[答案]
9．在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥O－PAB的体积不大于的概率为__________．
[解析] 先求四棱锥P－ABCD的体积，再求出事件发生的区域的体积，利用体积比，即可得结果．
设三棱锥O－PAB的高为h，依题意知S△PAB＝PA×AB＝×1×1＝，又V三棱锥O－PAB≤，所以h≤.
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥CD，
因为底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD，
又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB.
因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
如图所示，设AD，BC，PC，PD的中点分别为E，F，G，H，当点O在多面体ABPEFGH内部或表面上（不包括平面PAB）时，V三棱锥O－PAB≤.
在多面体CDEFGH中，连接GD，GE，则V多面体CDEFGH＝V四棱锥G－CDEF＋V三棱锥G－DEH＝××＋××＝，
因为V四棱锥P－ABCD＝×（1×1）×1＝，所以V多面体ABPEFGH＝－＝，
则三棱锥O－PAB的体积不大于的概率P＝＝.
[答案]
三、解答题
10．（2018·山东烟台调研改编）从曲线x3＋y2＝|x|＋|y|所围成的封闭图形内任取一点，求该点在单位圆中的概率．
[解]
如图，当x≥0，y≥0时，x2＋y2＝|x|＋|y|化为x2＋y2＝x＋y，表示以为圆心，为半径的圆在第一象限的部分；
当x≥0，y≤0时，x2＋y2＝|x|＋|y|化为x2＋y2＝x－y，
表示以为圆心，为半径的圆在第四象限的部分；
当x≤0，y≥0时，x2＋y2＝|x|＋|y|化为x2＋y2＝－x＋y，
表示以为圆心，为半径的圆在第二象限的部分；
当x≤0，y≤0时，x2＋y2＝|x|＋|y|化为x2＋y2＝－x－y，
表示以为圆心，为半径的圆在第三象限的部分．
∴曲线x2＋y2＝|x|＋|y|所围成的封闭图形的面积为（）2＋2π×2＝2＋π.
∴该点在单位圆中的概率为P＝.
[能力提升]
11．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A.B.C.D.
[解析] 设BC中点为M，
∴＋＝2
∵＋＋2＝0，
∴＝－，
∴P为AM中点
＝，∴＝，
∴一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC的概率是，故选C.
[答案] C
12．（2017·河北唐山期末）已知函数f（x）＝2x－－14，若在区间（0,16）内随机取一个数x0，则f（x0）>0的概率为（ ）
A.B.C.D.
[解析] 在同一坐标系中作出函数y＝2x与y＝＋14的图象（图略），则由图可知，两个函数的图象交点为（4,16），则在（0,16）内且f（x0）>0时，x0∈（4,16），∴f（x0）>0的概率为P＝＝.
[答案] D
13．如图，正四棱锥S－ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为__________．
[解析] 设球的半径为R，则所求的概率为
P＝＝＝.
[答案]
14．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________．
[解析] 依题意知，有信号的区域面积为×2＝，矩形面积为2，故无信号的概率P＝＝1－.
[答案] 1－
14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M.
（1）求四棱锥M－ABCD的体积小于的概率；
（2）求M落在三棱柱ABC－A1B1C1内的概率．
[解]
（1）正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M－ABCD的高为h，令×S四边形ABCD×h＝，∵S四边形ABCD＝1，∴h＝.
若体积小于，则h<，即点M在正方体的下半部分，∴P＝＝.
（2）∵V三棱柱＝×12×1＝，
∴所求概率P1＝＝.
15．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.
（1）求n的值．
（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>（a－b）2恒成立”的概率．
[解]
（1）依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为＝，得n＝2.
（2）①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，（a，b）所有可能的结果为（0,1），（0,2），（0,2），（1,2），（1,2），（2,2），（1,0），（2,0），（2,0），（2,1），（2,1），（2,2），共有12种，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P（A）＝＝.
②由①可知，（a－b）2≤4，故x2＋y2>4，（x，y）可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为
Ω＝{（x，y）|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，
由几何概型得概率为P＝＝1－.
[延伸拓展]
已知关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，则方程有实根的概率为多少．
[解] 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为P（A）＝＝.
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