数值计算方法课后习题答案.doc
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第一章绪论（12）
1、设，x的相对误差为，求的误差。
[解]设为x的近似值，则有相对误差为，绝对误差为，从而的误差为，
相对误差为。
2、设x的相对误差为2%，求的相对误差。
[解]设为x的近似值，则有相对误差为，绝对误差为，从而的误差为，
相对误差为。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：
，，，，。
[解]有5位有效数字；有2位有效数字；有4位有效数字；有5位有效数字；有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中均为第3题所给的数。
（1）；
[解]；
（2）；
[解]；
（3）。
[解]。
5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少？
[解]由可知，
，
从而，故。
6、设，按递推公式计算到，若取（五位有效数字，）试问计算将有多大误差？
[解]令表示的近似值，，则，并且由
，可知，
，即
，从而，
而，所以。
7、求方程的两个根，使它至少具有四位有效数字（）
[解]由与（五位有效数字）可知，
（五位有效数字）。
而，只有两位有效数字，不符合题意。
但是。
8、当N充分大时，怎样求？
[解]因为，当N充分大时为两个相近数相减，设，，则，，从而
，
因此。
9、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1?
[解]由可知，若要求，则，即边长应满足。
10、设，假定g是准确的，而对t的测量有秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。
[证明]因为，
，所以得证。
11、序列满足递推关系，若（三位有效数字），计算到时误差有多大？
这个计算过程稳定吗？
[解]设为的近似值，，则由与
可知，，，即
，
从而，因此计算过程不稳定。
12、计算，取，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？
，，，。
[解]因为，所以对于，
，有一位有效数字；
对于，
，没有有效数字；
对于，
，有一位有效数字；
对于，，没有有效数字。
13、，求的值。
若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？
若改用另一等价公式计算，求对数时误差有多大？
[解]因为（六位有效数字），，所以
，
。
14、试用消元法解方程组，假定只有三位数计算，问结果是否可靠？
[解]精确解为。
当使用三位数运算时，得到，结果可靠。
15、已知三角形面积，其中c为弧度，，且测量a，b，c的误差分别为，证明面积的误差满足。
[解]因为，
所以。
第二章插值法（40-42）
1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令
，证明是n次多项式，它的根是，且。
[证明]由可得求证。
2、当时，，求的二次插值多项式。
[解]。
3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.357765
-0.223144
[解]若取，，
则，，则
，
从而。
若取，，，则，
，，则
，
从而。
4、给出的函数表，步长，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。
[解]设插值节点为，对应的值为，函数表值为，则由题意可知，，，近似线性插值多项式为，所以总误差为
，从而
。
5、设，求。
[解]。
令，则
，从而极值点可能为
，又因为
，
，
显然，所以
。
6、设为互异节点，求证：
1）；
2）；
[解]1）因为左侧是的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。
2）设，则左侧是的n阶拉格朗日多项式，令，即得求证。
7、设且，求证。
[解]见补充题3，其中取即得。
8、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？
[解]由题意可知，设x使用节点，，进行二次插值，则插值余项为，
令，则，从而的极值点为，故，而
，要使其不超过，则有
，即。
9、若，求及。
[解]。
。
10、如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且（l为正整数）。
[证明]对k使用数学归纳法可证。
11、证明。
[证明]。
12、证明。
[证明]因为
，故得证。
13、证明：
。
[证明]。
14、若有n个不同实根，证明
。
[证明]由题意可设，故
，再由差商的性质1和3可知：
，从而得证。
15、证明n阶均差有下列性质：
1）若，则；
2）若，则。
[证明]1）。
2）。
16、，求，。
[解]，。
17、证明两点三次埃尔米特插值余项是
，
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。
[解]见P30与P33，误差限为。
18、XXXXXXXXXX．
19、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。
[解]设，则，再由，，可得：
解得。
从而
。
20、设，把分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数，并证明当时，在上一致收敛到。
[解]令。
21、设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点中点处的与的值，并估计误差。
[解]由题意可知，，从而当时，
。
22、求在上的分段线性插值函数，并估计误差。
[解]设将划分为长度为h的小区间，则当，时，
从而误差为，
故。
23、求在上的分段埃尔米特插值，并估计误差。
[解]设将划分为长度为h的小区间，则当，时，
，
从而误差为，
故。
24、给定数据表如下：
0.25
0.30
0.39
0.45
0.53
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条函数，并满足条件：
1）；
2）。
[解]由，，，，及（8.10）式可知，，，
，
，，
，
由（8.11）式可知，
。
。
。
从而
1）矩阵形式为：
，解得
，从而。
2）此为自然边界条件，故
；
，
矩阵形式为：
，可以解得，从而。
25、若，是三次样条函数，证明
1）；
2）若，式中为插值节点，且
则。
[解]1）。
2）由题意可知，，所以
。
补充题：
1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。
[解]由，可知，
，
余项为，
故。
2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理，有
，
从而。
3、设在内有二阶连续导数，求证：
。
[证]因为是以a，b为插值节点的的线性插值多项式，利用插值多项式的余项定理，得到：
，从而
。
4、设，求差商，，和。
[解]因为，，
，所以，，
，
，。
5、给定数据表：
，
1
2
4
6
7
4
1
0
1
1
求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。
[解]
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
1
4
2
1
-3
4
0
6
1
7
1
0
由差商表可得4次牛顿插值多项式为：
，插值余项为
。
6、如下表给定函数：
，
0
1
2
3
4
3
6
11
18
27
试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。
[解]构造差分表：
0
3
3
2
0
0
1
6
5
2
0
2
11
7
2
3
18
9
4
27
由差分表可得插值多项式为：
。
第三章函数逼近与计算（80-82）
1、（a）利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式；
（b）对在上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。
[解]（a）令，则，从而伯恩斯坦多项式为
，其中。
（b）令，则，从而伯恩斯坦多项式为
，其中。
；
。
2、求证：
（a）当时，；
（b）当时，。
[证明]（a）由及可知，
，
而，从而得证。
（b）当时，
。
3、在次数不超过6的多项式中，求在的最佳一致逼近多项式。
[解]由可知，，从而最小偏差为1，交错点为，此即为的切比雪夫交错点组，从而是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得。
4、假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式。
[解]令，，则在上具有最小偏差，从而为零次最佳逼近一次多项式。
5、选择常数a，使得达到极小，又问这个解是否唯一？
[解]因为是奇函数，所以，再由定理7可知，当时，即时，偏差最小。
6、求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。
[解]由可得，从而最佳一次逼近多项式为
7、求在上的最佳一次逼近多项式。
[解]由可得，从而最佳一次逼近多项式为
。
8、如何选取r，使在上与零偏差最小？
r是否唯一？
[解]由，可知当与零偏差最小时，，从而。
另解：
由定理7可知，在上与零偏差最小的二次多项式为，从而。
9、设，在上求三次最佳逼近多项式。
[解]设所求三次多项式为，则由定理7可知
，从而
。
10、令，求、、、。
[解]由可知，令，则
，从而。
11、试证是在上带权的正交多项式。
？
12、在上利用插值极小化求的三次近似最佳逼近多项式。
[解]由题意可知，插值节点为，
即，则可求得。
13、设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为，若有界，证明对任何，存在常数，使得
。
[证明]由题意可知，，从而取
，，则可得求证。
14、设在上，试将降低到3次多项式并估计误差。
[解]因为，，所以
，
误差为。
15、在利用幂级数项数节约求的3次逼近多项式，使误差不超过0.005。
[解]因为，取前三项，得到
，误差为，又因为
，所以3次逼近多项式为
，此时误差为
。
16、是上的连续奇（偶）函数，证明不管n是奇数或偶数，的最佳逼近多项式也是奇（偶）函数。
[解]的最佳逼近多项式是由切比雪夫多项式得到的，再由切比雪夫多项式的性质4即得。
17、求a、b使为最小，并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较。
[解]由，，，，
，可得
，解得。
18、，定义
（a）；（b）。
问它们是否构成内积？
[解]（a）因为，但反之不成立，所以不构成内积。
（b）构成内积。
19、用许瓦兹不等式（4.5）估计的上界，并用积分中值定理估计同一积分的上下界，并比较其结果。
[解]。
因为，所以。
20、选择a，使下列积分取最小值：
，。
[解]，从而。
当时，，当时，由，可得交点为，
若，则，
若，则
。
同理可知，当时，，当时，，从而当时，积分取得最小。
21、设，，分别在上求一元素，使其为的最佳平方逼近，并比较其结果。
[解]由，，，可知，
，解得，即在上为。
由，，，
，可知，
，解得，即在上为。
22、在上，求在上的最佳平方逼近。
[解]由，，
可知，，解得。
从而最佳平方逼近多项式为。
23、是第二类切比雪夫多项式，证明它有递推关系
。
[证明]令，则
。
24、将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形，再计算均方误差。
[解]若按照切比雪夫多项式展开，其中
；若按照勒让德多项式展开，
，其中；从而
；
；
；
，
从而三次最佳逼近多项式为
。
25、把在上展成切比雪夫级数。
[解]若按照切比雪夫多项式展开，其中
。
从而。
26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
19
25
31
38
44
19.
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