经济数学典型案例.docx

1、经济数学典型案例经济应用典型问题1按照银行规定， 某种外币一年期存款的年利率为 4.2%，半年期存款的年利率为 4.0%， 每笔存款到期后，银行自动将其转存为同样期限的存款，设将总数为 A 单位货币的该种外 币存入银行，两年后取出，问存何种期限的存款能有较多的收益，多多少？解 (i )设货币存一年期，则一年后货币总数为：A14.2%两个后货币总数：A14.2% 14.2% A 124.2% 1 .085764 A(i )设货币存半年期，则存半年的利率 则存半年的利率： 2.0%半年后货币总数：A12.0%一年后货币总数：A12.0% 12.0% A 122.0%一年半后货币总数：A21 2.0

2、%1 2.0% A1 2.0%3两年后货币总数：A132.0% 3 12.0% A 142.0% 41.082432A比较(i ), (ii )知货币存一年期有较多收益，多 0.00333A.2某工厂生产某种产品，年产量为 X,每台售价250元，当年产量为 600台以内时，可以全部售出， 当年产量超过 600台时， 经广告宣传又可再多售出 200台， 每台平均广告费 20 元，生产再多，本年就售不出去了，建立本年的销售总收入 R与年产量x的函数关系解 (i )当 0 X 600时, R 250X(ii )当 600 x 800时，R 250x 20 x 600 230x 1.2 1045(ii

3、i)当 x 800 时，R 800g250 20 200 1.96 10250x, 0 x 600故 R x 230x 1.2 104, 600 x 80051.96 105, x 8003.某厂生产的手掌游戏机每台可卖 110元,固定成本为 7500元,可变成本为每台 60元.(1)要卖多少台手掌机,厂家才可保本(收回投资) ；(2)卖掉 100台的话,厂家赢利或亏损了多少？(3)要获得 1250元利润,需要卖多少台？解(1)设厂家生产的台数为 X,则总成本c x 7500 60x总收益 R x 110x，令 R x c x , 110x 7500 60x解得： x 150故要卖 1 50台

4、，厂家才可保本 .c 100 R 100 2500故卖掉100台的话，厂家亏损 2500元 Lx R x ex110x 7500 60x 50x 75001250，则 50x7500 1250，解得 x 175故要获得1250元利润，需卖175台.4有两家健身俱乐部，第一家每月会费300元，每次健身收费1元，第二家每月会费200 元，每次健身收费2元，若只考虑经济因素，你会选择哪一家俱乐部(根据你每月健身次数 决定)？解设每月健身次数为X,则第一家每月总费用 G 300 x第二家每月总费用C2 200 2x令GC2，则 300+x=200+2 x,解得：x=100当0x 100时，G C2这时

5、选择第二家俱乐部当x100时，q C2，这时选择第一家俱乐部当x100时，G C2，这时选择任一家俱乐部5设某商品的需求函数与供给函数分别为 D P 色00和S P P 10.P(1)找出均衡价格，并求此时的供给量与需求量；(2)在同一坐标中画出供给与需求曲线；(3)何时供给曲线过 P轴，这一点的经济意义是什么？解(1)令 D P S P，则 5600 P 10，解得：P 80P故均衡价格为80,此时供给量与需求量为： 5600 7080图1-茁(习魁M第召履) 编辑版word(3)令 S P 0 ，即 P 10 0,P 10 ，故价格 P 10时，供给曲线过 P 轴，这一点的经 济意义是当价

6、格低于 10 时，无人供货 .6.某化肥厂生产某产品 1000吨，每吨定价为 130 元，销售量在 700吨以内时，按原价出 售，超过 700 吨时超过的部分需打 9折出售， 请将销售总收益与总销售量的函数关系用数字 表达式表出 .解 Q 为销售量， R Q 为总收益。由题意知 y 是 x 的一次函数，故设 y ax b且当 x 200时， y 60；当 x 210， y 59，60 200a b a 0.1故有59 210a b b 80故 y 0.1x 80 故租金为 x 时，饭店房租收入为：22 R x xy 0.1x2 80x 0.1 x 400 16000故租金为 400元/ 套时，

7、房租收入最大，为 16000元， 当 x 400时， y 40 ，此时饭店将空出 20 套高级客房 .(图形略)7.收音机每台售价为 90元，成本为 60 元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购 量超过 100台以上的，每多订购 100台售价就降低 1元，但最低价为每台 75 元：(1)将每台的实际售价 P表示为订购量x的函数；(2)将厂方所获的利润 L表示成订购量x的函数；(3)某一商行订购了 1000台，厂方可获利润多少？解 (1)当 0 x 100 时， P x 90当x 100时，由题意P是x的一次函数设Pax b ，当 x 100时，P 90 ，当x200时， P90 100ab

8、a0.01故P故，解得：91 0.01x89 200abb91但P75，故91 0.01x75，即 x 1600故当100 x1600时，P 910.01x当x1600时，P 7590,0x100故P91 0.01x, 100x 160075,x 1600(i )当 0 x 100时，P 90，收益 R Px 90x，成本 C 60x 故利润 L R C 90x 60x 30x(ii )当 100 x 1600 时，P 91 0.01x，收益 R 91 0.01x x，成本 C 60x故利润LR C910.01x x 60x(iii )当x1600 时，P75，收益R 75x，成本C 60x故

9、利润LR C75x60x 15x30x,0 x 100故利润L91 0.01xx 60x,100 x 160015x,x 1600当 x 1000时，L 91 0.01g!000 g!000 60g!000 21000故厂方可获21000元的利润.8.种汽车出厂价 45000元，使用后它的价值按年降价率 值y （元）与使用时间t （年）的函数关系.1解使用一年的汽车的价值 y 45000 1 -31-的标准贬值，试求此车的价31 1使用两年的汽车的价值 y 45000 1 1 3 32145000 1 -3t t1 2故使用t年的汽车的价值 y 45000 1 45000 -3 39.某大楼有

10、50间办公室出租，若定价每间每月租金 120元，则可全部租出，租出的办公 室每月需由房主负担维修费 10元，若每月租金每提高一个 5元，将空出一间办公室，试求 房主所获得利润与闲置办公室的间数的函数关系， 并确定每间月租金多少时才能获得最大利润？这时利润是多少？解 设x为每间月租金，y为闲置办公室的间数， L为利润则 L 50 y x 10由已知当x 120时，y是x的一次函数，故设y ax b，当 x 120 时,丄，亠 0120aba故有1125abby 0 ;当 x 125,y 11524,1故 y x 24，则 x 5y 1205故 L 50 y 5y 120 10 50 y 5y 1

11、102即 L 5 y 14 6480, y 0,50故当y 14，即当闲置办公室14间时，可获得最大利润，最大利润为 6480元，此时每间月租金为190元10.每印一本杂志的成本为 1.22元，每售出一本杂志仅能得 1.20元的收入，但销售额超过15000本时还能取得超过部分收入的 10%作为广告费收入，试问应至少销售多少本杂志才能保本？ 销售量达到多少时才能获利达 1000元？解（i ）设x为销售量，则成本 C 1.22x收益 R 1.20x x 15000 1.20 10%令 C R，贝U 1.22x 1.20x x 15000 1.20 10%解得：x 18000故至少销售18000本杂

12、志才能保本.（ii ） L R C 1.20x x 15000 1.20 10% 1.22x 0.1x 1800令 L 1000，则 0.1x 1800 1000，解得 x 28000故销售量达到28000时才能获利达1000元.11某企业计划发行公司债券，规定以年利率 6.5%的连续复利计算利息，10年后每份债券次偿还本息1000元，问发行时每份债券的价格应定为多少元？解 设发行时每份债券的价格定为 A0元，则6.5% 10 0.65 0.651000 Ae Aoe A 1000ge 522.046 （兀）12.片森林现有木材 am3，若以年增长率1.2%均匀增长，问t年后，这片森林有木材多

13、少?解一年后森林木材数:y1lim a 1nn1.2%nae0.012二年后森林木材数:y2lim a 1n1.2%2nae0.012 2故t年后森林木材数:lim a 1n1.2% tn0.012tage13国家向某企业投资 2万元，这家企业将投资作为抵押品向银贷款，得到相当于抵押 品价格80%的贷款，该企业将这笔贷款再次进行投资， 并且又将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于新抵押品价格 80%的贷款，该企业又将新贷款进行再投资， 这样贷款一投资一再贷款一再投资，如此反复扩大再投资， 问其实际效果相当于国家投资多少万元所产生的直接 效果？解设 Sn 2 2 0.8 2 0.82 L 2 0

14、.8n 1则 lim Sn lim2 2 0.8 Ln nn 1 ,2 0.8 lim 2 1(0)nn 1 0.810故其实际效果相当于国家投资 10万元所产生的直接效果14.设某商品的总收益 R关于销售量Q的函数为2R(Q) 104Q 0.4Q求:(1)销售量为Q时总收入的边际收入；销售量Q 50个单位时总收入的边际收入;销售量Q 100个单位时总收入对 Q的弹性.解 (1)R(Q) 104 0.8Q R (Q) q 50 104 0.850 64EREQQ 100(104 0.8Q) q 100gQ q15某化工厂日产能力最高为 吨)的函数1000吨，每日产品的总成本 C (单位：兀)是

15、日产量x(单位:100C C(x) 10007x 50 . x x 0,1000(1)求当日产量为100吨时的边际成本；(1)求当日产量为100吨时的平均单位成本解(1)C (x) x !007 50x 1009.5 C(x) x 100 1000 700 500 22002200C(x) x 100 2210016某商品的价格P关于需求量Q的函数为P 10 Q,求:5(1)总收益函数、平均收益函数和边际收益函数；当Q 20个单位时的总收益、平均收益和边际收益1 2 解 R(Q) PQ 10Q Q5R(Q) R(Q) 10 -QQ 5R(Q) 10 2Q5(2)R(20) 120R(20) 6

16、R (20) 217某厂每周生产Q (单位：百件)产品的总成本C(单位：千元)是产量的函数C C(Q) 100 12Q Q2如果每百件产品销售价格为4万元，试写出利润函数及边际利润为零时的每周产量解L(Q) R(Q) (Q) 40Q (100 12Q Q2) Q2 28Q 1000L (Q) 2Q 28 0可得Q 14故边际利润为零时的每周产量为 14百件.18设巧克力糖每周的需求量 Q (单位：公斤)是价格P (单位：元)的函数Q f(P)10002 (2P 1)求当P10(元)时，巧克力糖的边际需求量，求说明其经济意义解 Q(P) 2gW00丐(2P 1)40003 (2P 1)Q (10

17、) 0.432其经济意义为：巧克力糖价格由原 10元价再增加1元每周需求量将减少 0.432公斤.19证明：若f(x),g(x)是可导函数，则: Ef(x)gg(x) Ef(x) Eg(x)_Ex Ex ExE _L当 g(x) 0 时，亠型 Ef(x) Eg(x);Ex Ex Ex若 y f(u),u证明(x)都可导，则Ef (x)ExEf(u)gE (x)Eu g ExE(1)-x y xExx x Ef x Eg xg xf x g x Ex Exf x Eg x EExf xx fg xf xg xEf (x) x f(x)Exf(x)u“ 、xf (u)(x)-f(u)u_p20设某

18、商品的需求函数为 Q e可求:x g xf x g x xg xg(x)fxxEfx Eg xg xEx Exxf (u)(x)-f(u)f (u)u/ x(x)Ef(u)E (x)f(u)uEuExf x x g x f x需求弹性函数;(2)p 3, 5, 6时的需求弹性，并说明其经济意义解(p)p dQQ dp0.61,说明当3时,需求变动的幅度小于价格变动的幅度,即 p 3时，价格上涨1%,需求减少0.6%.1,说明当p 5时，价格与需求变动的幅度相同(6) 1.2 1,说明当p 6时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，即 p 6时，价格上涨1%，需求减少1.2%.21设某商品的需求函

19、数为 Q 100 5p,其中Q, p分别表示需求量和价格，试分别求出需求弹性大于1，等于1的商品价格的取值范围.解(p)p dQp g(5) 5pQ dp100 5p 100 5p(p)1时p 10(p)1时5p1 可得 10 p 20.100g5p22某商品需求函数为 Q f ( p)12卫：2(1)求需求弹性函数；(2)求 p 6时的需求弹性；编辑版word(3)在 p 6时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？将变化百分之几?24 p解2dQ 亠Q dp 12 2故詈 |p6 1 (6)2-0.673在p 6时，若价格上涨1%,总收益增加 0.67%.23设某商品的供给函数 Q4 5 p

20、，求供给弹性函数及p 2时的供给弹性dQ pEp ?gQ54 5p5p4 5pp 2 时，Ep104 1024设某产品的需求函数为Q Q(p),收益函数RpQ,其中p为产品价格.Q(p)为单调减少函数如果当价格为Po对应产量为Qo时，边际收益dRdQQ Qo0,收益对价格的边际收益为dRdp pC 0，需求对价格的弹性为 p。b 1，求 p 与 Q.解Q塑坐匹dp dQ dpdQc=adpp。dQdp又p dQppo 故 dQp PoQodp0 dpcQobapodRd( pQ)C dQQ pdpdpdpdQ- cQ0po xp Po Q0 Po cdpap p0Po13ERpdR1EpR d

21、pab p。由可得b 1Q C1 b25.某企业生产一种商品，年需求量是价格(1)需求弹性；(2)需求弹性等于1时的价格.解(p)pdQ p g( b)Q dp a bp(p) 1时bp a bpP的线性函数Q a bp,其中a,b 0,试求:bp , aa bp 可得 p 2b.26设某产品的成本函数和收入函数分别为2 2C(x) 100 5x 2x ,R(x) 200x x ,其中 x 表 示产品的产量，求：(1)边际成本函数、边际收入函数、边际利润函数；(2)已生产并销售25个单位产品，第26个单位产品会有多少利润?解(1)C(x) 5 4xR(x) 200 2xL (x) R(x) C

22、 (x) 195 2x L 25 14527某商品的需求量 Q为价格P的函数Q 150 2P2求：(1)当 P 6时的边际需求，并说明其经济意义；(2)当P 6时的需求弹性，并说明其经济意义；(3)当P 6时，若价格下降2%,总收益将变化百分之几？是增加还是减少?解(1) Q (P) 4PQ (6) 24说明当价格为6时，再提高(下降)一个单位价格，需求将减少 (增加)24个单位商品量(P)P dQ 4P2Q dP 150 2P2(6) 1.85说明价格上升(下降)1%，则需求减少(增加)1.85%. R(P) 150 2P3ER - dR - 3 (150 6P2)EP R dP 150P

23、2P2150 6P150 2PEREPp 6 0.846若价格下降2%,总收益增加(0.846 2)%，即1.692%.28.求下列经济应用问题中的最大值或最小值:(1)假设某种商品的需求量Q是单价P的函数Q 1200080P，商品的总成本C是需求量Q的函数C 25000 50Q，每单位商品需纳税 2.试求使销售利润最大的商品价格和最大利润；x(2)设价格函数P 15e3(x为产量)求最大收益时的产量、价格和收益；(3)某工厂生产某种商品，其年销售量为 100万件，分为N批生产，每批生产需要增加生产准备费1000元，而每件商品的一年库存费为 0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批售完后立即生

24、产出下批(此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半 ).问N为何值时，才能使生产准备费与库存费两项之和最小？(4)设某企业在生产一种商品 x件时的总收益为 R(x) 100x x2，总成本函数为2C(x) 200 50x x，问政府对每件商品征收货物税为多少时， 在企业获得最大利润的情况下，总税额最大？(5)设生产某商品的总成本为 C(x) 10000 50x x2(x为产量)，问产量为多少时， 每件产品的平均成本最低？解(1) L(P)P(12000 80P) 25000 50(12000 80P) 2(12000 80P)649000216160P 80PL (P) 16160 160P0

25、得 P 101L (P) 160 0 , P 101为极小值点依题意，最值一定存在，所以 P 101为使销售利润最大的商品价格，此时最大利润为L(101) 649000 16160g!01 80g012 167080x x(2)R(x) xg!5e3 15xe 空x X 41R(x) 15e3 15xe3g 3x5e 3 (3 x)R(x) 0 得 x 30 x 3 时 R(x) 0x 3时 R(x) 0x 3为极大值点依题意，此唯一的极大值点即为最大值点，即 x 3时有最大收益此时P 15e1最大收益为R(3) 45e1(3)设每年的生产准备费与库存费之和为 C,批量为x则C(x) 1000

26、1000000x0.05 扌910 xx 40由 C(x)91 10 52得驻点怡2 10540 x由 C (x)92 10 小八、一 一，+3 0，知驻点为最小值点，x100万 因此，x 20万件时，C最小，此时N 5.20万(4)设每件商品征收的货物税为 a，L(x) R(x) C(x) ax100x2 x(20050x x2) ax2x2(50a)x200L (x) 4x 50 a令 L(x)0得x50a4.此时L(x)取最大值税收为Taxa(50a)4T1(5042a)0a25T 10.a25时T取最大值. 10000 50x x2“ 10000 C(x)x 50 -xx10000C

27、(x)1 Lx令 C (x)0得 x 100(x100舍去)故征收货物税应为 25.C(X)0200003 X x 100时C(x)取得最小值，即产量为 100时，平均成本最低29.求下列经济应用问题的最大、最小值：(1)某商场一年内要分批购进某商品 2400件，每件商品批发价为 6元(购进)，每件商品 每年占用银行资金为10%利率，每批商品的采购费用为 160元，问分几批购进时，才能使上 述两项开支之和最少(不包括商品批发价)？某企业生产产品x件时，总成本函数为C(x) ax2 bx c，总收益函数为R(x) ax2 x (a,b,c, , 0,a )，当企业按最大利润投产时，对每件产品征收税额为多少才能使总税额最大？解(1)设分x批购进，两项开支之和为