固体物理第一章习题解答.docx
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固体物理第一章习题解答
固体物理学第一章习题解答
1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶的特征和性质。
答：
晶态：
内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。
其特征是原子排
列具有周期性，表现为既有长程取向有序又有平移对称性。
晶态的共性质：
（1）长
程有序；
（2）自限性和晶面角守恒；（3）各向异性；（4）固定熔点。
非晶态特点：
不具有长程序。
具有短程序。
短程序包括：
（1）近邻原子的数目和种类；
（2）近邻原子之间的距离（键长）；（3）近邻原子配臵的几何方位（键角）。
准晶态是一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。
准晶态结构的特点：
（1）
具有长程的取向序而没有长程的平移对称序（周期性）；
（2）取向序具有周期性所不能容许的点群对称；（3）沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。
晶体又分为单晶体和多晶体：
整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。
2、什么是布喇菲格子？
画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。
说明基元代表点构
成的格子是面心立方晶体，每个原胞包含几个格点。
答：
布喇菲格子（或布喇菲点阵）是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。
布喇菲格子是一种数学抽象，即点阵的总体，其特点是每个格点周围的情况完全相同。
实际工作中，常是以具体的粒子（原子、离子等）做格点，如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由这些原子所组成的格子，称为布喇菲格子。
NaCI晶体的结点构成的布格子实际上就是面心立方格子。
每个原胞中包含一个格点。
I'acc-Ce/itcreJCube
OIJ
3、指出下列各种格子是简单格子还是复式格子
（1）底心六角（在六角格子原胞底面中心存在一个原子）
（2）底心立方（3）底心四方
（4）面心四方（5）侧心立方
（6）边心立方
并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中的哪一种？
答：
要决定一个晶体是简单格子还是复式格子，首先要找到该晶体的基元，如果基元只包含一个原子则为简单格子。
反之，则为复式格子。
（1）底心六角的原胞为AIBKEJFL所表示，它具有一个垂直于底面的四度旋转轴，它的原胞形状如图所示，是简单格子，属于单斜晶系。
（2）底心立方如下图所示，它的底面原子的排列情况可看出每个原子的周围情况都是相同的，因而都是等价的，所以它的基元也由一个原子组成，是简单格子，属于四角晶系。
（3）底心四方如下图所示，每个原子的周围情况完全相同，基元中只有一个原子，属于简单格子，属于四角晶系。
⑷面心四方就是体心四角格子，是简单格子，属于四角晶系
（5）
侧心立方如下图所示，从图中可知立方体的四个顶角原子是等价的，而处于两个相对的侧面中心的原子是等价的，因此基元应包含三个不等价的原子，所以它是一个复式格子，其中每个不等价原子各自构成一个简立方的子晶格，整个晶体是由三个简立方的子晶格套构而成。
所以是复式格子，属于立方晶系。
侧心立方
（6）边心立方如图所示，从图中可以看出立方体的四个顶角原子都相互等价,而相互平行的四条边上的边心原子相互等价，因此晶体中有四类不等价的原子，每个基元有四个不等价原子组成，所以它是一个复式格子，它的布拉菲格子是简立方
格子，整个晶体由四个简立方的子晶格套构而成。
属于立方晶系
边彷立方格手
从原胞的体积判断，晶体结构为体心立方。
而原胞的取法不止一种，我们
可以根据线性变换的条件，构造三个新的矢量：
（u=a3_ar=旦（_j+j+k）2
<£=ai+a2-a3=a（i+j-k）
2
正是体心立方结构的常见的基矢的表达式。
a3a.
2（jk）2i
a3
，1=ai，（a2a3）巧，仍为体心立方结构。
5、如果将等体积球分别排成下列结构，设x表示刚球所占体积与总体积之比，求证:
结构x
简单立方”6~0.52
3180.68
、2/6：
0.74
2/6：
0.74
.3二/160.34
一个晶胞中刚性原子球所占的体积
r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积,
体心立方
面心立方
六角密排
金刚石
证明：
设想晶体是由刚性原子球堆积而成。
与晶胞体积的比值x称为结构的致密度
设n为一个晶胞中的刚性原子数,
43
n-兀r
则致密度为：
x=—
V
（1）对简立方晶体，任一原子有6
x±M
a36
（2）对体心立方晶体，任一原子有8个最近邻，体心的原子与8个顶角的原子
球相切。
因为晶胞空间对角线的长度为
c4
2
晶胞中包含2个原子，所以x=33
a
层的一个原子将与第一层和第三层的原子相切，构成两个对顶的正四面体，第
层的这个原子在正四面体的顶角上。
四面体的边长为a，高为
其中c为六角密积的高，晶胞体积为V=ca2sin60°-ca2
2
晶胞体积为V=a3
&试求面心立方结构（110）和（111）晶面族的原子数面密度，设晶格常数为a。
1
22,在上下边，一个是
解：
［解］对于面心立方结构的（110）晶面，其面积为Sj'^a2，其中a为立方边
的边长，即晶格常数。
在此晶面上有2个原子，一个是
（110）晶面族的原子数面密度为
1
4--1在顶角。
因此,
4
S*（»皿°）
1
在此晶面上有2个原子：
面心原子3p3/2个,
1
顶角原子3存1/2。
因此，（⑷）晶面族的原子数面密度为
32「3a2
a
2
7、闪锌矿的密度—4.067103kgm-,锌的原子量伦=65.37,硫的原子量代=32.06,求闪锌矿结构的点阵常数。
解：
［解］一个晶胞中有4个Zn和4个S,
一个晶胞的质量为M=（65.3732.06）4*仗g10沃一26k®710
_25
所以可以求得其体积V=M6.4710kg^-1.5910^8m^
P4.067"03kgm
11
晶格常数为a二V3=（1.5910工8）3m=0.542nm
点阵常数为a=b二c0.542im
8、已知锗是金刚石结构，锗单晶的密度「=5.32103kgm”，原子量Az^72.60，求锗的点阵常数及最近邻、次近邻距离。
解：
金刚石结构一个晶胞内有8个锗
一个晶胞的质量为M=72.69x81*667Kig0x9?
654所以可以求得其体积V=M9.64'hkg1.8110』8m，
P5.32F03kgm°
11
晶格常数为a二V3=（1.8110,8）3m=0.566nm
点阵常数为a=b=c£.566im
最近邻原子距离为—^=0.24r5m
4
暑
次近邻原子距离为-a=0.40r0m
2
9、试证明金刚石结构原子的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，都是109028'
证明：
如下图所示：
设BC=a
BC是金刚石的晶格常数，AB是金刚石晶格的面对角线，AC是金刚石晶格的体对角线。
E是AC的1/4点，F是AB的中点
贝U有AE=ED,AF=BF
可得EF//BD
所以/a=Zb
△ABD中，AD=BD=x32aAB=2a
由余弦定理可求得：
/a=109°28'
10、求证：
任何点群中两个二重旋转轴之间的夹角只能是
考虑先后绕2和2'专动二，称它们为A操作和B操作。
显然，与它们垂直的轴上的任
意点N,先转到N',最后又转回到原来的位臵N,这表明BA相乘得到的操作：
C=BA
不改变这个轴，因此只能是一个绕垂直2和2'的轴的转动。
V的转角可以这样求出：
2轴在操作A中显然未动，经操作B将转到图中虚线所示2'的位臵，2和2'的夹角是2二，表明C的转角是2,。
因为C也必须是点群操作之一，2二只能等于60°,90°,120°,180°。
从而我们得到结论，任何点群中两个二重轴之间的夹角只能是30°,
45°,60°,90°。
11、在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）表示，如图所示，前三个指数表示晶
面族中最靠近原点的晶面族在互成1200的共面轴a,a2,a3上的截距为
C/h,a2/k,a3/i，第四个指数表示该晶面在六重轴c上的截距为c/l。
求证:
i=-（hk）
并将下列用（hkl）表示的晶面用（hkil）表示:
（001）,（133）,（110）,（323）,（100）,（010）,（213）
解：
为清楚起见图中给出了六角格子底面的格点排列情况，假设有一晶面与底
面的交线为AB它在基矢6总@上的截距分别为岂邑，乞，假设直线AB的法线方hkl
向为n，则
岂・n=聖・n=^・n=d,
hkl
式中d为原点0至直线AB的距离，由上式可得
n"d
a^n二kd
a^n=id
一@1aJ・n二id
综上可得:
hki=0
即i-_（hk）
（001）,（133）,（110）,（323）,（100）,（010）,（213）表示成（hkil）分别为（0001）,（1323）,（1100）,（3213）,（1010）,（0110）,（2133）
12、具有笛卡尔坐标g,n2,n3）的所有点形成什么样的布拉菲点阵？
如果
（1）m或全为奇数，或全为偶数；
（2）要求a口为偶数。
i
解：
（1）若n（i=1,2,3）全为偶数；贝u点阵矢量R可以写为
R=（2l,2m,2n）
其中l,m,n为整数，于是有
R=1（2?
m（20n（2f）=la1ma2na3
a^i=a2=a3=2
显然由R所定义的是一个点阵常数为2的sc点阵。
若ni（i=1,2,3）全为奇数；贝U点阵矢量R可以写为
R=（211）?
（2m1）?
（2n1）?
=l（2?
m（2?
n（2?
（?
?
?
）
由R所定义的也是一个点阵常数为2的sc点阵，但相对于上面一个sc点阵位移了一个矢量（刃•？
•Z）,这个点正好位于立方体得体心位臵，上面两个sc点阵穿套起来正好是一个bcc点阵，故（q,n2也）或全取偶数或全取奇数所定义的是一个bcc点阵.
（2）要求送n为偶数。
即要求（厲+巳+g）=2N为偶数，其中N为整数。
这
i
时，点阵矢量为
R=n1>?
n2?
（2N-a-门2）去=n1）?
n2?
[（N一nJ（N-n2）]?
令I=（N-nJ,m=（N-n2）
则有R=（N-1）5?
（N-m）?
（Im）?
又令n=N—I—mn仍为整数，则
R=（nm）5?
（nl）y?
（Im）艺工n（5?
?
）I（?
Z）m（?
X）
比较面心立方的原胞基矢，可见上述格矢定义的是一个点阵常数a=2的fee点阵。
13、
（1）证明理想的六角密堆积结构（hep）的轴比e/a是（8/3）1/2=1.633;
（2）钠在23K附近从bee结构转变为hep结构（马氏体相变），假如在此相变过程中
0
保持密度不变，求hep相的点阵常数a。
已知bee相的点阵常数是4.23A，且hep相的e/a比值与理想值相同。
解：
（a）在图1中，ABCD是六角密堆积结构初基品胞的菱形底面，且Q二且刀土吐第二层球的球心F正对看国点，同时和球心在的二个球相切.
故
且有
（小设钠在bcc相的点阵常数为以，初基晶胞体积为卩:
=
在hep相，初基晶胞体积为
sin60。
=刃（/寻）（E^~）=/2a3
由相变过程中密度不变，得
1=2
〒_耳
因为bee相的每个初基晶胞中包含一个钠原子，而hep相的每令
初基晶胞中包含两个钠原子.
将几和兀代入上式,得
22
°=
（2）%*3.77入
所以
hep相的点阵常数a=3・77A,c=6・16A.
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