经济数学典型案例.docx
《经济数学典型案例.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《经济数学典型案例.docx(65页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
经济数学典型案例
经济应用典型问题
1.按照银行规定,某种外币一年期存款的年利率为4.2%,半年期存款的年利率为4.0%,每笔存款到期后,银行自动将其转存为同样期限的存款,设将总数为A单位货币的该种外币存入银行,两年后取出,问存何种期限的存款能有较多的收益,多多少?
解(i)设货币存一年期,则一年后货币总数为:
A1
4.2%
两个后货币总数:
A1
4.2%1
4.2%A1
2
4.2%
1.085764A
(i)设货币存半年期,
则存半年的利率则存半年的利率
:
2.0%
半年后货币总数:
A1
2.0%
一年后货币总数:
A1
2.0%1
2.0%A1
2
2.0%
一年半后货币总数:
A
2
12.0%
12.0%A
12.0%
3
两年后货币总数:
A1
3
2.0%31
2.0%A1
4
2.0%4
1.082432A
比较(i),(ii)知货币存一年期有较多收益,多0.00333A.
2•某工厂生产某种产品,年产量为X,每台售价250元,当年产量为600台以内时,可
以全部售出,当年产量超过600台时,经广告宣传又可再多售出200台,每台平均广告费20元,生产再多,本年就售不出去了,建立本年的销售总收入R与年产量x的函数关系•
解(i)当0X600时,R250X
(ii)当600x800时,R250x20x600230x1.2104
5
(iii)当x800时,R800g250202001.9610
250x,0x600
故Rx230x1.2104,600x800
5
1.96105,x800
3.某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元,固定成本为7500元,可变成本为每台60元.
(1)要卖多少台手掌机,厂家才可保本(收回投资);
(2)卖掉100台的话,厂家赢利或亏损了多少?
(3)要获得1250元利润,需要卖多少台?
解
(1)设厂家生产的台数为X,则总成本cx750060x
总收益Rx110x,令Rxcx,110x750060x
解得:
x150
故要卖150台,厂家才可保本.
c100R1002500
故卖掉100台的话,厂家亏损2500元
⑶LxRxex
110x750060x50x7500
1250,则50x
75001250,解得x175
故要获得1250元利润,需卖175台.
4•有两家健身俱乐部,第一家每月会费300元,每次健身收费1元,第二家每月会费200元,每次健身收费2元,若只考虑经济因素,你会选择哪一家俱乐部(根据你每月健身次数决定)?
解设每月健身次数为X,
则第一家每月总费用G300x
第二家每月总费用C22002x
令G
C2,则300+x=200+2x,解得:
x=100
当0
x100时,GC2这时选择第二家俱乐部
当x
100时,qC2,这时选择第一家俱乐部
当x
100时,GC2,这时选择任一家俱乐部
5•设某商品的需求函数与供给函数分别为DP色00和SPP10.
P
(1)找出均衡价格,并求此时的供给量与需求量;
(2)在同一坐标中画出供给与需求曲线;
(3)何时供给曲线过P轴,这一点的经济意义是什么?
解
(1)令DPSP,则5600P10,解得:
P80
P
故均衡价格为80,此时供给量与需求量为:
560070
80
⑵
图1-茁(习魁M第召履⑴)编辑版word
(3)令SP0,即P100,P10,故价格P10时,供给曲线过P轴,这一点的经济意义是当价格低于10时,无人供货.
6.某化肥厂生产某产品1000吨,每吨定价为130元,销售量在700吨以内时,按原价出售,超过700吨时超过的部分需打9折出售,请将销售总收益与总销售量的函数关系用数字表达式表出.
解Q为销售量,RQ为总收益。
由题意知y是x的一次函数,故设yaxb
且当x200时,y60;当x210,y59,
60200aba0.1
故有
59210abb80
故y0.1x80故租金为x时,饭店房租收入为:
22Rxxy0.1x280x0.1x40016000
故租金为400元/套时,房租收入最大,为16000元,当x400时,y40,此时饭店将空出20套高级客房.
(图形略)
7.收音机每台售价为90元,成本为60元,厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购100台售价就降低1元,但最低价为每台75元:
(1)将每台的实际售价P表示为订购量x的函数;
(2)将厂方所获的利润L表示成订购量x的函数;
(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少?
解
(1)当0x100时,Px90
当x100时,由题意P是x的一次函数
设P
axb,
当x100时,
P90,
当x
200时,P
90100a
b
a
0.01
故P
故
,解得:
910.01x
8
9200a
b
b
91
但P
75,故
910.01x
75,
即x1
600
故当
100x
1600时,
P91
0.01x
当x
1600时,
P75
90,
0x
100
故P
910.
01x,100
x16
00
75,
x1600
⑵(i)当0x100时,P90,收益RPx90x,成本C60x故利润LRC90x60x30x
(ii)当100x1600时,P910.01x,收益R910.01xx,成本C60x
故利润
L
RC
91
0.01xx60x
(iii)当
x
1600时,
P
75,收益R75x,成本C60x
故利润
L
RC
75x
60x15x
30x,
0x100
故利润
L
910.01x
x60x,100x1600
15x,
x1600
⑶当x1000时,L910.01g!
000g!
00060g!
00021000
故厂方可获21000元的利润.
8.—种汽车出厂价45000元,使用后它的价值按年降价率值y(元)与使用时间t(年)的函数关系.
1
解使用一年的汽车的价值y450001-
3
1
-的标准贬值,试求此车的价
3
11
使用两年的汽车的价值y450001—1—
33
2
1
450001-
3
tt
12
故使用t年的汽车的价值y450001—45000-
33
9.某大楼有50间办公室出租,若定价每间每月租金120元,则可全部租出,租出的办公室每月需由房主负担维修费10元,若每月租金每提高一个5元,将空出一间办公室,试求房主所获得利润与闲置办公室的间数的函数关系,并确定每间月租金多少时才能获得最大利
润?
这时利润是多少?
解设x为每间月租金,y为闲置办公室的间数,L为利润
则L50yx10
由已知当x120时,y是x的一次函数,故设
yaxb,当x120时,
丄,亠0
120a
b
a
故有
1
125a
b
b
y0;当x125,y1
1
5
24,
1
故y—x24,则x5y120
5
故L50y5y1201050y5y110
2
即L5y146480,y0,50
故当y14,即当闲置办公室14间时,可获得最大利润,最大利润为6480元,此时每
间月租金为190元
10.每印一本杂志的成本为1.22元,每售出一本杂志仅能得1.20元的收入,但销售额超
过15000本时还能取得超过部分收入的10%作为广告费收入,试问应至少销售多少本杂志才
能保本?
销售量达到多少时才能获利达1000元?
解(i)设x为销售量,则成本C1.22x
收益R1.20xx150001.2010%
令CR,贝U1.22x1.20xx150001.2010%
解得:
x18000
故至少销售18000本杂志才能保本.
(ii)LRC1.20xx150001.2010%1.22x0.1x1800
令L1000,则0.1x18001000,解得x28000
故销售量达到28000时才能获利达1000元.
11•某企业计划发行公司债券,规定以年利率6.5%的连续复利计算利息,10年后每份债券
次偿还本息1000元,问发行时每份债券的价格应定为多少元?
解设发行时每份债券的价格定为A0元,则
6.5%100.650.65
1000A^eAoeA1000ge522.046(兀)
12.—片森林现有木材am3,若以年增长率1.2%均匀增长,问t年后,这片森林有木材多少?
解一年后森林木材数:
y1
lima1
n
n
1.2%
n
ae0.012
二年后森林木材数:
y2
lima1
n
1.2%
2n
ae0.0122
故t年后森林木材数:
lima1
n
1.2%tn
0.012t
age
13国家向某企业投资2万元,这家企业将投资作为抵押品向银贷款,得到相当于抵押品价格80%的贷款,该企业将这笔贷款再次进行投资,并且又将投资作为抵押品向银行贷款,
得到相当于新抵押品价格80%的贷款,该企业又将新贷款进行再投资,这样贷款一投资一再
贷款一再投资,如此反复扩大再投资,问其实际效果相当于国家投资多少万元所产生的直接效果?
解设Sn220.820.82L20.8n1
则limSnlim[220.8L
nn
n1,
20.8]
lim21(0^)n
n10.8
10
故其实际效果相当于国家投资10万元所产生的直接效果
14.设某商品的总收益R关于销售量Q的函数为
2
R(Q)104Q0.4Q
求:
(1)销售量为Q时总收入的边际收入;
⑵销售量Q50个单位时总收入的边际收入;
⑶销售量Q100个单位时总收入对Q的弹性.
解
(1)R(Q)1040.8Q
⑵R(Q)q501040.85064
ER
EQ
Q100
(1040.8Q)q100gQq
15某化工厂日产能力最高为吨)的函数
1000吨,每日产品的总成本C(单位:
兀)是日产量x(单位:
100
CC(x)1000
7x50.xx[0,1000]
(1)求当日产量为100吨时的边际成本;
(1)求当日产量为100吨时的平均单位成本
解
(1)C(x)x!
00
750
x100
9.5
⑵C(x)x10010007005002200
2200
C(x)x10022
100
16某商品的价格P关于需求量Q的函数为P10Q,求:
5
(1)总收益函数、平均收益函数和边际收益函数;
⑵当Q20个单位时的总收益、平均收益和边际收益
12解⑴R(Q)PQ10Q—Q
5
R(Q)R(Q)10-Q
Q5
R(Q)102Q
5
(2)R(20)120
R(20)6
R(20)2
17某厂每周生产Q(单位:
百件)产品的总成本C(单位:
千元)是产量的函数
CC(Q)10012QQ2
如果每百件产品销售价格为4万元,试写出利润函数及边际利润为零时的每周产量
解
L(Q)R(Q)(Q)40Q(10012QQ2)Q228Q1000
L(Q)2Q280
可得Q14
故边际利润为零时的每周产量为14百件.
18•设巧克力糖每周的需求量Q(单位:
公斤)是价格P(单位:
元)的函数
Qf(P)
1000
2(2P1)
求当P
10(元)时,巧克力糖的边际需求量,求说明其经济意义
解Q(P)2gW00丐
(2P1)
4000
3(2P1)
Q(10)0.432
其经济意义为:
巧克力糖价格由原10元价再增加1元•每周需求量将减少0.432公斤.
19证明:
若f(x),g(x)是可导函数,则:
⑴E[f(x)gg(x)]Ef(x)Eg(x)_
ExExEx
E_L^
⑵当g(x)0时,亠型Ef(x)Eg(x);
ExExEx
⑶若yf(u),u
证明
(x)都可导,则
Ef(x)
Ex
Ef(u)gE(x)
EugEx
E
(1)-
xyx
Ex
xxEfxEgx
gx
fxgxExEx
fxE
gx
⑵E—
Ex
fx
xf
gx
fx
gx
Ef[(x)]£
x
⑶f
(x)
Ex
f[
(x)]
u
“、x
f(u)
(x)-
f(u)
u
_p
20设某商品的需求函数为Qe可求:
xgx
fxgxxgx
g
(x)
f
x
x
Ef
xEgx
gx
ExEx
x
f(u)
(x)-
f(u)
f(u)
u
/\x
(x)
Ef(u)
E(x)
f(u)
u
Eu
Ex
fxxgxfx
⑴需求弹性函数;
(2)p3,5,6时的需求弹性,并说明其经济意义
解⑴(p)
pdQ
Qdp
⑵⑶0.6
1,说明当
3时,
需求变动的幅度小于价格变动的幅度,
即p3时,价
格上涨1%,需求减少0.6%.
⑸1,说明当p5时,价格与需求变动的幅度相同
(6)1.21,说明当p6时,需求变动的幅度大于价格变动的幅度,即p6时,价格
上涨1%,需求减少1.2%.
21•设某商品的需求函数为Q1005p,其中Q,p分别表示需求量和价格,试分别求出
需求弹性大于1,等于1的商品价格的取值范围.
解
(p)
pdQ
pg(5)5p
Qdp
1005p1005p
(p)
1时
p10
(p)
1时
5p
1可得10p20.
100g5p
22某商品需求函数为Qf(p)
12卫:
2
(1)求需求弹性函数;
(2)求p6时的需求弹性;
编辑版word
(3)在p6时,若价格上涨1%,总收益增加还是减少?
将变化百分之几?
24p
解⑴⑼2dQ亠
Qdp12£
~2
故詈|p61(6)
2
-0.67
3
在p6时,若价格上涨
1%,总收益增加0.67%.
23•设某商品的供给函数Q
45p,求供给弹性函数及
p2时的供给弹性
dQp
Ep^?
gQ
5」
45p
5p
45p
p2时,Ep
10
410
24•设某产品的需求函数为
QQ(p),收益函数R
pQ,其中p为产品价格.Q(p)为单调
减少函数•如果当价格为
Po对应产量为
Qo时,边际收益
dR
dQ
QQo
0,收益对价格的边际收
益为dR
dpp
C0,需求对价格的弹性为p。
b1,求p°与Q°.
解Q塑坐匹
dpdQdp
dQ
c=a
dp
p。
dQ
dp
又
pdQ
ppo故dQ
pPo
Qo
dp
0dp
c
Qo
—
b
①
a
po
dR
d(pQ)
CdQ
Qp
dp
dp
dp
dQ
-c
Q0
pox
pPoQ0Po—
c
dp
a
pp0
Po
②
⑵
⑹
1
3
⑶
ER
pdR
—
1
Ep
Rdp
abp。
由①②可得
b1
Q°C
1b
25.某企业生产一
种商品,年需求量是价格
(1)需求弹性;
(2)需求弹性等于
1时的价格.
解⑴(p)
pdQpg(b)
Qdpabp
⑵(p)1时
bpabp
P的线性函数Qabp,其中a,b0,试求:
bp,a
abp可得p2b.
26•设某产品的成本函数和收入函数分别为
22
C(x)1005x2x,R(x)200xx,其中x表示产品的产量,求:
(1)边际成本函数、边际收入函数、边际利润函数;
(2)已生产并销售25个单位产品,第26个单位产品会有多少利润?
解
(1)C(x)54x
R(x)2002x
L(x)R(x)C(x)1952x
⑵L25145
27•某商品的需求量Q为价格P的函数
Q1502P2
求:
(1)当P6时的边际需求,并说明其经济意义;
(2)当P6时的需求弹性,并说明其经济意义;
(3)当P6时,若价格下降2%,总收益将变化百分之几?
是增加还是减少?
解
(1)Q(P)4P
Q(6)24
说明当价格为6时,再提高(下降)一个单位价格,需求将减少(增加)24个单位商品量
⑵(P)
PdQ4P2
QdP1502P2
(6)1.85
说明价格上升(下降)1%,则需求减少(增加)1.85%.
⑶R(P)1502P3
ER-dR-3(1506P2)
EPRdP150P2P
2
1506P
1502P
ER
EP
p60.846
•••若价格下降2%,总收益增加(0.8462)%,即1.692%.
28.求下列经济应用问题中的最大值或最小值:
(1)假设某种商品的需求量
Q是单价P的函数Q12000
80P,商品的总成本C是需求
量Q的函数C2500050Q,每单位商品需纳税2.试求使销售利润最大的商品价格和最大
利润;
x
(2)设价格函数P15e3(x为产量)求最大收益时的产量、价格和收益;
(3)某工厂生产某种商品,其年销售量为100万件,分为N批生产,每批生产需要增加
生产准备费1000元,而每件商品的一年库存费为0.05元,如果年销售率是均匀的,且上批
售完后立即生产出下批(此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半).问N为何值时,才能
使生产准备费与库存费两项之和最小?
(4)设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R(x)100xx2,总成本函数为
2
C(x)20050xx,问政府对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得最大利润的情况
下,总税额最大?
(5)设生产某商品的总成本为C(x)1000050xx2(x为产量),问产量为多少时,每件
产品的平均成本最低?
解
(1)L(P)
P(1200080P)[2500050(1200080P)]2(1200080P)
649000
2
16160P80P
L(P)16160160P
0
得P101
L(P)1600,•P101为极小值点
依题意,最值一定存在,所以P101为使销售利润最大的商品价格,此时最大利润为
L(101)64900016160g!
0180g012167080
xx
(2)R(x)xg!
5e315xe空
xX4
1
R(x)15e315xe3g3
x
5e3(3x)
R(x)0得x3
0x3时R(x)0
x3时R(x)0
x3为极大值点
依题意,此唯一的极大值点即为最大值点,即x3时有最大收益
此时P15e1
最大收益为R(3)45e1
(3)设每年的生产准备费与库存费之和为C,批量为x则
C(x)1000
1000000
x
0.05扌
9
10x
x40
由C(x)
9
1105
2得驻点怡2105
40x
由C(x)
9
210小八、一一,+「
30,知驻点为最小值点,
x
100万因此,x20万件时,C最小,此时N5.
20万
(4)设每件商品征收的货物税为a,
L(x)R(x)C(x)ax
100x
2x
(200
50xx2)ax
2x2
(50
a)x
200
L(x)4x50a
令L(x)
0得x
50
a
4
.此时L(x)取最大值
税收为T
ax
a(50
a)
4
T
1
(50
4
2a)
0
a
25
T1
0.・.a
25时T取最大值.
1000050xx2
“10000
⑸C(x)
x50-
x
x
10000
C(x)
1L
x
令C(x)
0得x100(x
100舍去)
故征收货物税应为25.
C(X)
0
20000
3~X
•••x100时C(x)取得最小值,即产量为100时,平均成本最低
29.求下列经济应用问题的最大、最小值:
(1)某商场一年内要分批购进某商品2400件,每件商品批发价为6元(购进),每件商品每年占用银行资金为10%利率,每批商品的采购费用为160元,问分几批购进时,才能使上述两项开支之和最少(不包括商品批发价)?
⑵某企业生产产品x件时,总成本函数为C(x)ax2bxc,总收益函数为
R(x)ax2x(a,b,c,,0,a),当企业按最大利润投产时,对每件产品征收税额为
多少才能使总税额最大?
解
(1)设分x批购进,两项开支之和为