1）因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh（元），底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为（200πrh＋160πr2）元．

又根据题意200πrh＋160πr2＝12000π，

12

所以h＝（300－4r），

从而（

2

π

r

－4

r

3

）＝π

＝（300

）．

Vr

r

h

5

因为r>0，又由h>0可得r<5

3，

故函数V（r）的定义域为（0,5

3）．

（2）因为

（

π

r

3

，

）＝

（300

－4）

Vr

5

r

.

.

π2

故V′（r）＝5（300－12r）．

令V′（r）＝0，解得r1＝5，r2＝－5（因为r2＝－5不在定义域内，舍去）．

当r∈（0,5）时，V′（r）>0，故V（r）在（0,5）上为增函数；

当r∈（5,53）时，V′（r）<0，故V（r）在（5,53）上为减函数．

由此可知，V（r）在r＝5处取得最大值，此时h＝8.

即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．

17．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/

133

时）的函数解析式可以表示为：

y＝128000x－80x＋8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100

千米．

（1）当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？

最少为多少升？

（1）当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了

100

解

40＝2.5小时，

1

3

3

要耗油（128000×

40

－80×40＋8）×2.5＝17.5（

升）．

（2）

当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了

100

h（x）升，

x小时，设耗油量为

依题意得（

）＝（

1

3

3

＋8）.

100

1

2

800

15

≤120），

－

80x

x

＝

1280x

＋

x

－

（0＜

hx

128000x

4

x

h′（x）＝x－

800

3－803

x

2

＝x

2

（0＜x≤120）．

640

640x

令h′（x）＝0，得x＝80.

当x∈（0,80）时，h′（x）＜0，h（x）是减函数；

当x∈（80,120）时，h′（x）＞0，h（x）是增函数．

∴当x＝80时，h（x）取到极小值h（80）＝11.25.

因为h（x）在（0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．

答当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油

17.5升．当汽车以

80千米

/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为

11.25

升．

1

3

1

18．已知函数f（x）＝3x－aln

x－3（a∈R，a≠0）．

（1）当a＝3时，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的单调区间；

（3）若对任意的x∈[1，＋∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范围．

解

（1）当＝3时，

f

（

x

）＝1

3－3ln

x

－1，

（1）＝0，

a

3x

3f

.

.

2

3

∴f′（x）＝x

－x，∴f′

（1）＝－2，

∴曲线

y

＝

f

（

x

）在点（1，

f

（1））处的切线方程2

＋

－2＝0.

x

y

（2）f′（x）＝

2a

x3－a

x

－＝

x

（x＞0）．

x

x3－a

①当a＜0时，f′（x）＝

x

＞0恒成立，函数

f（x）的递增区间为（0，＋∞）．

②当a＞0时，令f′（x）

＝0，解得x＝

3

a或x＝－

3a（舍）.

x

3

3

a

3

（0，a）

（a，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

f（x）

减

极小值

增

∴函数

f

（

）的递增区间为

（3

，＋∞），递减区间为（0，3

）

x

a

a

（3）对任意的x∈[1，＋∞），使f（x）≥0

成立，只需对任意的

x∈[1，＋∞），f（x）min≥0.

1

1

①当a＜0时，f（x）在[1，＋∞）上是增函数，∴只需

f

（1）≥0，而f

（1）＝3－aln1

－3＝0，

∴a＜0满足题意，

3

1

②当0＜a≤1

时，0＜a≤1，f（x）在[1，＋∞）上是增函数，∴只需f

（1）≥0而f

（1）

＝3－

1

aln1－3＝0，

∴0＜a≤1满足题意；

3

3

3

3

a）≥0

③当a＞1时，a＞1，f（x）在[1，a]上是减函数，[

a，＋∞）上是增函数，∴只需f（

即可，而f（

3

a）＜f

（1）＝0，∴a＞1不满足题意；

综上，a∈（－∞，0）∪（0,1]

．

.