圆锥曲线拓展三圆锥曲线中新定义题型学生版.docx

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圆锥曲线拓展三圆锥曲线中新定义题型学生版

圆锥曲线拓展三、新定义题型

例题1、如图，已知曲线C1：

﹣y2＝1，曲线C2：

|y|＝|x|+1，P是平面上一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”．

（1）证明：

C1的左焦点是“C1﹣C2型点”；

（2）设直线y＝kx与C2有公共点，求证：

|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；

（3）求证：

{（x，y）||x|+|y|＜1}内的点都不是“C1﹣C2型点”．

例题2、若给定椭圆C：

ax2+by2＝1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：

ax0x+by0y＝1为椭圆C的“伴随直线”．

（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；

（2）命题：

“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；

（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？

说明理由．

例题3、教材曾有介绍：

圆x2+y2＝r2上的点（x0，y0）处的切线方程为x0x+y0y＝r2．我们将其结论推广：

椭圆＝1（a＞b＞0）上的点（x0，y0）处的切线方程为＝1，在解本题时可以直接应用．已知，直线x﹣y+＝0与椭圆C1：

＝1（a＞1）有且只有一个公共点．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设O为坐标原点，过椭圆C1上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线l1、l2，且l1与l2交于点M（2，m）．当m变化时，求△OAB面积的最大值；

（3）若P1，P2是椭圆C2：

＝1上不同的两点，P1P2⊥x轴，圆E过P1，P2，且椭圆C2上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆．试问：

椭圆C2是否存在过左焦点F1的内切圆？

若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．

例题4、已知椭圆C：

+＝1（a＞b＞0）过点（，），椭圆C左右焦点分别为F1，F2，上顶点为E，△EF1F2为等边三角形．定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为N（，）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求tan∠MON的最大值；

（3）直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“伴随点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．椭圆C的右顶点为D，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．

例题5.（备用）椭圆E1：

+＝1和椭圆E2：

+＝1满足＝＝m（m＞0），则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．

（1）求经过点（2，），且与椭圆+＝1相似的椭圆方程；

（2）设过原点的一条射线L分别与

（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值；

（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C1：

+＝1和C2：

+＝1交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，则点P的轨迹方程为+＝1”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明．

课后强化：

1、定义：

我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即e＝，叫做椭圆的离心率．若两个椭圆的离心率e相同，称这两个椭圆相似．

（1）判断椭圆C1：

+＝1与椭圆C2：

+y2＝1是否相似？

并说明理由；

（2）若椭圆Γ1：

+＝1（a＞2）与椭圆Γ2：

+＝1相似，求a的值；

（3）设动直线l：

y＝kx+6与

（2）中的椭圆Γ1交于M、N两点，试探究：

在椭圆Γ1上是否存在异于M、N的定点Q，使得直线QM、QN的斜率之积为定值？

若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．

2．已知椭圆C：

＝1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．

（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；

（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；

（3）当a＝2，b＝时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．

3．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若＝，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E：

+y2＝1，其左顶点为A、右顶点为B．

（1）设椭圆E与椭圆F：

+＝1是“相似椭圆”，求常数s的值；

（2）设椭圆G：

+y2＝λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G只有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G只有一个公共点，求|k1k2|的值；

（3）已知椭圆E与椭圆H：

+＝1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y1），且椭圆E上的点M（x0，y2）（y1y2＞0）求证：

AM⊥BC．

4．对于双曲线C（a，b）：

﹣＝1（a，b＞0），若点P（x0，y0）满足﹣＜1，则称P在C（a，b）的外部，若点P（x0，y0）满足﹣＞1，则称C（a，b）在的内部；

（1）若直线y＝kx+1上的点都在C（1，1）的外部，求k的取值范围；

（2）若C（a，b）过点（2，1），圆x2+y2＝r2（r＞0）在C（a，b）内部及C（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；

（3）若曲线|xy|＝mx2+1（m＞0）上的点都在C（a，b）的外部，求m的取值范围．

5．存在对称中心的曲线叫做有心曲线．显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线．若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径．

（1）已知点，求使△PAB面积为时，椭圆＝1的直径AB所在的直线方程；

（2）若过椭圆＝1的中心作斜率为k的直线交椭圆于M，N两点，且椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若以M为圆心，|MF2|长度为半径作⊙M，问是否存在定圆⊙R，使得⊙M恒与⊙R相切？

若存在，求出⊙R的方程．若不存在，请说明理由．

（3）定理：

若过圆x2+y2＝1的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值﹣1．请对上述定理进行推广．说明：

第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分．

6．对于曲线C：

f（x，y）＝0，若存在最小的非负实数m和n，使得曲线C上任意一点P（x，y），|x|≤m，|y|≤n恒成立，则称曲线C为有界曲线，且称点集{（x，y）||x|≤m，|y|≤n}为曲线C的界域．

（1）写出曲线（x﹣1）2+y2＝4的界域；

（2）已知曲线M上任意一点P到坐标原点O与直线x＝1的距离之和等于3，曲线M是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；

（3）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线的界域．

7．对于双曲线C：

，定义C1：

，为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B．

（1）当a＞b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C1的半焦距为c1，若c＝2c1，求双曲线C的渐近线方程；

（2）若双曲线C的方程为，弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程；

（3）过双曲线C：

x2﹣y2＝1的左焦点F，且斜率为k的直线l与双曲线C交于N1、N2两点，求证：

对任意的，在伴随曲线C1上总存在点S，使得．

8．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线Γ焦点F的两条弦，且其焦点F（0，1），，点E为y轴上一点，记∠EFA＝α，其中α为锐角．

①求抛物线Γ方程；

②如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？

9、对于曲线C：

f（x，y）＝0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．

（1）曲线y2＝4x与曲线（x﹣1）2+y2＝4是否为“有界曲线”？

若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；

（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．

10、给定椭圆C：

＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．

（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N．

①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；

②求证：

|MN|为定值．