挑战中考数学压轴题第八版.doc

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目录

第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1因动点产生的相似三角形问题

例12013年上海市中考第24题

例22012年苏州市中考第29题

例32012年黄冈市中考第25题

例42010年义乌市中考第24题

例52009年临沂市中考第26题

例62008年苏州市中考第29题

1.2因动点产生的等腰三角形问题

例12013年上海市虹口区中考模拟第25题

例22012年扬州市中考第27题

例32012年临沂市中考第26题

例42011年湖州市中考第24题

例52011年盐城市中考第28题

例62010年南通市中考第27题

例72009年江西省中考第25题

1.3因动点产生的直角三角形问题

例12013年山西省中考第26题

例22012年广州市中考第24题

例32012年杭州市中考第22题

例42011年浙江省中考第23题

例52010年北京市中考第24题

例62009年嘉兴市中考第24题

例72008年河南省中考第23题

1.4因动点产生的平行四边形问题

例12013年上海市松江区中考模拟第24题

例22012年福州市中考第21题

例32012年烟台市中考第26题

例42011年上海市中考第24题

例52011年江西省中考第24题

例62010年山西省中考第26题

例72009年江西省中考第24题

1.5因动点产生的梯形问题

例12012年上海市松江中考模拟第24题

例22012年衢州市中考第24题

例42011年义乌市中考第24题

例52010年杭州市中考第24题

例72009年广州市中考第25题

1.6因动点产生的面积问题

例12013年苏州市中考第29题

例22012年菏泽市中考第21题

例32012年河南省中考第23题

例42011年南通市中考第28题

例52010年广州市中考第25题

例62010年扬州市中考第28题

例72009年兰州市中考第29题

1.7因动点产生的相切问题

例12013年上海市杨浦区中考模拟第25题

例22012年河北省中考第25题

例32012年无锡市中考第28题

1.8因动点产生的线段和差问题

例12013年天津市中考第25题

例22012年滨州市中考第24题

例32012年山西省中考第26题

第二部分图形运动中的函数关系问题

2.1由比例线段产生的函数关系问题

例12013年宁波市中考第26题

例22012年上海市徐汇区中考模拟第25题

例32012年连云港市中考第26题

例42010年上海市中考第25题

2.2由面积公式产生的函数关系问题

例12013年菏泽市中考第21题

例22012年广东省中考第22题

例32012年河北省中考第26题

例42011年淮安市中考第28题

例52011年山西省中考第26题

例62011年重庆市中考第26题

第三部分图形运动中的计算说理问题

3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题

例12013年南京市中考第26题

例22013年南昌市中考第25题

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题

例12013年上海市黄浦区中考模拟第24题

例22013年江西省中考第24题

声明

选自东师范大学出版社出版的《挑战中考数学压轴题》（含光盘）一书。

该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题，并把它们分为4部分、24小类。

该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课件，并为每一题录制了视频讲解，让你在动态中体验压轴题的变与不变，获得清晰的解题思路，完成满分解答，拓展思维训练。

《挑战中考数学压轴题》自出版以来广受读者欢迎，被评为优秀畅销图书,成为“中考压轴题”类第一畅销图书。

在上海、北京、江苏、浙江等省市的名牌初中的毕业班学生中，几乎人手一本，成为冲刺名牌高中必备用书。

由于格式问题，该书最具特色的电脑课件和视频文件在此无法一并附上，敬请原谅。

第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1因动点产生的相似三角形问题

例12013年上海市中考第24题

如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连结OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．

请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。

思路点拨

1．第

（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．

2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．

3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．

满分解答

（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．

在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，

所以AH＝1，OH＝．所以A．

因为抛物线与x轴交于O、B（2,0）两点，

设y＝ax（x－2），代入点A，可得．图2

所以抛物线的表达式为．

（2）由，

得抛物线的顶点M的坐标为．所以．

所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．

（3）由A、B（2,0）、M，

得，，．

所以∠ABO＝30°，．

因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．

△ABC与△AOM相似，存在两种情况：

①如图3，当时，．此时C（4,0）．

②如图4，当时，．此时C（8,0）．

图3图4

考点伸展

在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．

如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为（－4,0）．

图5

例22012年苏州市中考第29题

如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．

思路点拨

1．第

（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．

满分解答

（1）B的坐标为（b,0），点C的坐标为（0,）．

（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．

因此PD＝PE．设点P的坐标为（x,x）．

如图3，联结OP．

所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．

解得．所以点P的坐标为（）．

图2图3

（3）由，得A（1,0），OA＝1．

①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．

当，即时，△BQA∽△QOA．

所以．解得．所以符合题意的点Q为（）．

②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。

因此△OCQ∽△QOA．

当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．

所以C、Q、B三点共线．因此，即．解得．此时Q（1,4）．

图4图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．

如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．

例32012年黄冈市中考模拟第25题

如图1，已知抛物线的方程C1：

（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M（2,2），求实数m的值；

（2）在

（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在

（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？

若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻．

思路点拨

1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

2．第（4）题的解题策略是：

先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．

满分解答

（1）将M（2,2）代入，得．解得m＝4．

（2）当m＝4时，．所以C（4,0），E（0,2）．

所以S△BCE＝．

（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

设对称轴与x轴的交点为P，那么．

因此．解得．所以点H的坐标为．

（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．

设点F的坐标为，由，得．

解得x＝m＋2．所以F′（m＋2,0）．

由，得．所以．

由，得．

整理，得0＝16．此方程无