八个有趣模型搞定空间几何体的外接球和内切球.docx

1、八个有趣模型搞定空间几何体的外接球和内切球八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 （2R）2 =a2 b2 c2，即2R-!a2 b2 c2，求出R例1 （ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为A. 16： B . 20二 C . 24二解：（1） V =a2h *6 , a =2, 4R2 =a2 a2 h2 =4 4 16 =24 , S = 24二，选 C；（2） 4R2=3 3 3 =9, SFR2=9；（3） 在正三棱锥 S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，

2、且 AM _ MN ,若侧棱SA=2.3,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是 。 36 ：解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下：如图（3） -1，取AB, BC的中点D,E，连接AE,CD , AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心， SH _平面ABC , SH_AB ,AC 二 BC , AD 二 BD , CD _ AB, AB _ 平面 SCD ,-AB _ SC，同理：BC _ SA, AC _ SB,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3) -2 , AM _ MN , SB/MN ,AM _SB, AC_SB , SB_平面 SAC ,SB_SA, S

3、B_SC, SB_SA, BC _ SA,-SA 平面 SBC, SA SC,故三棱锥S - ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，-(2R)2 =(2 *3)2 (2 一3)2 (2.3)2 =36，即 4R2 =36 ,-正三棱锥S-ABC外接球的表面积是36二(4)在四面体S-ABC中，SA_平面ABC , ZBAC =120 ,SA= AC =2, AB =1,则该四面体的外接球的表面积为(D ) A.11二 B.7二(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为10 40C. D.3 36、4、3，那么它的外接球的表面积是 (6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接

4、球的体积为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几解析：(4)在 ABC 中，BC = AC2 AB-2AB BC cos120 =7，BC7， ABC的外接球直径为，选D(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b, c( a,b,cE R+)，则ab =122 2 2 2 2bc =8， abc = 24，a=3， b=4， c=2， (2r) = a b c =29， s = 4二 R = 29 二，ac = 6(6) (2R)22二 a b2 c2=3, R23 ?.3R二424 343V3.3V R 二H JT3382 ，类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面) 1.题设

5、：如图5, PA_平面ABC解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，贝U PD必过球心O ;第二步：O1为 ABC的外心，所以OO1 _平面ABC，算出小圆Q的半径O1D二r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得sin A sin B+ =2r),sin COO1 JpA ；2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：2 2 2(2R)二 PA (2r)=2R = . PA2 (2r)2 ； R2 二 r2 OO12 二 Rr2 00：2.题设：如图6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心二 三棱锥P - ABC的三条侧棱相等 二

6、 三棱锥P - ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点第一步：确定球心0的位置，取 ABC的外心01，则P,0。三点共线;第二步：先算出小圆 01的半径A0r，再算出棱锥的高 P0h (也是圆锥的高)第三步：勾股定理： 0A2 =0iA2 9i02= R2 =(h-R)2 r2，解出 R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 ()C16兀A. 3二 B. 2二 C. D .以上都不对3解：选 C, ( .3 -R)2 1 二 R2, 3-2 3R R2 1 二 R2, 4-2-3R = 0,类型三、切瓜模型（两个平面互相

7、垂直）1题设：如图9-1，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 0必是 PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 AC=2r ；第二步：在APAC中，可根据正弦定理 b c 2R，求出Rsin A sin B sin C2.如图9-2，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径）OC2 =OiC2 OiO2= R2=r2 0i02= AC = 2 . R2-OQ23如图9-3，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径），且P的射影是 ABC的外 心二 三棱锥P - ABC的三条侧棱相等

8、三棱P - ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点 解题步骤：第一步：确定球心 O的位置，取 ABC的外心O1，则PQ,。!三点共线；第二步：先算出小圆 O1的半径AOr，再算出棱锥的高 POh （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理： OA2 =OiA2，OiO2= R2 =（h-R）2 r2，解出 R4如图9-3，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径），且PA _ AC，贝U利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： （2R）2 =PA2 （2r）2：= 2RffPA2 （2r）2 ； R2 =r2 OOj = R Yr2 OO,例3 （i）正四棱锥的顶

9、点都在同一球面上， 若该棱锥的高为i，底面边长为2 . 3，则该球的表面积为 。（2）正四棱锥S -ABCD的底面边长和各侧棱长都为 2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 _解：（i）由正弦定理或找球心都可得 2R=7, s=4：R2=49：,4兀（2）方法一：找球心的位置，易知r =1 , h=1, h=r ,故球心在正方形的中心 ABCD处，R =1, V =3 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是 - SAC的外接圆，此处特殊， Rt SAC的斜边是球半径，4兀2R =2 , R =1 , V =（3）在三棱锥P - ABC中，PA = PB = PC = . 3 ,侧棱PA与

10、底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以 是任意三角形） 第一步：确定球心 0的位置，01是 ABC的外心，则00 平面ABC ；1 1 亠第二步：算出小圆 01的半径A0i = r , 001 AA1 h （ AA- = h也是圆柱的咼）；2 2第三步：勾股定理： 0A2 =0小2 +01。2 二 R2=（）2+r2 二 R = Jr2+）2，解出 R2 V 2例4 （1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积

11、为 ，底面周长为3，则这个球的体积为 81解：设正六边形边长为 a，正六棱柱的咼为 h，底面外接圆的关径为 r，则a二一,2底面积为 S =6 出（丄）2 =口 , V柱二h , h , r2 =（ 3）2 （丄）2 =1 ,4 2 8 8 8 2 2R=1，球的体积为V =4（2）直三棱柱 ABC - ABC的各顶点都在同一球面上，若 AB二AC二AAi = 2 , . BAC = 120，则此 球的表面积等于 。厂 2J3 厂解：BC =2?3 ， 2r 4， r=2， R= 5 ， S = 20 二sin 120 （3）已知.EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA =E

12、B =3, AD =2,. AEB =60，则多面体 E - ABCD 的外接球的表面积为 。16：解析：折叠型，法一： ：EAB的外接圆半径为. 3，OO1， 3 . 13 2 3 13.1 3 =2 ；法二：O1M ，r2 =O2D ，R2 4，R=2，S = 16二2 2 4 4（4）在直三棱柱 ABC -AG中，AB =4, AC =6, A ,AA4则直三棱柱 AB A1B1C1的外接球3的表面积为 。160二3BC =2.7，2 1解析：BC2 =16 36 -2 4 6 28，228401604S =-333AA 2（T）类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，

13、或菱形折叠 （如图11）第一步：先画出如图所示的图形，将 BCD画在小圆上，找出 BCD和 A BD的外心H1和H2第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心 O，连接OE,OC ；2 2 2第三步：解 OEH 1，算出OH1，在Rt OCH 1中，勾股定理： OH1，CH1 = OC例5三棱锥P - ABC中，平面PAC _平面ABC， PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P - ABC外接球的半径为解析：2r2r2 2 4，1 2 sin 60 J32 13，2H 1.3，2 2R =O2H，r333法二：O2HAH -1Cr2 =AO2 =

14、AH 2 O1H2 O1O2.153类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；(AB 二 CD , AD 二 BC , AC 二 BD )第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b,c，AD二BC二x，AB二CD二y，AC二BD二z，列方程组,a2b22cb2c2a22二 x2 2 2,2 2=y = (2R) = a b c =2=z补充：Va_BCD1 1=abc abc 4 abc6 3第三步：根据墙角模型,2R 二 a2 b2 c2x2 y2 z22222x y z ，求出R，

15、8例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6（ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若个截面如图，则图中三角形 （正四面体的截面）的面积是 （2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是A. 口 B . 4 3解：（1）截面为 PCO,，面积是 2 ；（2）高h =R =1，底面外接圆的半径为a设底面边长为a，则2R 2，sin 601 J3三棱锥的体积为V Sh二3 41的球面上，其中底面的三个顶点 312r = 1，直径为2R = 2，a3，S二三 a2 二空，4 4题解答图（3）在三棱锥 A-BCD中，AB二CD =2,AD二BC =3,AC二

16、BD =4,则三棱锥 A-BCD外接球的表面积为 。一二2解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长， 设长宽高分别为a,b,c，则a2 b9 ,2 2 2 2 2 2 2 222b c =4，c a =16. 2( a b c ) =9 4 16 =29，2(a b c )=9 4 16=29，题设： APB =/ACB =90，求三棱锥P - ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点 O，连接OP,OC，则OA =OB =OC =OP二* AB， O为三棱锥P - ABC外接球球心，然后在 OCP中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只

17、要不是平角球半径都为定值。则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）解析：（2） BD 的中点是球心 O，2R = BD=13，s =4二R2 =13二；第二步：设内切球的半径为 r，建立等式：Vpbc二Vojbc - Vo _pab - VPAC Vo_PBC习题:1.若三棱锥s - ABC的三条侧棱两两垂直，且SA = 2 , SB = SC = 4 ,则该三棱锥的外接球半径为 ( )A. 3 B. 6 C. 36 D. 9解：【A (2R)2 = _4 16 16 =6 , R =3【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】 【共两种】2.三棱锥S - ABC中，侧棱SA_平面ABC，

18、底面ABC是边长为. 3的正三角形，SA= 2.3，则该三棱锥的外接球体积等于32 8 二3I 3 2 2解析：2r 2 , (2R) =4 72=16 , R=4 , R =2，外接球体积sin 60【外心法(加中垂线)找球心；正弦定理求球小圆半径】2，则该三棱锥的外接球体积等3.正三棱锥S - ABC中，底面ABC是边长为 3的正三角形，侧棱长为于 解析：2 4 2ABC外接圆的半径为 ，三棱锥S - ABC的直径为2R ，外接球半径 R=-,sin 60 v3 3或 R2 =( ,3)2 1 , R= 2，外接球体积 V =4二R3 = 4忠8 32王,V3 3 3 33 274 三棱锥P _ ABC中，平面PAC _平面ABC , PAC边长为2的正三角形， AB _ BC，则三棱锥 P-ABC外接球的半径为解：AC是公共的斜边， AC的中点是球心 O，球半径为R = 1