学年高中数学第一章三角函数71正切函数的定义72正切函数的图像与性质学案北师大版必修40108.docx

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学年高中数学第一章三角函数71正切函数的定义72正切函数的图像与性质学案北师大版必修40108

7．1　正切函数的定义

7．2　正切函数的图像与性质

内容要求　1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质（重点）.3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用（难点）．

知识点1　正切函数的定义

（1）任意角的正切函数：

如果角α满足α∈R，α≠＋kπ（k∈Z），那么，角α的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.

（2）正切函数与正弦、余弦函数的关系：

根据定义知tanα＝（α∈R，α≠kπ＋，k∈Z）．

（3）正切值在各象限的符号：

根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负．

（4）正切线：

在单位圆中令A（1,0），过A作x轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角α的正切线．

【预习评价】

1．若角α的终边上有一点P（2x－1,3），且tanα＝，则x的值为（　　）

A．7B．8

C．15D.

解析　由正切函数的定义tanα＝＝，解之得x＝8.

答案　B

2．函数y＝tan2x的定义域为________．

解析　由正切函数的定义知，若使y＝tan2x有意义，则2x≠kπ＋（k∈Z）．

解得x≠＋（k∈Z）．

答案　

知识点2　正切函数的图像及特征

（1）y＝tanx，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的图像（正切曲线）：

（2）正切曲线的特征：

正切曲线是由被相互平行的直线x＝kπ＋（k∈Z）隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．

【预习评价】

正切函数是奇函数，图像关于原点对称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？

提示　正切函数的对称中心除了原点外，诸如（π，0）等都是对称中心，正切函数有无数个对称中心．

知识点3　正切函数的性质

函数

y＝tanx

定义域

值域

R

周期性

周期为kπ（k∈Z，k≠0），最小正周期为π

奇偶性

奇函数

单调性

在（k∈Z）上是增加的

【预习评价】　（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）正切函数为定义域上的增函数（×）

（2）正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tanx是增加的．（√）

（3）若x是第一象限的角，则y＝tanx是增函数（×）

（4）正切函数y＝tanx的对称中心为（kπ，0）k∈Z.（×）

题型一　正切函数的定义

【例1】　已知角α的终边经过点P（－4a,3a）（a≠0），求sinα，cosα、tanα的值．

解　r＝＝5|a|，

若a＞0，则r＝5a，角α在第二象限，sinα＝＝＝，

cosα＝＝＝－.tanα＝＝＝－；

若a＜0，则r＝－5a，

角α在第四象限，sinα＝－，

cosα＝，tanα＝－.

规律方法　已知角α终边上任一点的坐标（m，n）利用定义求tanα时，其值与该点的位置无关且tanα＝.但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切：

α

0

tanα

0

1

－

－1

－

【训练1】　若tanα＝，利用三角函数的定义，求sinα和cosα.

解　∵tanα＝＞0，∴角α是第一或第三象限角．

①若角α是第一象限角，则由tanα＝，角α的终边上必有一点P（2,1），

∴r＝|OP|＝＝.

∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝.

②若角α是第三象限角，则由tanα＝知，角α的终边上必有一点P（－2，－1），

∴r＝|OP|＝＝.

∴sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝－.

题型二　正切函数的图像及应用

【例2】　利用正切函数的图像作出y＝|tanx|的图像并写出使y＝的x的集合．

解　∵当x∈时，y＝tanx≤0，

当x∈时，y＝tanx＞0，

∴y＝|tanx|＝

如图所示．

使y＝的x的集合为.

规律方法　1.作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，（0,0），，两线是直线x＝±为渐近线．

2．如果由y＝f（x）的图像得到y＝f（|x|）及y＝|f（x）|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f（x）（x≥0）的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f（|x|）（x≤0）的图像；同理只要作出y＝f（x）的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f（x）|的图像．

【训练2】　

（1）函数y＝的定义域为________．

解析　要使该函数有意义，则有

即x≠kπ－且x≠kπ＋.

答案　

（2）根据正切函数的图像，写出tanx≥－1的解集．

解　作出y＝tanx及y＝－1的图像，如下图．

∴满足此不等式的x的集合为

.

方向1　比较大小

【例3－1】　比较tan1、tan2、tan3的大小．

解　∵tan2＝tan（2－π），tan3＝tan（3－π），

又∵<2<π，∴－<2－π<0.

∵<3<π，∴－<3－π<0，

显然－<2－π<3－π<1<，

且y＝tanx在内是增函数，

∴tan（2－π）

即tan2

方向2　求解最值

【例3－2】　若x∈，求函数y＝tan2x＋2tanx＋2的最值及相应的x值．

解　令t＝tanx，∵x∈，

∴t∈[－，1]，

y＝t2＋2t＋2＝（t＋1）2＋1，

∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝1，

当t＝1，即x＝时，ymax＝5.

方向3　性质的综合应用

【例3－3】　已知f（x）＝－atanx（a≠0）．

（1）判断f（x）在x∈上的奇偶性；

（2）求f（x）的最小正周期；

（3）求f（x）的单调区间；

（4）若a＞0，求f（x）在上的值域．

解　

（1）∵f（x）＝－atanx（a≠0），x∈，

∴f（－x）＝－atan（－x）＝atanx＝－f（x）．

又∵定义域关于原点对称，

∴f（x）为奇函数．

（2）f（x）的最小正周期为π.

（3）∵y＝tanx在（k∈Z）上单调递增，

∴当a＞0时，f（x）在（k∈Z）上单调递减，

当a＜0时，f（x）在（k∈Z）上单调递增．

（4）当a＞0时，f（x）在上单调递减，故x＝时，f（x）max＝－a，无最小值．

∴f（x）的值域为（－∞，－a]．

规律方法　1.比较同名三角函数值的大小，实质上是将两个角利用周期性放在同一个单调区间内，利用单调性比较大小．

2．对于形如y＝tan（ωx＋φ）（ω、φ为非零常数）的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解.

课堂达标

1．函数y＝3tan（2x＋）的定义域是（　　）

A．{x|x≠kπ＋，k∈Z}B．{x|x≠π－，k∈Z}

C．{x|x≠π＋，k∈Z}D．{x|x≠π，k∈Z}

解析　由2x＋≠kπ＋（k∈Z），解得x≠＋.

答案　C

2．函数f（x）＝tan（x＋）的单调递增区间为（　　）

A．（kπ－，kπ＋），k∈Z

B．（kπ，（k＋1）π），k∈Z

C．（kπ－，kπ＋），k∈Z

D．（kπ－，kπ＋），k∈Z

解析　由kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z.

解之得kπ－＜x＜kπ＋，故选C.

答案　C

3．已知点P（tanα，cosα）在第二象限，则α的终边在第________象限．

解析　由P点在第二象限．∴tanα＜0，cosα＞0，

∴α在第四象限．

答案　四

4．若角θ的终边经过点A，且tanθ＝，则m＝________.

解析　由tanθ＝＝＝.

∴m＝－.

答案　－

5．函数y＝tan（2x＋θ）图像的一个对称中心为，若－＜θ＜，求θ的值．

解　因为函数y＝tan（2x＋θ）的一个对称中心为，

∴2·＋θ＝，k∈Z.∴θ＝－π，k∈Z.

又∵－＜θ＜，

∴当k＝2时，θ＝；当k＝1时，θ＝－.

∴满足题意的θ为或－.

课堂小结

1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－，x＝，然后描出三个点（0,0），（，1），（－，－1），用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．

2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别．

（1）正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1,1]，正切函数是无界函数，值域为R.

（2）正弦、余弦函数的图像是连续的，定义域为R，正切函数的图像是不连续的，定义域为.

（3）正弦、余弦函数均是既有增区间又有减区间，而正切函数在每一个区间（k∈Z）上都是增加的.

基础过关

1．已知sinθ·tanθ＜0，那么角θ是（　　）

A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角

C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角

解析　若sinθ＞0，tanθ＜0，则θ在第二象限；若sinθ＜0，tanθ＞0，则θ在第三象限．

答案　B

2．若已知角α满足sinα＝，cosα＝，则tanα＝（　　）

A.B.

C.D.

解析　由三角函数定义可知tanα＝.

答案　B

3．函数f（x）＝tan，x∈R的最小正周期为（　　）

A.B．π

C．2πD．4π

解析　由＝2π，故选C.

答案　C

4．使函数y＝2tanx与y＝cosx同时为单调递增的区间是________________．

解析　由y＝2tanx与y＝cosx的图像知，同时为单调递增的区间为（2kπ－，2kπ]（k∈Z）和[2kπ＋π，2kπ＋）（k∈Z）．

答案　（2kπ－，2kπ]（k∈Z）和[2kπ＋π，2kπ＋）（k∈Z）

5．函数y＝tanx的值域是________．

解析　∵y＝tanx在区间上单调递增．

tan＝－tan＝－1，tan＝，

∴y＝tanx在上的值域是.

答案　[－1，]

6．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．

解　由3x－≠kπ＋，k∈Z，

得x≠＋，k∈Z.

所以所求定义域为.

值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数．

在区间（k∈Z）上是增函数．

7．利用函数图像，解不等式－1≤tanx≤.

解　作出函数y＝tanx的图像，如图所示．观察图像可得：

在内，满足条件的x为－≤x≤，由正切函数的周期性可知，

满足不等式的x的解集为

.

能力提升

8．关于函数y＝tan，下列说法正确的是（　　）

A．是奇函数

B．在区间上单调递减

C.为其图像的一个对称中心

D．最小正周期为π

解析　函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误；

在区间上单调递增，B错误；

最小正周期为，D错误．

∵当x＝时，tan＝0，

∴为其图像的一个对称中心，故选C.

答案　C

9．函数f（x）＝tanωx（ω>0）的图像的相邻两支曲线截直线y＝所得线段长为，则f的值是（　　）

A．0B．1

C．－1D.

解析　由题意，得T＝＝，∴ω＝4.

∴f（x）＝tan4x，f＝tanπ＝0.

答案　A

10．已知函数y＝tanωx在（－，）是减函数，则ω的取值范围是____________．

解析　∵