固体物理第一章习题解答.docx
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固体物理第一章习题解答
固体物理学第一章习题解答
1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶的特征和性质。
答:
晶态:
内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。
其特征是原子排
列具有周期性,表现为既有长程取向有序又有平移对称性。
晶态的共性质:
(1)长
程有序;
(2)自限性和晶面角守恒;(3)各向异性;(4)固定熔点。
非晶态特点:
不具有长程序。
具有短程序。
短程序包括:
(1)近邻原子的数目和种类;
(2)近邻原子之间的距离(键长);(3)近邻原子配臵的几何方位(键角)。
准晶态是一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。
准晶态结构的特点:
(1)
具有长程的取向序而没有长程的平移对称序(周期性);
(2)取向序具有周期性所不能容许的点群对称;(3)沿取向序对称轴的方向具有准周期性,由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。
晶体又分为单晶体和多晶体:
整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体;而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。
2、什么是布喇菲格子?
画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。
说明基元代表点构
成的格子是面心立方晶体,每个原胞包含几个格点。
答:
布喇菲格子(或布喇菲点阵)是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。
布喇菲格子是一种数学抽象,即点阵的总体,其特点是每个格点周围的情况完全相同。
实际工作中,常是以具体的粒子(原子、离子等)做格点,如果晶体由完全相同的一种原子组成,则由这些原子所组成的格子,称为布喇菲格子。
NaCI晶体的结点构成的布格子实际上就是面心立方格子。
每个原胞中包含一个格点。
I'acc-Ce/itcreJCube
OIJ
3、指出下列各种格子是简单格子还是复式格子
(1)底心六角(在六角格子原胞底面中心存在一个原子)
(2)底心立方(3)底心四方
(4)面心四方(5)侧心立方
(6)边心立方
并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中的哪一种?
答:
要决定一个晶体是简单格子还是复式格子,首先要找到该晶体的基元,如果基元只包含一个原子则为简单格子。
反之,则为复式格子。
(1)底心六角的原胞为AIBKEJFL所表示,它具有一个垂直于底面的四度旋转轴,它的原胞形状如图所示,是简单格子,属于单斜晶系。
(2)底心立方如下图所示,它的底面原子的排列情况可看出每个原子的周围情况都是相同的,因而都是等价的,所以它的基元也由一个原子组成,是简单格子,属于四角晶系。
(3)底心四方如下图所示,每个原子的周围情况完全相同,基元中只有一个原子,属于简单格子,属于四角晶系。
⑷面心四方就是体心四角格子,是简单格子,属于四角晶系
(5)
侧心立方如下图所示,从图中可知立方体的四个顶角原子是等价的,而处于两个相对的侧面中心的原子是等价的,因此基元应包含三个不等价的原子,所以它是一个复式格子,其中每个不等价原子各自构成一个简立方的子晶格,整个晶体是由三个简立方的子晶格套构而成。
所以是复式格子,属于立方晶系。
侧心立方
(6)边心立方如图所示,从图中可以看出立方体的四个顶角原子都相互等价,而相互平行的四条边上的边心原子相互等价,因此晶体中有四类不等价的原子,每个基元有四个不等价原子组成,所以它是一个复式格子,它的布拉菲格子是简立方
格子,整个晶体由四个简立方的子晶格套构而成。
属于立方晶系
边彷立方格手
从原胞的体积判断,晶体结构为体心立方。
而原胞的取法不止一种,我们
可以根据线性变换的条件,构造三个新的矢量:
(u=a3_ar=旦(_j+j+k)2
<£=ai+a2-a3=a(i+j-k)
2
正是体心立方结构的常见的基矢的表达式。
a3a.
2(jk)2i
a3
,1=ai,(a2a3)巧,仍为体心立方结构。
5、如果将等体积球分别排成下列结构,设x表示刚球所占体积与总体积之比,求证:
结构x
简单立方”6~0.52
3180.68
、2/6:
0.74
2/6:
0.74
.3二/160.34
一个晶胞中刚性原子球所占的体积
r表示刚性原子球半径,V表示晶胞体积,
体心立方
面心立方
六角密排
金刚石
证明:
设想晶体是由刚性原子球堆积而成。
与晶胞体积的比值x称为结构的致密度
设n为一个晶胞中的刚性原子数,
43
n-兀r
则致密度为:
x=—
V
(1)对简立方晶体,任一原子有6
x±M
a36
(2)对体心立方晶体,任一原子有8个最近邻,体心的原子与8个顶角的原子
球相切。
因为晶胞空间对角线的长度为
c4
2
晶胞中包含2个原子,所以x=33
a
层的一个原子将与第一层和第三层的原子相切,构成两个对顶的正四面体,第
层的这个原子在正四面体的顶角上。
四面体的边长为a,高为
其中c为六角密积的高,晶胞体积为V=ca2sin60°-ca2
2
晶胞体积为V=a3
&试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度,设晶格常数为a。
1
22,在上下边,一个是
解:
[解]对于面心立方结构的(110)晶面,其面积为Sj'^a2,其中a为立方边
的边长,即晶格常数。
在此晶面上有2个原子,一个是
(110)晶面族的原子数面密度为
1
4--1在顶角。
因此,
4
S*(»皿°)
1
在此晶面上有2个原子:
面心原子3p3/2个,
1
顶角原子3存1/2。
因此,(⑷)晶面族的原子数面密度为
32「3a2
a
2
7、闪锌矿的密度—4.067103kgm-,锌的原子量伦=65.37,硫的原子量代=32.06,求闪锌矿结构的点阵常数。
解:
[解]一个晶胞中有4个Zn和4个S,
一个晶胞的质量为M=(65.3732.06)4*仗g10沃一26k®710
_25
所以可以求得其体积V=M6.4710kg^-1.5910^8m^
P4.067"03kgm
11
晶格常数为a二V3=(1.5910工8)3m=0.542nm
点阵常数为a=b二c0.542im
8、已知锗是金刚石结构,锗单晶的密度「=5.32103kgm”,原子量Az^72.60,求锗的点阵常数及最近邻、次近邻距离。
解:
金刚石结构一个晶胞内有8个锗
一个晶胞的质量为M=72.69x81*667Kig0x9?
654所以可以求得其体积V=M9.64'hkg1.8110』8m,
P5.32F03kgm°
11
晶格常数为a二V3=(1.8110,8)3m=0.566nm
点阵常数为a=b=c£.566im
最近邻原子距离为—^=0.24r5m
4
暑
次近邻原子距离为-a=0.40r0m
2
9、试证明金刚石结构原子的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同,都是109028'
证明:
如下图所示:
设BC=a
BC是金刚石的晶格常数,AB是金刚石晶格的面对角线,AC是金刚石晶格的体对角线。
E是AC的1/4点,F是AB的中点
贝U有AE=ED,AF=BF
可得EF//BD
所以/a=Zb
△ABD中,AD=BD=x32aAB=2a
由余弦定理可求得:
/a=109°28'
10、求证:
任何点群中两个二重旋转轴之间的夹角只能是
考虑先后绕2和2'专动二,称它们为A操作和B操作。
显然,与它们垂直的轴上的任
意点N,先转到N',最后又转回到原来的位臵N,这表明BA相乘得到的操作:
C=BA
不改变这个轴,因此只能是一个绕垂直2和2'的轴的转动。
V的转角可以这样求出:
2轴在操作A中显然未动,经操作B将转到图中虚线所示2'的位臵,2和2'的夹角是2二,表明C的转角是2,。
因为C也必须是点群操作之一,2二只能等于60°,90°,120°,180°。
从而我们得到结论,任何点群中两个二重轴之间的夹角只能是30°,
45°,60°,90°。
11、在六角晶系中,晶面常用四个指数(hkil)表示,如图所示,前三个指数表示晶
面族中最靠近原点的晶面族在互成1200的共面轴a,a2,a3上的截距为
C/h,a2/k,a3/i,第四个指数表示该晶面在六重轴c上的截距为c/l。
求证:
i=-(hk)
并将下列用(hkl)表示的晶面用(hkil)表示:
(001),(133),(110),(323),(100),(010),(213)
解:
为清楚起见图中给出了六角格子底面的格点排列情况,假设有一晶面与底
面的交线为AB它在基矢6总@上的截距分别为岂邑,乞,假设直线AB的法线方hkl
向为n,则
岂・n=聖・n=^・n=d,
hkl
式中d为原点0至直线AB的距离,由上式可得
n"d
a^n二kd
a^n=id
一@1aJ・n二id
综上可得:
hki=0
即i-_(hk)
(001),(133),(110),(323),(100),(010),(213)表示成(hkil)分别为(0001),(1323),(1100),(3213),(1010),(0110),(2133)
12、具有笛卡尔坐标g,n2,n3)的所有点形成什么样的布拉菲点阵?
如果
(1)m或全为奇数,或全为偶数;
(2)要求a口为偶数。
i
解:
(1)若n(i=1,2,3)全为偶数;贝u点阵矢量R可以写为
R=(2l,2m,2n)
其中l,m,n为整数,于是有
R=1(2?
m(20n(2f)=la1ma2na3
a^i=a2=a3=2
显然由R所定义的是一个点阵常数为2的sc点阵。
若ni(i=1,2,3)全为奇数;贝U点阵矢量R可以写为
R=(211)?
(2m1)?
(2n1)?
=l(2?
m(2?
n(2?
(?
?
?
)
由R所定义的也是一个点阵常数为2的sc点阵,但相对于上面一个sc点阵位移了一个矢量(刃•?
•Z),这个点正好位于立方体得体心位臵,上面两个sc点阵穿套起来正好是一个bcc点阵,故(q,n2也)或全取偶数或全取奇数所定义的是一个bcc点阵.
(2)要求送n为偶数。
即要求(厲+巳+g)=2N为偶数,其中N为整数。
这
i
时,点阵矢量为
R=n1>?
n2?
(2N-a-门2)去=n1)?
n2?
[(N一nJ(N-n2)]?
令I=(N-nJ,m=(N-n2)
则有R=(N-1)5?
(N-m)?
(Im)?
又令n=N—I—mn仍为整数,则
R=(nm)5?
(nl)y?
(Im)艺工n(5?
?
)I(?
Z)m(?
X)
比较面心立方的原胞基矢,可见上述格矢定义的是一个点阵常数a=2的fee点阵。
13、
(1)证明理想的六角密堆积结构(hep)的轴比e/a是(8/3)1/2=1.633;
(2)钠在23K附近从bee结构转变为hep结构(马氏体相变),假如在此相变过程中
0
保持密度不变,求hep相的点阵常数a。
已知bee相的点阵常数是4.23A,且hep相的e/a比值与理想值相同。
解:
(a)在图1中,ABCD是六角密堆积结构初基品胞的菱形底面,且Q二且刀土吐第二层球的球心F正对看国点,同时和球心在的二个球相切.
故
且有
(小设钠在bcc相的点阵常数为以,初基晶胞体积为卩:
=
在hep相,初基晶胞体积为
sin60。
=刃(/寻)(E^~)=/2a3
由相变过程中密度不变,得
1=2
〒_耳
因为bee相的每个初基晶胞中包含一个钠原子,而hep相的每令
初基晶胞中包含两个钠原子.
将几和兀代入上式,得
22
°=
(2)%*3.77入
所以
hep相的点阵常数a=3・77A,c=6・16A.