浙教版八年级数学上册4等腰三角形的判定定理同步练习docx.docx

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2.4等腰三角形的判定定理同步练习

一．选择题（共11小题）

1．（2016春•宝丰县期中）如图，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=72°，∠ACB=∠DBC=36°，则图中等腰三角形的个数是（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

2．（2016春•福安市期中）如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（　　）

A．∠C=2∠AB．BD=BC

C．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点

3．（2016春•白银校级期中）对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（　　）

A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等

B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等

C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等

D．以上说法都是正确的

4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：

①EF=BE+CF；

②∠BOC=90°+

∠A；

③点O到△ABC各边的距离相等；

④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．

其中正确的结论是（　　）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

5．下列命题错误的是（　　）

A．两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

B．两边和第三边上的中线对应相等的两三角形全等

C．两边和第三边上的高对应相等的两三角形全等

D．两角和其中一角所对的边对应相等的两三角形全等

6．如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

7．（2016春•井陉县期末）下列命题中：

（1）形状相同的两个三角形是全等形；

（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；

（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（　　）

A．3个B．2个C．1个D．0个

8．如图所示，在正五边形的对称轴直线l上找点P，使得△PCD、△PDE均为等腰三角形，则满足条件的点P有（　　）

A．4个B．5个C．6个D．7个

9．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，在△ABC的内部取一点O，连接OA，OB，OC，恰有OA=OC，∠OBA=20°，∠OCA=40°．①∠BOA=140°；②△OAB是等腰三角形；③∠OBC=30°；④△OBC是等腰三角形；⑤△ABC是等边三角形，则以上说法中正确的是（　　）

A．①②③④⑤B．①②③④C．①②③⑤D．①②④

10．下列三角形：

①有两个角等于60°；

②有一个角等于60°的等腰三角形；

③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；

④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．

其中是等边三角形的有（　　）

A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④

11．如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（　　）

A．30°B．32°C．36°D．40°

二．填空题（共4小题）

12．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、NBC上，则∠EAM=______．

13．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有______个．

14．（2016春•滕州市校级月考）如图，D、E分别是等边三角形ABC的两边AB、AC上的点，且AD=CE，BE，DC相交于点P，则∠BPD的度数为______．

15.如图，正方形ABCD中，AB=30，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G．连接AG、CF．下列结论：

①△ABG≌△AFG；②BG=15；③△CFG是正三角形；④△FGC的面积为90．其中正确的是______（填所有正确答案的序号）．

三．解答题（共13小题）

16．已知：

如图，BD平分∠ABC，AD∥BC．求证：

AB=AD．

17．已知，如图△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：

AD平分∠BAC．

18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：

AD⊥CF；

（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

19．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：

CD=BF；

（2）求证：

AD⊥CF；

（3）连接AF，试判断△ACF的形状．

20．（2016春•上海校级期中）如图，在△ABC中，已知△BAC=90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．

求证：

AF平分∠BAC．

22．在直角△ABC中，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，∠AEF=∠AFE．

（1）求证：

AD⊥BC（请用一对互逆命题进行证明）

（2）写出你所用到的这对互逆命题．

23．已知：

如图所示BF⊥AC，AD⊥BC，且相交于点E，BD=AD，连接CE．说明△DCE是等腰三角形的理由．

24．如图，已知△ABC为等边三角形，点D．E分别在BC．AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．

（1）求证：

△ABE≌△CAD；

（2）求∠AFE的度数．

25．如图，P为AB上一点，△APC和△BPD是等边三角形，AD与BC相交于O

（1）求证：

AD=BC；

（2）求∠DOB的度数．

26．（2015秋•安徽月考）如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接点D、E、F，得到△DEF为等边三角形．

（1）试说明△AEF≌△CDE；

（2）△ABC是等边三角形吗？

请说明你的理由．

27．如图，等边三角形△ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE=AD，DF⊥BC于F．

（1）如图1，若D是AC的中点，求证：

①DB=DE；②BF=EF；

（2）如图2，若点D是边AC上的任意一点，BF=EF是否仍然成立？

请证明你的结论；

（3）如图3，若点D是边AC的延长线上任意一点，其它条件不变，

（2）中结论是否仍然成立？

画图并证明你的结论．

28．如图，已知等边△ABC中，DE∥BC，FG∥BC，现将等边△ABC分别沿DE和FG对折，点A分别落在点A1和点A2，连接A2B，A2C．

（1）求证：

△AFG是正三角形；

（2）求证：

A2B=A2C；

（3）设A1D、A1E交GF于M、N两点，若DE=

cm，FG=3cm，求△A1MN的周长．

等腰三角形的判定

参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）

1．（2016春•宝丰县期中）如图，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=72°，∠ACB=∠DBC=36°，则图中等腰三角形的个数是（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【分析】根据等腰三角形的判断解答即可．

【解答】解：

△ABC和△DCB中，∠A=∠D=72°，∠ACB=∠DBC=36°，则图中等腰三角形的个数是

△ABC，△ABE，△CDE，△BEC，△BDC，

故选D

【点评】本题考查了等腰三角新的判定与性质、三角形内角和定理以及三角外角的性质．此题难度不大，解题的关键是求得各角的度数，掌握等角对等边与等边对等角定理的应用．

2．（2016春•福安市期中）如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（　　）

A．∠C=2∠AB．BD=BC

C．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点

【分析】根据∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，可得△ABD与△BCD都是等腰三角形，据此判断各选项是否正确即可．

【解答】解：

∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=72°，

∴∠C=2∠A，故（A）正确；

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=36°，

∴∠BDC=36°+36°=72°，

∴∠BDC=∠C，

∴BD=BC，故（B）正确；

∵∠A=∠ABD=36°，

∴△ABD是等腰三角形，故（C）正确；

∵BD＜CD，

∴AD＞CD，

∴D不是AC的中点，故（D）错误．

故选：

D

【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题时注意：

等腰三角形的两个底角相等；反之，有两个角相等的三角形是等腰三角形．

3．（2016春•白银校级期中）对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（　　）

A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等

B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等

C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等

D．以上说法都是正确的

【分析】根据等腰三角形的判定定理进行判断即可．

【解答】解：

“等角对等边”是等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等的简写形式，意思是：

在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．故C正确；

A、B可以举反例说明，如图：

DE∥BC，∠ADE=∠B，但AE≠AC．故A、B都错误；故D也错误．

故选C．

【点评】本题考查了对等腰三角形的判定定理：

等角对等边的理解．分清定理的题设与结论是解题的关键．

4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：

①EF=BE+CF；

②∠BOC=90°+

∠A；

③点O到△ABC各边的距离相等；

④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．

其中正确的结论是（　　）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC=90°+

∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=

mn，故④错误．

【解答】解：

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC=

∠ABC，∠OCB=

∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠OBC+∠OCB=90°﹣

∠A，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+

∠A；故②正确；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，

∵EF∥BC，

∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，

∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，

∴BE=OE，CF=OF，

∴EF=OE+OF=BE+CF，

故①正确；

过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴ON=OD=OM=m，

∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=

AE•OM+

AF•OD=

OD•（AE+AF）=

mn；故④错误；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．

故选A．

【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

5．下列命题错误的是（　　）

A．两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

B．两边和第三边上的中线对应相等的两三角形全等

C．两边和第三边上的高对应相等的两三角形全等

D．两角和其中一角所对的边对应相等的两三角形全等

【分析】根据三角形全等的判定方法，对选项一一分析，确定正确答案．

【解答】解：

如图，

△ABC与△ABC′中，AB=AB，AC=AC′，高AD相同，但是，△ABC与△ABC′不全等，故C选项错误．

故选C；

【点评】本题考查了判断命题的正误的知识，熟知课本上学过的有关定理是解决本题的关键．

6．如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【分析】由AD是角平分线，DE⊥AC于E，∠ABC=90°，根据角平分线的性质，可得△BDE是等腰三角形；继而证得△ABE是等腰三角形，又由∠C=30°，易求得∠CBE=∠C=∠CAD=30°，即可证得△BEC和△DAC是等腰三角形．

【解答】解：

∵AD是角平分线，DE⊥AC，∠ABC=90°，

∴DB=DE，

即△BDE是等腰三角形；

∴∠DEB=∠DBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE，

即△ABE是等腰三角形，

∵∠C=30°，

∴∠BAC=60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠BAD=∠CAD=30°，

∴∠CAD=∠C，

∴AD=CD，

即△ACD是等腰三角形；

∵∠ABE=60°，

∴∠EBC=∠C=30°，

∴△BEC是等腰三角形．

故选C．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、角平分线的性质以及直角三角形的性质．注意分别求得各角的度数是解此题的关键．

7．（2016春•井陉县期末）下列命题中：

（1）形状相同的两个三角形是全等形；

（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；

（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（　　）

A．3个B．2个C．1个D．0个

【分析】根据全等三角形的概念：

能够完全重合的图形是全等图形，及全等图形性质：

全等图形的对应边、对应角分别相等，分别对每一项进行分析即可得出正确的命题个数．

【解答】解：

（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故

（1）错误；

（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故

（2）错误；

（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．

综上可得只有（3）正确．

故选：

C．

【点评】本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键．

8．如图所示，在正五边形的对称轴直线l上找点P，使得△PCD、△PDE均为等腰三角形，则满足条件的点P有（　　）

A．4个B．5个C．6个D．7个

【分析】根据轴对称的性质得到△PCD是等腰三角形，欲使△PDE为等腰三角形，则点P是线段DE的角平分线与l的交点．

【解答】解：

∵P点在直线L上，

∴此时PC=PD，

即△PCD是等腰三角形，

分为三种情况：

①作DE的垂直平分线，交直线l于一点P，此时PE=PD；

②以D为圆心，以DE为半径，交直线l于两点，此时DP=DE；

③以E为圆心，以DE为半径，交直线l于两点，此时EP=DE；

共1+2+2=5点．

故选B．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，轴对称性质的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．

9．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，在△ABC的内部取一点O，连接OA，OB，OC，恰有OA=OC，∠OBA=20°，∠OCA=40°．①∠BOA=140°；②△OAB是等腰三角形；③∠OBC=30°；④△OBC是等腰三角形；⑤△ABC是等边三角形，则以上说法中正确的是（　　）

A．①②③④⑤B．①②③④C．①②③⑤D．①②④

【分析】根据等腰三角形性质求出∠OAC=40°，求出∠BAO=20°，推出OA=OB=OC，根据等腰三角形性质求出∠OBC=∠OCB=30°，判断各个选项即可．

【解答】解：

∵∠OCA=40°，OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=40°，

∵∠BAC=60°，

∴∠OAB=60°﹣40°=20°，

∵∠OBA=20°，

∴OB=OA，∠AOB=180°﹣20°﹣20°=140°，∴①②正确；

∵∠BAC=60°，∠OBA=20°，∠OCA=40°，

∴∠OBC+∠OCB=60°，

∵OA=OB，OA=OC，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=30°，∴③④正确；

∵∠ABC=20°+30°=50°，∠ACB=30°+40°=70°，∠BAC=60°，

∴△ABC不是等边三角形，∴⑤错误；

故选B．

【点评】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是求出各个角的度数和得出OA=OB=OC．

10．下列三角形：

①有两个角等于60°；

②有一个角等于60°的等腰三角形；

③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；

④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．

其中是等边三角形的有（　　）

A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④

【分析】根据等边三角形的判定判断．

【解答】解：

①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；

②这是等边三角形的判定2，故正确；

③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；

④根据等边三角形三线合一性质，故正确．

所以都正确．

故选D．

【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况．

11．如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（　　）

A．30°B．32°C．36°D．40°

【分析】根据已知利用等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠ABC=2∠A，∠HKC=2∠A，从而利用三角形内角和定理求解即可．

【解答】解：

∵AB=AC，BG=BH，AK=KG

∴∠ABC=∠ACB，∠G=∠H，∠A=∠G

∴∠ABC=2∠A，∠HKC=2∠A

∵∠H+∠HKC+∠HCK=180°，∠HCK=∠ACB

∴5∠A=180°

∴∠A=36°

故选C．

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用．

二．填空题（共4小题）

12．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、NBC上，则∠EAM=　32°　．

【分析】先由∠BAC=106°及三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN，由∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）解答即可．

【解答】解：

∵△ABC中，∠BAC=106°，

∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，

∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，

∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，

即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，

∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．

故答案为32°．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°是解答此题的关键．

13．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有　3　个．

【分析】等腰三角形的判定，及直角三角形的性质得出．

【解答】解：

∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．

∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，

∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，

∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，

∴△MEN，△MDG是等边三角形．

∵∠A=∠B=30°，

∴MA=MB，

∴△ABM是等腰三角形．

∴图中等腰三角形有3个．

【点评】此题考查了等腰三角形的判定，等角对等边；还考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．

14．（2016春•滕州市校级月考）如图，D、E分别是等边三角形ABC的两边AB、AC上的点，且AD=CE，BE，DC相交于点P，则∠BPD的度数为　60°　．

【分析】根据SAS证出△CAD≌△BCE，得出∠DCA=∠EBC，再根据∠BCD+∠DCA=60°，得出∠BPC=120°，再根据平角的定义即可得出∠BPD的度数．

【解答】解：

∵ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACB，AC=BC，

在△CAD和△BCE中，

，

∴△CAD≌△BCE（SAS），

∴∠DCA=∠EBC，

∵∠BCD+∠DCA=60°，

∴∠BPC=120°，

∴∠BPD=60°；

故答案为：

60°．

【点评】此题考查了三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，根据全等证出∠DCA=∠EBC，得出∠BPC=120°是解决本题的关键．

15.如图，正方形ABCD中，AB=30，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G．连接AG、CF．下列结论：

①△ABG≌△AFG；②BG=15；③△CFG是正三角形；④△FGC的面积为90．其中正确的是　①②④　（填所有正确答案的序号）．

【分析】①根据折叠的性质可以得到∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，根据HL定理即可证明两三角形全等；

②不妨设BG=FG=x，（x＞0），则CG=30﹣x，EG=10+x，在Rt△CEG中，利用勾股定理即可列方程求得；

③利用②得出的结果，结合折叠的性质求得答案即可；

④根据三角形的面积公式可得：

S△FGC=

S△EGC，即可求解．

【解答】解：

①在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠B=∠C=90°，

又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G

∴∠AFG=∠AFE=∠D=90°，AF=AD，

即有∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，

在直角△ABG和直角△AFG中，

，

∴△ABG≌△AFG；正确．

②∵AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，

∴DE=FE=10，CE=20，

不妨设BG=FG=x，（x＞0），

则CG=30﹣x，EG=10+x，

在Rt△CEG中，（10+x）2=202+（30﹣x）2

解得x=15，于是BG=GC=15；正确．

③∵BG=GF=CG，

∴△CFG是等腰三角形，

∵BG=

AB，

∴∠AGB≠60°，

则∠FGC≠60°，

∴△CFG不是正三角形．错误．

④∵

=

，

∴

=

，

∴S△FGC=

S△EGC=

×

×20×15=90．正确．

正确的结论有①②④．

故答案为：

①②④．

【点评】本题考查了正方形的性质，以及图形的折叠的性质，三角形全等的证明，理解折叠的性质是关键．

三．解答题（共13小题）

16．已知：

如图，