不等式与导数交汇大题.docx
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不等式与导数交汇大题
不等式与导数交汇大题
----
2f（x）,（x,1），blnx1.设函数，其中为常数．b
1
（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；fx（）b,2
（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；fx（）fx（）b
11（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式都成立．,ln（n，1）,lnn,2nn
2.已知函数f（x）=ax32+bx－3x在x=?
1处取得极值.
（?
）求函数f（x）的解析式；
（?
）求证：
对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x，x，都有|f（x）－f（x）|?
4；1212
（?
）若过点A（1，m）（m?
－2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围.
3.已知函数32f（x）,ln（2，3x）,x.2
（I）求f（x）在[0，1]上的极值；
11（II）若对任意,x,[,],不等式|a,lnx|，ln[f（x），3x],0成立，求实数a的取63
值范围；
1
（III）若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的f（x）,,2x，b
取值范围.
4.已知函数32f（x）,ln（2，3x）,x.2
（I）求f（x）在[0，1]上的极值；
11（II）若对任意,成立，求实数a的取x,[,],不等式|a,lnx|，ln[f（x），3x],063
值范围；
（III）若关于x的方程f（x）,,2x，b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的
取值范围.
5.已知函数32f（x）,ln（2，3x）,x.2
（1）求f（x）在[0，1]上的极值；
11
（2）若对任意a成立，求实数的取值范围；,x,[,],不等式|a,lnx|，ln[f（x），3x],063
（3）若关于xf（x）,,2x，b的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数的取b
值范围.
326.已知函数f（x）=ax+bx－3x在x=?
1处取得极值.
2
（?
）求函数f（x）的解析式；
（?
）求证：
对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x，x，都有|f（x）－f（x）|?
4；1212
（?
）若过点A（1，m）（m?
－2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范
围.
27.已知函数xfxx（）ln
（2）,,,a（为常数且）a,02a
（1）当时，求fx（）的单调区间a,0
22
（2）若xee,，，[2,2]x[2,2]ee，，fx（）在处取得极值，且，而fx（）0,在上00
恒成立，求实数ae的取值范围（其中为自然对数的底数）
8.已知32f（x）,ax，bx，cx，d是定义在R上的函数，它在和上有相同,1,04,5,,,,
的单调性，在和上有相反的单调性.0,24,5,,,,
（?
）求c的值；
（?
）在函数Mxy（,）f（x）f（x）的图象上是否存在点，使得在点的切线斜率为M00
？
若存在，求出点的坐标，若不存在，则说明理由；M3b
（?
）设x的图象交轴于三点，且的坐标为,求线段的长度f（x）BABC、、AC（2,0）
的取值范围.AC
3
2xfxx（）ln
（2）,,,a9.已知函数（为常数且）a,02a
（1）当时，求的单调区间fx（）a,0
22
（2）若xee,，，[2,2]x[2,2]ee，，在处取得极值，且，而在上fx（）fx（）0,00
恒成立，求实数ae的取值范围（其中为自然对数的底数）
10.已知xaxxf（x）,3,并且f（a，2）,18,g（x）,3,4的定义域为区间[－1，1]。
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）判断g（x）的单调性；
（3）若方程g（x）,m有解,求m的取值范围。
答案：
1.解：
（1）由题意知，
fx（）（0,，,）的定义域为，
1122（x,），b,2b2x,2x，b22f'（x）,2x,2，,,（x,0）xxx
4
1,？
当时，，函数在定义域上单调递增．fx（）0,fx（）（0,，,）b,2
1
（2）?
由（?
）得，当b,时，函数无极值点．fx（）2
2（2x,1）11?
b,f'（x）,,0时，有两个相同的解，x,22x2
11时，但当x,（0,）时，f'（x）,0;当x,（,，,）时,f'（x）,022
1时，函数在上无极值点．fx（）
（1）,，,，？
b2
1?
当,b,时，有两个不同解，fx（）0,2
b,b112112x,,x,，,122222
11,2bx,,,0,（0,，,），舍去？
i）b,0时，，122
11,2b而x,，,1,（0,，,）,222
此时,xfx（）fx（），随在定义域上的变化情况如下表：
（）x，，,（0,x）xx222
fx（）0，,fx（）减极小值增
11,2b由此表可知：
x,，时，fx（）有惟一极小值点，？
b,022
1ii）当x,x0,,b时，0<<1122
此时，,xfx（）fx（），随的变化情况如下表：
（）xx，（）x，，,
（1）,，xxxx122112,fx（）00，，,fx（）增极大值减极小值增
5
b1112x,,由此表可知：
时，有一个极大值和一个极小值点fx（）0,,b1222
b112x,，；222
综上所述：
1当且仅当时有极值点;fx（）b,2
11,2b当,x,，时，有惟一最小值点；fx（）b,022
111,2b11,2b当时，有一个极大值点和一个极小值点fx（）0,,bx,,x,，22222
2（3）由
（2）可知当f（x）,（x,1）,lnx时，函数，b,,1
11,2b1，3此时x,，,fx（）有惟一极小值点222
1，31，3且x,（0,）时，f'（x）,0,f（x）在（0,）为减函数22
141，3？
当n,3时，0,1,1，,,，32n
111恒有f
（1）
（1），即恒有0ln
（1）？
f，,,，2nnn
1当3时恒有ln
（1）ln成立？
n,n，,n,2n
令函数h（x）,（x,1）,lnx（x,0）
1x,1则h'（x）,1,,xx
？
x,1时，h'（x）,0，又h（x）在x,1处连续？
x,[1,，,）时h（x）为增函数
1111？
n,3时1,1，？
h（1，）,h
（1）即,ln（1，）,0nnnn
11？
ln（n，1）,lnn,ln（1，）,nn
11综上述可知n,3时恒有,ln（n，1）,lnn,2nn2.解：
2（I）f′（x）=3ax+2bx－3，依题意，f′
（1）=f′（－1）=0，
6
3a，2b,3,0,即,,3a,2b,3,0,
解得a=1，b=0.
3?
f（x）=x－3x.
32（II）?
f（x）=x－3x,?
f′（x）=3x－3=3（x+1）（x－1），当－1（1）=－2maxmin
?
对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x，x，12都有|f（x）－f（x）|?
|f（x）－f（x）|12maxmin
|f（x）－f（x）|?
|f（x）－f（x）|=2－（－2）=412maxmin2（III）f′（x）=3x－3=3（x+1）（x－1），
3?
曲线方程为y=x－3x，?
点A（1，m）不在曲线上.
3设切点为M（xy,x,3x.，y），则点M的坐标满足00000
2因,f（x）,3（x,1），故切线的斜率为00
3x,3x,m200，3（x,1）,0x,10
32整理得2x,3x，m，3,0.00
?
过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
32?
关于x2x,3x，m，3方程=0有三个实根.000
322设g（x2x,3x，m，3x,6x）=，则g′（x）=6，000000
由g′（x）=0，得x=0或x=1.000
?
g（x）在（－?
，0），（1，+?
）上单调递增，在（0，1）上单调递减.0
32?
函数g（x2x,3x，m，3）=的极值点为x=0，x=100000
32?
关于x2x,3x，m，3方程=0有三个实根的充要条件是000
g（0）,0,，解得－3（1）,0,
故所求的实数a的取值范围是－33,3（x，1）（3x,1）3.解：
（I）,f（x）,,3x,，2，3x3x，2
1令,f（x）,0得x,或x,,1（舍去）3
1,？
当0,x,时,f（x）,0,f（x）单调递增；3
7
1,当单调递减.,x,1时,f（x）,0,f（x）3
11上的极大值？
f（）,ln3,为函数f（x）在[0,1]36
（II）由,得|a,lnx|，ln[f（x），3x],0
33，…………?
a,lnx,ln或a,lnx，ln2，3x2，3x
232x，3x设hx,x,,（）lnlnln，233，x
33x，g（x）,lnx，ln,ln2，3x2，3x
11依题意知上恒成立，a,h（x）或a,g（x）在x,[,]63
2，3x3（2，3x）,3x,32,？
g（x）,,,,0，23xx（2，3x）（2，3x）
312，6x,，h（x）,,（2，6x）,,02232x，3x2x，3x
11上单增，要使不等式?
成立，？
g（x）与h（x）都在[,]63
1111当且仅当a,h（）或a,g（）,即a,ln或a,ln.3635
32（III）由f（x）,,2x，b,ln（2，3x）,x，2x,b,0.2
2337,9x2令,,则,（x）,ln（2，3x）,x，2x,b,（x）,,3x，2,，22，3x2，3x
77当,x,[0,]时,,（x）,0,于是,（x）在[0,]上递增；33
77当,x,[,1]时,,（x）,0,于是,（x）在[,1]上递减33
77而,（）,,（0）,,（）,,
（1），33
？
f（x）,,2x，b即,（x）,0在[0,1]恰有两个不同实根等价于
8
,（0）,ln2,b,0,
7727,,（）,ln（2，7）,，,b,0,366,
1,,
（1）,ln5，,b,0,2,
1727？
ln5，,b,ln（2，7）,，.263
3,3（x，1）（3x,1）4.解：
（I）,，f（x）,,3x,2，3x3x，2
1令,（舍去）f（x）,0得x,或x,,13
1,单调递增；？
当0,x,时,f（x）,0,f（x）3
1当,单调递减.,x,1时,f（x）,0,f（x）3
11上的极大值？
f（）,ln3,为函数f（x）在[0,1]36
（II）由,|a,lnx|，ln[f（x），3x],0得
33，…………?
a,lnx,ln或a,lnx，ln2，3x2，3x
232x，3x设hx,x,,（）lnlnln，233，x
33xg（x）,lnx，ln,ln，2，3x2，3x
11依题意知a,h（x）或a,g（x）在x,[,]上恒成立，63
2，3x3（2，3x）,3x,32,？
g（x）,,,,0，23xx（2，3x）（2，3x）
312，6x,h（x）,,（2，6x）,,0，2232x，3x2x，3x
11？
g（x）与h（x）都在[,]上单增，要使不等式?
成立，63
1111当且仅当a,h（）或a,g（）,即a,ln或a,ln.3635
32（III）由f（x）,,2x，b,ln（2，3x）,x，2x,b,0.2
2337,9x2令,,则,（x）,ln（2，3x）,x，2x,b,（x）,,3x，2,，22，3x2，3x
9
77,x,[0,]时,,（x）,0,于是,（x）在[0,]当上递增；33
77当,x,[,1]时,,（x）,0,于是,（x）在[,1]上递减33
77而,（）,,（0）,,（）,,
（1），33
？
f（x）,,2x，b即,（x）,0在[0,1]恰有两个不同实根等价于,,（0）,ln2,b,0,
7727,,（）,ln（2，7）,，,b,0,366,
1,,
（1）,ln5，,b,0,2,
1727？
ln5，,b,ln（2，7）,，.263
3,3（x，1）（3x,1）15.解：
（1），令（舍去）,,f（x）,,3x,f（x）,0得x,或x,,12，3x3x，23
11,,单调递增；当单调递减.？
当0,x,时,f（x）,0,f（x）,x,1时,f（x）,0,f（x）33
11上的极大值，没有极小值。
？
f（）,ln3,为函数f（x）在[0,1]36
33
（2）由,|a,lnx|，ln[f（x），3x],0得……?
a,lnx,ln或a,lnx，ln2，3x2，3x
233xx，x323设，，hx,x,,g（x）,lnx，ln,ln（）lnlnln，x2332，3x2，3x
11依题意知a,h（x）或a,g（x）在x,[,]上恒成立，63
2，3x3（2，3x）,3x,32，,？
g（x）,,,,023xx（2，3x）（2，3x）
312，6x，,h（x）,,（2，6x）,,02232x，3x2x，3x
11上单增，要使不等式?
成立，？
g（x）与h（x）都在[,]63
1111当且仅当a,h（）或a,g（）,即a,ln或a,ln.3635
32（3）由f（x）,,2x，b,ln（2，3x）,x，2x,b,0.2
10
2337,9x2令，,,则,（x）,ln（2，3x）,x，2x,b,（x）,,3x，2,22，3x2，3x
77当上递增；,x,[0,）时,,（x）,0,,（x）在[0,）33
77当上递减。
x,（,1]时,,（x）,0,,（x）在（,1]33
77而，,（）,,（0）,,（）,,
（1）33
恰有两个不同实根等价于？
f（x）,,2x，b即,（x）,0在[0,1]
,（0）,ln2,b,0,,7727,,（）,ln（2，7）,，,b,0,366,1,,
（1）,ln5，,b,0,2,
1727？
ln5，,b,ln（2，7）,，.263
26.解：
（I）f′（x）=3ax+2bx－3，依题意，f′
（1）=f′（－1）=0，
3a，2b,3,0,3即解得a=1，b=0.?
f（x）=x－3x.,,3a,2b,3,0,
32（II）?
f（x）=x－3x,?
f′（x）=3x－3=3（x+1）（x－1），
当－1f（x）=f（－1）=2，f（x）=f
（1）=－2?
对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x，maxmin1x，2
都有|f（x）－f（x）|?
|f（x）－f（x）||f（x）－f（x）|?
|f（x）－f（x）|=2－（－12maxmin12maxmin2）=4
23（III）f′（x）=3x－3=3（x+1）（x－1），?
曲线方程为y=x－3x，?
点A（1，m）不在曲线上.
23设切点为M（x,y,x,3x.f（x）,3（x,1），y），则点M的坐标满足因，故切线0000000
3x,3x,m32200的斜率为2x,3x，m，3,0，整理得.?
过点A（1，m）可作3（x,1）,000x,10
曲线的三条切线，
3232?
关于x2x,3x，m，32x,3x，m，3方程=0有三个实根.设g（x）=，则g′000000
2（xx,6x）=6，000
由g′（x）=0，得x=0或x=1.?
g（x）在（－?
，0），（1，+?
）上单调递增，在（0，1）0000
上单调递减.
32?
函数g（x2x,3x，m，3）=的极值点为x=0，x=100000
11
g（0）,0,322x,3x，m，3?
关于x方程=0有三个实根的充要条件是，解得－3（1）,0,2.
故所求的实数a的取值范围是－32x1x7.解：
（1）由,fxx（）ln
（2）,,,得fx（）,,2axa,2
2xxa,,211x2,,,,,,，[
（1）
（1）]xa,fx（）,,axax
（2）
（2）,,xa,2
又的定义域为，所以fx（）（2,），,x,,20
1当,,,，，,,，（11）（11）xaxa时，fx（）,a,0ax
（2）,
xxaax,？
，，,,,2,110,
（2）0
当,xa,，，11时，fx（）0,，fx（）为减函数
当,211,,，，xa时，fx（）0,，fx（）为增函数
所以当（2,11），，a时，fx（）的单调递增区间为a,0
单调递减区间为（11,），，，,a
1x
（2）由
（1）知当,fx（）时，fx（）,,，递增无极值a,0,0xa,2
所以xfx（）在处有极值，故且a,0xa,，，1100
22因为xee,，，[2,2][2,2]ee，，fx（）且，所以在上单调e，,220
2当[2,2]ee，，fx（）0,为增区间时，恒成立，则有
2,ea，,，，211,42,,，aee2,fe
（2）0，,,,
2当[2,2]ee，，fx（）0,为减区间时，恒成立，则有
2,aee,，2,ea，,，，211,,42,无解,,ee，，442fe
（2）0，,a,,,,,4
12
42a由上讨论得实数的取值范围为aee,，2
8.解：
（?
）由题意可知在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，所以是f（x）f（x）x,0
的一个极值点.
'2故f（0）,0，即是的一个解，所以.3ax，2bx，c,0x,0c,0
'（?
）因为f（x）,0在和上有相反的单调性，所以在上必有一f（x）0,24,52,4,,,,,,
2b'2根.又f（x）,3ax，2bx,0，易知方程一根为，另一根为，所以x,,a,0x,03a2bb，?
2,,,4,6,,,33aa
'假设存在点f（x）,3bMxy（,），使得在点的切线斜率为，则，即f（x）M3b000
bb223ax，2bx,3b,0有解.而=，因为，所以4ab（，9）,6,,,3,,4b，36ab0aa
23ax，2bx,3b,0Mxy（,），与有解矛盾。
故不存在点，使得f（x）在点的切M,,0000
线斜率为.3b
（?
）依题意有f
（2）,0，又，所以，c,0d,,8a,4b
3232所以f（x）,ax，bx,8a,4ba（x,8），b（x,4）=
22=a（x,2）（x，2x，4），b（x，2）（x,2）
（2）[
（2）42]0xaxabxab,，，，，,=，
xx,两点的横坐标就是方程AC、AC
2ax，（2a，b）x，4a，2b,0的两根，所以
242bbba，ba，b222（）4（）（）,4（）,12（,2）,16===，ACxx,,,,ACaaaaa
bbb因为43,6,,,3，所以当,,3时，；当,,6时，=.AC,3ACminmaxaaa
所以[3,43]的取值范围是.AC
2x1x9.解：
（1）由,fxx（）ln
（2）,,,得fx（）,,2axa,2
13
2xxa,,211x2,,,,,,，[
（1）
（1）]xa,fx（）,,axax
（2）
（2）,,xa,2
又的定义域为，所以fx（）（2,），,x,,20
1当,,,，，,,，（11）（11）xaxa时，fx（）,a,0ax
（2）,
xxaax,？
，，,,,2,110,
（2）0
当,xa,，，11时，，为减函数fx（）0,fx（）
当,211,,，，xa时，，为增函数fx（）0,fx（）
所以当（2,11），，a时，的单调递增区间为fx（）a,0
单调递减区间为（11,），，，,a
1x
（2）由
（1）知当,时，，fx（）递增无极值fx（）,,a,0,0xa,2
所以xfx（）在处有极值，故且a,0xa,，，1100
22因为xee,，，[2,2][2,2]ee，，且，所以fx（）在上单调e，,220
2当[2,2]ee，，为增区间时，fx（）0,恒成立，则有
2,ea，,，，211,42,,，aee2,fe
（2）0，,,,
2当[2,2]ee，，为减区间时，fx（）0,恒成立，则有
2,aee,，2,ea，,，，211,,42,无解,,ee，，442fe
（2）0，,a,,,,,4
42由上讨论得实数a的取值范围为aee,，2
xa，2a10.解：
（1）？
f（a，2）,18,f（x）,3,？
3,18,3,2
axxxx？
g（x）,（3）4,2,4,x,[,1,1]
11x2xx2
（2）g（x）,,
（2），2,,（2,），24
14
xx1当x,[,1,1]时,2,[,2],令t,22
1由二次函数单调性知当t,[,2]时是减函数,2
？
函数g（x）在[,1,1]是减数.
1xxxx（3）由
（2）知t,2,2,[,2],则方程g（x）,m有解,m,2,4,2
11122在[－1，1]内有解,m,t,t,,（t,），,t,[,2]242
1？
m的取值范围是[,2,]4
15
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