学年江苏省常州一中高二上学期期初考试数学试题 Word版.docx

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学年江苏省常州一中高二上学期期初考试数学试题Word版

常州市第一中学2018--2019学年期初考试

高二数学试题

（考试时间120分钟满分160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上）

1．函数的最小正周期为.

2．不等式的解集为.

3．在等比数列中,，，则的值为.

4．已知向量,，若，则实数＝.

5．函数的定义域为.

6．已知直线与平行，则实数＝.

7．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2．若akak＋1＜0，则正整数k＝．

8．已知两正数x，y满足x＋4y＝1，则的最小值为.

9．若变量，满足约束条件,则的最小值为.

10．已知直线与圆：

相交于两点，若点M在圆上，且有，则实数＝.

11．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是.

12．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为，则的取值范围是．

13．在平面直角坐标系中，若曲线上恰好有三个点到直线的距离为1，则的取值范围是.

14．已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值为.

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15．在中，角所对的边分别为，设，．

（1）当时，求的值；

（2）若，当取最大值时，求．

16．在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，AB⊥平面PAD，PD＝AD，AB＝2DC，E是PB的中点．

求证：

（1）CE∥平面PAD；  

（2）平面PAB．

17．已知圆O：

．

（1）设直线：

，求直线被圆截得的弦长；

（2）设圆和轴相交于A，B两点，点P为圆上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线于D，E两点．当点P变化时，以DE为直径的圆是否经过定点？

请证明你的结论；

18．某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）.

（1）求θ关于x的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？

（扇形的弧长公式：

；扇形的面积公式：

）

19．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.

（1）已知二次函数，，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；

（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；

（3）若为定义在R上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.

20．已知数列满足，数列的前项和为．

（1）求的值；

（2）若．

①求证：

数列为等差数列；②求满足的所有数对．

常州市第一中学2018--2019学年期初考试

高二数学试题答案

（考试时间120分钟满分160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上）

1．函数的最小正周期为.

2．不等式的解集为.

3．在等比数列中,，，则的值为.

4．已知向量,，若，则实数＝.

5．函数的定义域为.（2,3）∪（3,＋∞）

6．已知直线与平行，则实数＝.2

7．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2．若akak＋1＜0，则正整数k＝．23

8．已知两正数x，y满足x＋4y＝1，则的最小值为.9

9．若变量，满足约束条件,则的最小值为.－1

10．已知直线与圆：

相交于两点，若点M在圆上，且有，则实数＝.

11．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是.

12．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为，则的取值范围是．

13．在平面直角坐标系中，若曲线上恰好有三个点到直线的距离为1，则的取值范围是.

14．已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值为.9

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15．在中，角所对的边分别为，设，．

（1）当时，求的值；

（2）若，当取最大值时，求．

16．在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，AB⊥平面PAD，PD＝AD，AB＝2DC，E是PB的中点．

求证：

（1）CE∥平面PAD；  

（2）平面PAB．

【证】

（1）取PA的中点F，连EF，DF．……2分

因为E是PB的中点，所以EF//AB，且．

因为AB∥CD，AB＝2DC，所以EF∥CD，………………4分

，于是四边形DCEF是平行四边形，

从而CE∥DF，而平面PAD，平面PAD，

故CE∥平面PAD．……………………7分

（2）（接

（1）中方法1）因为PD＝AD，且F是PA的中点，所以．

因为AB⊥平面PAD，平面PAD，所以．…10分

因为CE∥DF，所以，．

因为平面PAB，，所以平面PAB．

因为平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．……14分

17．已知圆O：

．

（1）设直线：

，求直线被圆截得的弦长；

（2）设圆和轴相交于A，B两点，点P为圆上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线于D，E两点．当点P变化时，以DE为直径的圆是否经过定点？

请证明你的结论；

解：

（1）

（2）

18．某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）.

（1）求θ关于x的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？

（扇形的弧长公式：

；扇形的面积公式：

）

解：

（1）设扇环的圆心角为θ，则，

所以，…………………………5分

（2）花坛的面积为

．………7分

装饰总费用为，………………………………………10分

所以花坛的面积与装饰总费用的比，…………………12分

令，则，当且仅当t=18时取等号，此时．

答：

当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．……………………………………16分

19．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.

（1）已知二次函数，，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；

（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；

（3）若为定义在R上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.

20．已知数列满足，数列的前项和为．

（1）求的值；

（2）若．

①求证：

数列为等差数列；②求满足的所有数对．

【解】

（1）由条件，得，②-①得．………………………3分

（2）①证明：

因为，所以，

④-③得，………………………………………………6分

于是，

所以，从而．………………………………………………8分

所以，

所以，将其代入③式，得，

所以（常数），所以数列为等差数列．………………10分

②注意到，

所以

，

由知．

所以，

即，又，

所以且均为正整数，

所以，解得，

所以所求数对为．…………………………………………………16分