肋片散热数值计算.docx
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肋片散热数值计算
肋片散热数值计算
2016年12月
一、题目------------------------------------------3
二、数值计算--------------------------------------4
（1）网格划分-----------------------------------4
（2）节点方程-----------------------------------5
（3）计算方式-----------------------------------6
（4）计算结果-----------------------------------6
（5）温度分布云图-------------------------------7
（6）误差分析-----------------------------------10
三、结论------------------------------------------10
四、程序------------------------------------------11
五、参考文献--------------------------------------15
一、题目
肋片优化问题
考虑三种不同形状的肋片，如图所示。
材料均为硬铝，热导率为
，肋根半厚度为4mm，肋高为25mm。
对于梯形肋和圆弧边肋，最右端的平面部分半厚度为1mm，且圆弧在最右端的切线为水平线。
肋根温度
即227℃，肋外流体温度
即27℃，表面对流换热系数为
。
试编程求解每种肋片的温度分布及散热量，并讨论肋片形状对散热量、材料需求量的优劣。
散热量17115W15605W14726W
截面面积200mm2125mm2101mm2
q/A85.6124.8145.8
肋顶温度367K（94℃）355K（82℃）342K（69℃）
二、数值计算
鉴于肋片对称，因此只研究上半部分即可，肋半厚度处可以按绝热处理。
（1）网格划分
如图所示，用方格逼近曲面边界（三种形状的肋片都这样处理），即用图中蓝色网格边界来替代红色实际边界。
网格在边界处的取法用以下规则：
对于第i列节点，如果其中的第j个节点在红线上方或者恰好在红线上，并且第j-1个节点在红线下方或者正好在红线上，那么就取第j个节点作为第i列上的边界节点，最后把所有边界节点连成锯齿状得到用方格逼近的边界（蓝色边界）。
网格间距delta在运行程序时输入。
（建议值0.1mm，如果输入的值过大，那么计算结果不精确；输入值过小则程序需要很长时间才能算出结果）
（2）、节点方程
内部节点
肋根
换热面
传热量Q按照肋根部的导热量计算，忽略根部y方向上的温度梯度（根据程序的运行结果来看，这种近似是合理的，对结果的影响很小），由求得的温度数据，在根部用（t（j,1）-t（j,2））/delta作为温度梯度，（由于程序的原因，这里t（j,1）表示第1列第j个温度值）再用温度梯度乘上微元面积delta*1（为计算方便，肋宽取为1m），然后把所有的值求和，就得到从肋根部导出的热量。
因为只研究上半部分，求出的散热量只有一半，再乘2即可。
具体到程序中所使用的节点方程，一共有一下11类
（3）、计算方式
简单迭代法，矩形肋片允许误差取为10^（-6），梯形肋片和圆弧形肋片的允许误差取为10^（-4）。
（4）、计算结果
肋片形式
允许误差e
网格间距
散热量Q
肋端温度
截面面积A
Q/A
矩形肋片
10^（-6）
0.1mm
17394
96.2
200
86.97
梯形肋片
10^（-4）
0.1mm
15107
75.6
125
199.93
圆弧形肋片
10^（-4）
0.1mm
14758
65.1
101
146.12
（5）、温度分布云图
矩形肋片温度分布
梯形肋片温度分布
圆弧形肋片温度分布
（6）、误差分析
由于用矩形边界代替曲面边界，导致截面周长增加，所以在程序中引入修正项L/L0，其中L为实际对流换热边界长度，L0为网格对流换热边界长度，将求得的热量乘上该修正项，能够减小误差。
修正步骤已经写入程序。
三、结论
经过反复测试，发现对于矩形肋片，只要设置的允许误差e足够小，迭代求得的肋端温度值基本不受网格间距大小的影响，但是求得的散热量对网格间距比较敏感，当网格间距设为0.1mm，允许误差e=0.000001时，结果已经基本准确。
对于变截面肋片，即梯形和圆弧形肋片，测试发现求得的散热量Q和肋端温度对e和间距delta都很敏感；发现设置同样的e值，即e=0.0001，delta=0.1mm时，求得肋端温度75.7℃；delta=0.05mm时，求得的肋端温度反而变小了，68℃。
但是可以预见，当e和delta取的都足够小时，求得的散热量和肋端温度将会越来越接近，但是鉴于将e和delta同时取很小，程序将运行很长时间，所以不再尝试。
对比计算结果可见，其实三种截面的肋片散热量差别不是很大，但是其Q/A值却差很大，也就是说矩形截面肋片用料比较多，而圆弧形、梯形肋片比较省材。
但是也看到，虽然圆弧形肋片省材，但其肋端温度较低，也就是说肋端的散热温差较小，这其实也是一种材料利用不充分的体现。
本题目属于给定换热系数h和导热系数λ的情况，而我们知道，肋片效率ηf=th（ml）*m,m=
因此肋片的效率取决于肋片的周长与面积比。
四、程序
矩形肋片程序juxingleipian.m
functionjuxingleipian
h=2800;%对流换热系数
lamda=187;%导热系数
sprintf（'输入网格间距delta，单位为mm,建议值0.1或0.2（其中0.2运行时间较短）'）
delta=input（'delta='）;%输入网格间距，单位mm
delta=0.001*delta;
xnum=0.025/delta;%x轴划分数
ynum=0.008/delta;%y轴划分数
tf=300-273;%流体温度
t0=500-273;%肋根温度
x=zeros（ynum+1,xnum+1）;t=zeros（ynum+1,xnum+1）;w=zeros（ynum+1,xnum+1）;c=0;
sprintf（'输入迭代允许误差e，（若delta输入0.2，则e的建议值为10^-6）当两次迭代之间的误差小于该数时，停止迭代'）
e=input（'e='）;%输入允许误差
fori=1:
ynum+1;j=1:
xnum+1;t（i,j）=100;end;%任意假定一组初始温度值
y=1;
whiley==1
forj=2:
xnum;x（1,j）=（2*t（2,j）+t（1,j+1）+t（1,j-1）+2*h*delta*tf/lamda）/（4+2*h*delta/lamda）;end;%节点方程
forj=2:
xnum;x（ynum+1,j）=（2*t（ynum,j）+t（ynum+1,j+1）+t（ynum+1,j-1）+2*h*delta*tf/lamda）/（4+2*h*delta/lamda）;end;%节点方程
fori=1:
ynum+1;x（i,1）=t0;end;%节点方程
fori=2:
ynum;x（i,xnum+1）=（2*t（i,xnum）+t（i+1,xnum+1）+t（i-1,xnum+1）+2*h*delta*tf/lamda）/（4+2*h*delta/lamda）;end%节点方程
fori=2:
ynum;j=2:
xnum;x（i,j）=（t（i,j-1）+t（i,j+1）+t（i-1,j）+t（i+1,j））/4;end;%节点方程
x（1,xnum+1）=（2*h*delta*tf/lamda+t（1,xnum）+t（2,xnum+1））/（2+2*h*delta/lamda）;%节点方程
x（ynum+1,xnum+1）=（2*h*delta*tf/lamda+t（ynum,xnum+1）+t（ynum+1,xnum））/（2+2*h*delta/lamda）;%节点方程
fori=1:
ynum+1;j=1:
xnum+1;w（i,j）=abs（x（i,j）-t（i,j））;end
if（max（max（w））<=e）%判断两次迭代的误差是否小于允许值
y=0;
end
t=x;c=c+1;
end
fori=1:
ynum+1;tidu（i）=（t（i,1）-t（i,2））/delta;end;%求肋根部温度梯度
Q=lamda*sum（tidu（1,:
））*delta%温度梯度与微元面积乘积求和，得到散热量
temp=t（ynum/2+1,xnum+1）
a=linspace（0,25,xnum+1）;
b=linspace（0,8,ynum+1）;
[aa,bb]=meshgrid（a,b）;
figure
mesh（aa,bb,t）;%温度分布图
figure
contourf（a,b,t,50）;
shadingflat
end
梯形肋片&&圆弧形肋片程序laddershaped.m
注：
本程序改变红色字的公式即可分别计算梯形肋片和圆弧形肋片
functionladdershaped
h=2800;%对流换热系数
r=634/6;%半径r
c=0;
lamda=187;%导热系数
tf=300-273;%流体温度
t0=500-273;%肋根温度
sprintf（'输入网格间距delta，单位为mm'）
delta=input（'delta='）;%输入网格间距，单位mm
sprintf（'输入设定的误差值，当两次迭代的误差小于该值时停止迭代'）;
wucha=input（'wucha='）;%输入设定的误差值
delta=0.001*delta;
xnum=0.025/delta;%x轴划分数
ynum=0.008/delta;%y轴划分数
t=zeros（ynum/2+1,xnum+1）;%设初始温度场为100℃
T=zeros（ynum/2+1,xnum+1）;
%下面要确定第i列对应的行数
i=1;
while（i<=xnum+1）%求出每一列的数据个数
y（i）=（-3*（i-1）*delta*1000+100）/25;%梯形肋片；肋片形状可以任意更改，只需写出不同截面的方程即可
%y（i）=（（-3*（i-1）*delta*1000-242）^（1/2）*（3*（i-1）*delta*1000-392）^（1/2））/3+320/3;%圆弧形肋片
forj=1:
ynum/2+1;y1（j）=（j-1）*delta*1000-y（i）;y2（j）=y1（j）-delta*1000;
if（y1（j）>=0&&y2（j）<=0）
z（i）=j;
end
end
i=i+1;%求下一列数据的个数
end
%下面是节点方程
p=1;
while（p==1）%从这里开始循环
forj=1:
ynum/2+1;T（j,1）=t0;end;%根部边界条件，第1类
fori=2:
xnum;T（1,i）=（t（1,i-1）+t（1,i+1）+2*t（2,i））/4;end;%第2类
T（1,xnum+1）=（t（1,xnum）+t（2,xnum+1）+h*delta*0.5*tf/lamda）/（h*delta*0.5/lamda+2）;%第3类
forj=2:
0.001/delta;i=xnum+1;T（j,i）=（2*t（j,i-1）+t（j+1,i）+t（j-1,i）+2*h*delta*tf/lamda）/（h*delta*2/lamda+4）;end;%第12类
i=2;
while（i>=2&&i<=xnum）
if（z（i）==z（i-1）&&z（i）==z（i+1））
T（z（i）,i）=（2*t（z（i）-1,i）+t（z（i）,i+1）+t（z（i）,i-1）+2*h*delta*tf/lamda）/（h*delta*2/lamda+4）;%第7类
elseif（z（i）==z（i-1）&&z（i）>z（i+1））
T（z（i）,i）=（t（z（i）-1,i）+t（z（i）,i-1）+2*h*delta*tf/lamda）/（2+2*h*delta/lamda）;%第6类
T（z（i）-1,i）=（t（z（i）,i）+t（z（i）-1,i+1）+2*（t（z（i）-2,i）+t（z（i）-1,i-1））+2*h*delta*tf/lamda）/（h*delta*2/lamda+6）;%第5类
elseif（z（i）==z（i+1）&&z（i-1）>z（i））
T（z（i）,i）=（2*t（z（i）-1,i）+t（z（i）,i+1）+t（z（i）,i-1）+2*h*delta*tf/lamda）/（h*delta*2/lamda+4）;%第8类
end
end
end
i=i+1;
end
i=xnum+1;
T（z（i）,i）=（t（z（i）-1,i）+t（z（i）,i-1）+2*h*delta*tf/lamda）/（2+2*h*delta/lamda）;%第4类
i=2;j=2;k=2;l=2;
while（i<=xnum）%纯导热部分的节点方程
if（z（i）==z（i-1）&&z（i）==z（i+1））
while（jT（j,i）=0.25*（t（j+1,i）+t（j-1,i）+t（j,i+1）+t（j,i-1））;%第9类
j=j+1;end;
elseif（z（i）==z（i-1）&&z（i）>z（i+1））
while（kT（k,i）=0.25*（t（k+1,i）+t（k-1,i）+t（k,i+1）+t（k,i-1））;%第10类
k=k+1;end;
elseif（z（i）==z（i+1）&&z（i-1）>z（i））
while（lT（l,i）=0.25*（t（l+1,i）+t（l-1,i）+t（l,i+1）+t（l,i-1））;%第11类
l=l+1;end;
end
end
end
i=i+1;j=2;k=2;l=2;
end
i=1;j=1;
while（i<=xnum+1）
while（j<=z（i））
e（j,i）=abs（T（j,i）-t（j,i））;
j=j+1;
end
i=i+1;j=1;
end
t=T;%把新的一组温度值赋值给t
ifmax（max（e））c=c+1;
end
fori=1:
ynum/2+1;tidu（i）=（t（i,1）-t（i,2））/delta;end;%求肋根部温度梯度
Q=lamda*sum（tidu（1,:
））*delta%温度梯度与微元面积乘积求和，得到散热量
%Qreal=2*Q/（25+3+1）*（25^2+3^2）^0.5;%梯形肋片的散热量
Qreal=2*Q*25.54859743/（25+3+1）;%圆弧形肋片的散热量
temp=t（1,xnum+1）;%求肋端部温度
temp
Qreal
a=linspace（0,25,xnum+1）;
b=linspace（0,4,ynum/2+1）;
[aa,bb]=meshgrid（a,b）;
figure
mesh（aa,bb,t）%温度分布图
figure
contourf（a,b,t,50）
shadingflat
sprintf（'参考值--矩形肋片：
17115W，94；梯形肋片：
15605W，82度；圆弧形肋片：
14726W，69度'）
end
五、参考文献
《传热学（第五版）》.章熙民，任泽霈，梅飞鸣.中国建筑工业出版社.
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