届一轮复习人教A版第一部分 专题五 解 析 几 何学案.docx

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届一轮复习人教A版第一部分专题五解析几何学案

专题五　解析几何

第一讲直_线_与_圆

一、基础知识要记牢

直线与直线的位置关系的判定方法

（1）给定两条直线l1：

y＝k1x＋b1和l2：

y＝k2x＋b2，则有下列结论：

l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

（2）若给定的方程是一般式，即l1：

A1x＋B1y＋C1＝0和l2：

A2x＋B2y＋C2＝0，则有下列结论：

l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；

l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

二、经典例题领悟好

例1]　

（1）设直线l1：

2x－my－1＝0，l2：

（m－1）x－y＋1＝0.则“m＝2”是“l1∥l2”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

（2）过直线l1：

x－2y＋3＝0与直线l2：

2x＋3y－8＝0的交点，且到点P（0,4）距离为2的直线方程为_____________________________________________________________________.

解析]　

（1）m＝2⇒＝＝－1，＝1－m＝－1⇒＝，且≠⇒l1∥l2；l1∥l2⇒A1B2＝A2B1⇒2·（－1）＝（－m）·（m－1）且B1C2≠B2C1⇒m＝2.

（2）由得∴l1与l2的交点为（1,2）．当所求直线斜率不存在，即直线方程为x＝1时，显然不满足题意．

当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y－2＝k（x－1），即kx－y＋2－k＝0，

∵点P（0,4）到直线的距离为2，∴2＝，

∴k＝0或k＝.

∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.

答案]　

（1）C　

（2）y＝2或4x－3y＋2＝0

（1）处理两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．

（2）要注意每种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直（用两点式也不能与y轴垂直）．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．

（3）在解决问题的过程中，要注意选择直线方程的形式，用待定系数法求直线的方程，是最基本最常用的方法.

三、预测押题不能少

1．

（1）已知直线l：

x－y－1＝0，l1：

2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是（　　）

A．x－2y＋1＝0　　　　　　B．x－2y－1＝0

C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝0

解析：

选B　因为l1与l2关于l对称，

所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，

故l与l1的交点（1,0）在l2上．

又易知（0，－2）为l1上一点，

设它关于l的对称点为（x，y），

则解得

即（1,0），（－1，－1）为l2上两点，

可得l2的方程为x－2y－1＝0.

（2）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则|PA|·|PB|的最大值是________．

解析：

易求定点A（0,0），B（1,3）．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5（当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立），当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.

答案：

5

一、基础知识要记牢

（1）标准方程：

（x－a）2＋（y－b）2＝r2，圆心坐标为（a，b），半径为r.

（2）一般方程：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0），圆心坐标为，半径r＝.

二、经典例题领悟好

例2]　

（1）（2016·浙江高考）已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

（2）（2016·天津高考）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M（0，）在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．

解析]　

（1）由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋（y＋1）2＝－＜0，不表示圆；

当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，则圆心坐标为（－2，－4），半径是5.

（2）因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C（a,0），且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，

所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，

所以圆C的方程为（x－2）2＋y2＝9.

答案]　

（1）（－2，－4）　5　

（2）（x－2）2＋y2＝9

圆的方程的求法

（1）几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．

（2）代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法．

提醒]　圆心到切线的距离等于半径，该结论在解题过程中经常用到，需牢记.

三、预测押题不能少

2．

（1）圆心在直线x＋y＝0上且过两圆x2＋y2－2x＝0，x2＋y2＋2y＝0的交点的圆的方程为（　　）

A．x2＋y2－x＋y－＝0

B．x2＋y2＋x－y－＝0

C．x2＋y2－x＋y＝0

D．x2＋y2＋x－y＝0

解析：

选C　由已知圆的方程可设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋λ（x2＋y2＋2y）＝0（λ≠－1），即x2＋y2－x＋y＝0，∴圆心坐标为.又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－＝0，∴λ＝1，∴所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＝0.

（2）圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________________．

解析：

设圆心坐标为（a，b），半径为r.由已知又圆心（a，b）到y轴、x轴的距离分别为|a|，|b|，所以|a|＝r，|b|2＋3＝r2.综上，解得a＝2，b＝1，r＝2，所以圆心坐标为（2,1），圆C的标准方程为（x－2）2＋（y－1）2＝4.

答案：

（x－2）2＋（y－1）2＝4

一、基础知识要记牢

解答直线与圆的位置关系问题的方法

（1）代数法．将圆的方程和直线的方程联立起组成方程组，利用判别式Δ讨论位置关系：

Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．

（2）几何法．把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较：

dR⇔相离．

二、经典例题领悟好

例3]　

（1）（2017·昆明模拟）已知圆M：

x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：

（x－1）2＋（y－1）2＝1的位置关系是（　　）

A．内切B．相交C．外切D．相离

（2）（2016·全国卷Ⅲ）已知直线l：

mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.

解析]　

（1）由题知圆M：

x2＋（y－a）2＝a2（a＞0），圆心（0，a）到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，即圆M的圆心为（0,2），半径为2.又圆N的圆心为（1,1），半径为1，则圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，半径之和为3,1<<3，故两圆相交．

（2）由直线l：

mx＋y＋3m－＝0知其过定点（－3，），圆心O到直线l的距离为d＝.

由|AB|＝2得2＋（）2＝12，解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.

画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.

答案]　

（1）B　

（2）4

（1）研究直线与圆的位置关系最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.

（2）与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系处理.

三、预测押题不能少

3．

（1）已知点P（x0，y0），圆O：

x2＋y2＝r2（r>0），直线l：

x0x＋y0y＝r2，有以下几个结论：

①若点P在圆O上，则直线l与圆O相切；

②若点P在圆O外，则直线l与圆O相离；

③若点P在圆O内，则直线l与圆O相交；

④无论点P在何处，直线l与圆O恒相切．

其中正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

解析：

选A　根据点到直线的距离公式有d＝.若点P在圆O上，则x＋y＝r2，d＝r，相切；若点P在圆O外，则x＋y>r2，dr，相离，故只有①正确．

（2）已知P（x，y）是直线kx＋y＋4＝0（k>0）上一动点，PA，PB是圆C：

x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝________.

解析：

如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋（y－1）2＝1，

所以圆心为C（0,1），半径为r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.

而S△PBC＝r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，则d＝＝＝，化简得k2＝4，因为k>0，所以k＝2.

答案：

2

知能专练（十六）]

一、选择题

1．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A（3,2），B（－a,1），且l1与l垂直，直线l2：

2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝（　　）

A．－4B．－2

C．0D．2

解析：

选B　由题知，直线l的斜率为1，则直线l1的斜率为－1，所以＝－1，所以a＝－4.又l1∥l2，所以－＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2，故选B.

2．若直线l1：

x＋ay＋6＝0与l2：

（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　由l1∥l2，得（a－2）a＝1×3，且a×2a≠3×6，解得a＝－1，所以l1：

x－y＋6＝0，l2：

x－y＋＝0，所以l1与l2间的距离为d＝＝.

3．（2018届高三·深圳五校联考）已知直线l：

x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为（　　）

A．2B．－2

C．1D．－1

解析：

选D　因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆（x＋1）2＋（y－3）2＝9，若圆（x＋1）2＋（y－3）2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：

x＋my＋4＝0过圆心（－1,3），所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.

4．（2017·嘉兴模拟）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为（　　）

A.πB.

C．（6－2）πD.

解析：

选A　法一：

设A（a,0），B（0，b），圆C的圆心坐标为，2r＝，由题知圆心到直线2x＋y－4＝0的距离d＝＝r，即|2a＋b－8|＝2r，2a＋b＝8±2r，由（2a＋b）2≤5（a2＋b2），得8±2r≤2r⇒r≥，即圆C的面积S＝πr2≥.

法二：

由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小．又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O到直线2x＋y－4＝0的距离，此时2r＝，得r＝，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝.

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