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八个有趣模型搞定空间几何体的外接球和内切球

八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径)

方法:

找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)2=a2•b2•c2,即2R^-!

a2b2c2,求出R

例1

(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为

A.16:

B.20二C.24二

解:

(1)V=a2h*6,a=2,4R2=a2a2h2=4416=24,S=24二,选C;

(2)4R2=333=9,SFR2=9;

(3)在正三棱锥S-ABC中,M、N分别是棱SC、BC的中点,且AM_MN,若侧棱SA=2・..3,则

正三棱锥S-ABC外接球的表面积是。

36:

解:

引理:

正三棱锥的对棱互垂直。

证明如下:

如图(3)-1,取AB,BC的中点D,E,连接AE,CD,AE,CD交于H,连接SH,则H是底面正三角

形ABC的中心,SH_平面ABC,SH_AB,

AC二BC,AD二BD,CD_AB,AB_平面SCD,

-AB_SC,同理:

BC_SA,AC_SB,即正三棱锥的对棱互垂直,

本题图如图(3)-2,AM_MN,SB//MN,

AM_SB,AC_SB,SB_平面SAC,

SB_SA,SB_SC,SB_SA,BC_SA,

-SA—平面SBC,SA—SC,

故三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直,

-(2R)2=(2*3)2(2一3)2(2.3)2=36,即4R2=36,

-正三棱锥S-ABC外接球的表面积是36二

(4)在四面体S-ABC中,SA_平面ABC,ZBAC=120,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接

球的表面积为(D)A.11二B.7二

(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为

1040

C.D.—

33

6、4、3,那么它的外接球的表面积是

(6)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为何体外接球的体积为

1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几

解析:

(4)在ABC中,BC=AC2AB-2ABBCcos120=7,

BC「7,ABC的外接球直径为

,选D

(5)三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为

a,b,c(a,b,cER+),则

 

ab=12

22222

bc=8,abc=24,a=3,b=4,c=2,(2r)=abc=29,s=4二R=29二,

ac=6

(6)(2R)2

2

二a

■b2c

2=3,R2

3

—?

.3

R二——

4

2

43

4

3V3

.3

VR二

—H

JT

3

3

8

2,

 

类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设:

如图5,PA_平面ABC

解题步骤:

第一步:

将」ABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD,连接PD,贝UPD必过球心O;

第二步:

O1为ABC的外心,所以OO1_平面ABC,算出小圆Q的半

径O1D二r(三角形的外接圆直径算法:

利用正弦定理,得

sinAsinB

+=2r),

sinC

OO1JpA;

2

第三步:

利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:

222

(2R)二PA(2r)=

2R=.PA2(2r)2;

②R2二r2OO12二R»r200:

2.题设:

如图6,7,8,P的射影是ABC的外心二三棱锥P-ABC的三条侧棱相等二三棱锥P-ABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点

第一步:

确定球心

0的位置,取ABC的外心01,则P,0。

三点共线;

 

第二步:

先算出小圆01的半径A0^r,再算出棱锥的高P0^h(也是圆锥的高)

第三步:

勾股定理:

0A2=0iA29i02=R2=(h-R)2r2,解出R

方法二:

小圆直径参与构造大圆。

例2一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为()C

16兀

A.3二B.2二C.D.以上都不对

3

解:

选C,(.3-R)21二R2,3-23RR21二R2,4-2-3R=0,

类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)

 

1题设:

如图9-1,平面PAC_平面ABC,且AB_BC(即AC为小圆的直径)

第一步:

易知球心0必是PAC的外心,即PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径AC=2r;

第二步:

在APAC中,可根据正弦定理—bc2R,求出R

sinAsinBsinC

2.如图9-2,平面PAC_平面ABC,且AB_BC(即AC为小圆的直径)

OC2=OiC2OiO2=R2=r20i02=AC=2.R2-OQ2

3•如图9-3,平面PAC_平面ABC,且AB_BC(即AC为小圆的直径),且P的射影是ABC的外心二三棱锥P-ABC的三条侧棱相等三棱P-ABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆

锥的顶点解题步骤:

第一步:

确定球心O的位置,取ABC的外心O1,则PQ,。

^!

三点共线;

第二步:

先算出小圆O1的半径AO^r,再算出棱锥的高PO^h(也是圆锥的高);

第三步:

勾股定理:

OA2=OiA2,OiO2=R2=(h-R)2r2,解出R

4•如图9-3,平面PAC_平面ABC,且AB_BC(即AC为小圆的直径),且PA_AC,贝U

利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:

①(2R)2=PA2•(2r)2:

=2RffPA2•(2r)2;

②R2=r2OOj=RYr2OO,

例3(i)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为i,底面边长为2.3,则该球的表面积为。

(2)正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积为_

解:

(i)由正弦定理或找球心都可得2R=7,s=4「:

R2=49「:

4兀

(2)方法一:

找球心的位置,易知r=1,h=1,h=r,故球心在正方形的中心ABCD处,R=1,V=—

3方法二:

大圆是轴截面所的外接圆,即大圆是-SAC的外接圆,此处特殊,RtSAC的斜边是球半径,

4兀

2R=2,R=1,V=

(3)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=.3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60',则该三棱锥外

接球的体积为(

 

题设:

如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步:

确定球心0的位置,01是ABC的外心,则00—平面ABC;

11亠

第二步:

算出小圆01的半径A0"i=r,001AA1h(AA-^=h也是圆柱的咼);

22

第三步:

勾股定理:

0A2=0小2+01。

2二R2=(»)2+r2二R=Jr2+』)2,解出R

2V2

例4

(1)一个正六棱柱的底面上正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,

9

且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为

8

1

解:

设正六边形边长为a,正六棱柱的咼为h,底面外接圆的关径为r,则a二一,

2

底面积为S=6出(丄)2=口,V柱二h,■h,r2=(3)2(丄)2=1,

4288822

R=1,球的体积为V=4…

(2)直三棱柱ABC-ABC的各顶点都在同一球面上,若AB二AC二AAi=2,.BAC=120,则此球的表面积等于。

厂2J3厂

解:

BC=2?

3,2r4,r=2,R=〔5,S=20二

sin120'

(3)已知.EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,

EA=EB=3,AD=2,.AEB=60,则多面体E-ABCD的外接

球的表面积为。

16:

解析:

折叠型,法一:

EAB的外接圆半径为.3,OO^1,

——3.132313

.13=2;法二:

O1M,r2=O2D,R24,R=2,S=16二

2244

(4)在直三棱柱ABC-A^G中,AB=4,AC=6,A,AA^4则直三棱柱AB^A1B1C1的外接球

3

的表面积为。

160二

3

BC=2.7,

21

解析:

BC2=1636-24628,

2

28

40

160

4

S=-

3

3

3

AA]2

(T)

类型五、折叠模型

题设:

两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠(如图11)

第一步:

先画出如图所示的图形,将BCD画在小圆上,找出BCD和ABD的外心H1和H2

第二步:

过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线,两垂线的交点即为球心O,连接OE,OC;

222

第三步:

解OEH1,算出OH1,在RtOCH1中,勾股定理:

OH1,CH1=OC

例5三棱锥P-ABC中,平面PAC_平面ABC,△PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形,则三棱锥P-ABC外接球的半径为

解析:

2r^2r224,

12sin60J3

21

3,°2H1.3,

22

R=O2H

,r

333

法二:

O2H

AH-1

C

r2=AO2=AH2O1H2O1O2

.15

3

类型六、对棱相等模型(补形为长方体)

题设:

三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径第一步:

画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;

(AB二CD,AD二BC,AC二BD)

第二步:

设出长方体的长宽高分别为a,b,c,AD二BC二x,AB二CD二y,AC二BD二z,列方程组,

a2

«b2

2

c

b2

c2

a2

2

二x

222,22

=y=(2R)=abc=

2

=z

补充:

Va_BCD

11

=abcabc4abc

63

第三步:

根据墙角模型,

2R二a2b2c2

x2y2z2

2

222

xyz

,求出R,

8

例如,正四面体的外接球半径可用此法。

例6

(1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若

个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是

(2)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为

在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是

A.口B.£

43

解:

(1)截面为PCO,,面积是2;

(2)高h=R=1,底面外接圆的半径为

a

设底面边长为a,则2R2,

sin60

1J3

三棱锥的体积为VSh二

34

1的球面上,其中底面的三个顶点

■3

12

r=1,直径为

2R=2,

a「3,S二三a2二空,

44

⑴题解答图

 

(3)在三棱锥A-BCD中,AB二CD=2,AD二BC=3,AC二BD=4,则三棱锥A-BCD外接球的表

面积为。

一二

2

解析:

如图12,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a,b,c,则a2b^9,

2222222222

bc=4,ca=16.2(abc)=9416=29,2(abc)=9416=29,

题设:

•APB=/ACB=90,求三棱锥P-ABC外接球半径(分析:

取公共的斜边的中点O,连接

OP,OC,则OA=OB=OC=OP二*AB,■O为三棱锥P-ABC外接球球心,然后在OCP中求出

半径),当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关,只要不是平角球半径都为定

值。

则四面体ABCD的外接球的体积为()

解析:

(2)BD的中点是球心O,2R=BD=』13,s=4二R2=13二;

第二步:

设内切球的半径为r,建立等式:

Vp^bc二Vojbc-Vo_pab-V^PACVo_PBC^'

习题:

1.若三棱锥s-ABC的三条侧棱两两垂直,且SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的外接球半径为()

A.3B.6C.36D.9

解:

【A(2R)2=_416•16=6,R=3

【三棱锥有一侧棱垂直于底面,且底面是直角三角形】【共两种】

2.三棱锥S-ABC中,侧棱SA_平面ABC,底面ABC是边长为■.3的正三角形,SA=2・.3,则该三

棱锥的外接球体积等于

32■

8二

3

I322

解析:

2r2,(2R)=472=16,R=4,R=2,外接球体积

sin60

【外心法(加中垂线)找球心;正弦定理求球小圆半径】

2,则该三棱锥的外接球体积等

3.正三棱锥S-ABC中,底面ABC是边长为3的正三角形,侧棱长为

于•

解析:

242

ABC外接圆的半径为,三棱锥S-ABC的直径为2R,外接球半径R=-,

sin60v'3<3

或R2=(^,3)21,R=2,外接球体积V=4二R3=4忠•—832王,

V3333327

4•三棱锥P_ABC中,平面PAC_平面ABC,△PAC边长为2的正三角形,AB_BC,则三棱锥P-ABC外接球的半径为

 

解:

AC是公共的斜边,AC的中点是球心O,球半径为R=1

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