17.解：
（Ⅰ）由题意知，∠AED=∠CBE=∠BAE=θ=30°.
∵b=BE?
cos30°
=AB?
sin30°?
cos30°=34a，
∴ab=433.
（Ⅱ）∵b=BE?
cosθ=AB?
sinθ?
cosθ
=12AB?
sin2θ，
∴ba=12sin2θ.
∵5π24≤θ≤π3，
∴5π12≤2θ≤2π3，
∴ba∈[34，12].
A规格：
3080=38<34，不符合条件；
B规格：
4060=23>12，不符合条件；
C规格：
3272=49∈[34，12]，符合条件.
∴选择买进C规格的硬纸板.
18.（理）解：
（Ⅰ）以{AB，AC，AA1}为单位正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），M（0，1，12），P（12，0，1），N（12，12，0），PN=（0，12，-1），n=（0，0，1）为平面ABC的一个法向量，则
sinθ=|cos〈PN，n〉|
=|PN?
n||PN|?
|n|=255.
（Ⅱ）由题意知，平面ABC的一个法向量为n=AA1=（0，0，1），P（λ，0，1）.
设平面PMN的法向量为m=（x，y，z），又MP=（λ，-1，12），MN=（12，-12，-12），
由m?
MN=0，
m?
MP=0得12x-12y-12z=0，
λx-y+12z=0.
令x=3，则m=（3，2λ+1，2-2λ）.
由|cos〈m，n〉|=|m?
n||m|?
|n|
=|2-2λ|9+（2λ+1）2+（2-2λ）2?
1=22.
解之，得λ=-12.
（文）证明：
（Ⅰ）∵C为圆O上一点，
∴AC⊥BC.
又BB′⊥平面圆O，AC平面圆O，
∴AC⊥BB′.
又BC∩BB′=B，BC，BB′平面BCB′，
∴AC⊥平面BCB′.
又∵AC平面ACO′，
∴平面ACO′⊥平面BCB′.
（Ⅱ）取BC中点G，连结DG，B′G，B′O′.
?
B′O′，
则四边形CDFG为平行四边形，
∴B′G∥O′D.
又DO′平面BCB′，B′G平面BCB′，
∴DO′∥平面BCB′.
19.解：
（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则a1=1，a2=2，a3=1+d，a4=2q，a9=1+4d.
∵S5=2a4+a5，
∴a1+a2+a3=a4，即4+d=2q.
又a9=a3+a4，
∴1+4d=1+d+2q.
解之，得d=2，q=3.
∴对于k∈N*，有a2k-1=1+（k-1）?
2=2k-1，a2k=2?
3k-1，
故an=n，n=2k-1，
2?
3n2-1，n=2k，k∈N*.
（Ⅱ）若am=a2k，则由amam+1=am+2得
2?
3k-1（2k+1）=2?
3k.
解之，得k=1，∴m=2.
若am=a2k-1，则由amam+1=am+2得
（2k-1）?
2?
3k-1=2k+1.
此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立.
故满足条件的正整数m为2.
（Ⅲ）对于k∈N*，有
S2k=（1+2k-1）k2+2（1-3k）1-3=k2-1+3k，
S2k-1=S2k-a2k=k2-1+3k-2?
3k-1
=k2-1+3k-1.
假设存在正整数m，使得S2mS2m-1恰好为数列{an}中的一项，又由（Ⅰ）知，数列{an}中的每一项都为正整数，故可设S2mS2m-1=l（l∈N*），则m2-1+3mm2-1+3m-1=l，
变形得（3-l）3m-1=（l-1）（m2-1）.
∵m≥1，l≥1，3m-1>0，∴l≤3.
又l∈N*，故l可能取1，2，3， 当l=1时，（3-l）3m-1>0，（l-1）（m2-1）=0，∴（3-l）3m-1=（l-1）（m2-1）不成立；
当l=2时，（3-2）3m-1=（2-1）（m2-1），即3m-1=m2-1，
若m=1，3m-1≠m2-1，令Tm=m2-13m-1（m∈N，m≥2），
则Tm+1-Tm=（m+1）2-13m-m2-13m-1
=-2m2+2m+33m=-2（m+12）2+723m
≤-2?
22+2?
2+332T3>…，故只有T2=1，此时m=2，l=2=a2；
当l=3时，（3-3）3m-1=（3-1）（m2-1），
∴m=1，l=3=a3.
综上，存在正整数1，使得S2S1恰好为数列{an}中的第三项；存在正整数2，使得S4S3恰好为数列{an}中的第二项.
20.解：
（Ⅰ）如图所示，设点E（x0，y0），过点E分别向x，y轴引垂线，垂足分别为N，M，由△MKE∽△OKA，故EKAK=MEAO=|x0|a.
同理ELCL=|y0|a，则
（EKAK）2+（ELCL）2=x20a2+y20a2.
又点E（x0，y0）在圆上，故有x20a2+y20a2=1，
即（EKAK）2+（ELCL）2=1.
（Ⅱ）如图，设椭圆x2a2+y2b2=1长轴为AB，短轴为CD，E是椭圆弧BD上的一点，AE交CD于K，CE交AB于L，则（EKAK）2+（ELCL）2为定值.
如图所示，设点E（x0，y0），K（0，yK），L（xL，0），则KE=（x0，y0-yk），AK=（a，yk），
LE=（x0-xL，y0），CL=（xL，-b），
设KE=λAK，LE=μCL，
则x0=λa，y0=-μb.
所以KEAK=λ=|x0|a，LECL=μ=|y0|b，（EKAK）2+（ELCL）2=x20a2+y20b2.
又点E（x0，y0）在椭圆上，故有x20a2+y20b2=1，
即（EKAK）2+（ELCL）2=1是定值.
（Ⅲ）证明：
过点E作EM∥AB交直线CD于点M，作EN∥CD交直线AB于点N.
设ON=λOB，OM=μOD，
则OE=ON+OM=λOB+μOD.
设点B，D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则OE=λOB+μOD=（λx1+μx2，λy1+μy2），
即点E的坐标为（λx1+μx2，λy1+μy2）.
代入椭圆方程x2a2+y2b2=1，得
（λx1+μx2）2a2+（λy1+μy2）2b2=1，
整理得λ2（x21a2+y21b2）+μ2（x22a2+y22b2）+2λμ（x1x2a2+y1y2b2）=1.
因为kAB?
kCD=-b2a2，
即kOB?
kOD=-b2a2，
故y1x1?
y2x2=-b2a2，从而x1x2a2+y1y2b2=0.
所以λ2+μ2=1.
又因为EKAK=EMOA=ONOB=|λ|，
ELCL=ENOC=OMOD=|μ|，
所以（EKAK）2+（ELCL）2=|λ|2+|μ|2=1.
21.解：
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）.
f′（x）=ax-2bx，则
f′
（2）=a2-4b=-3，即a=8b-6.
于是f′（x）=-2bx2+（8b-6）x.
（1）当b=0时，f′（x）=-6x<0，
f（x）在（0，+∞）上是单调减函数.
（2）当b<0时，令f′（x）=0，得x=4b-3b（负根已舍），
所以f（x）在（0，4b-3b）上是单调减函数，在（4b-3b，+∞）上是单调增函数.
（3）当b>0时，若0 若b>34，令f′（x）=0，得
x=4b-3b（负根已舍），
所以f（x）在（0，4b-3b）上单调增函数，在（4b-3b，+∞）上单调减函数.
综上，若b<0，f（x）的单调减区间为（0，4b-3b），单调增区间为（4b-3b，+∞）；
若0≤b≤34，f（x）的单调减区间为（0，+∞）；
若b>34，f（x）的单调增区间为（0，4b-3b），单调减区间为（4b-3b，+∞）.
（Ⅱ）因为a=2，a=8b-6，所以b=1，
即g（x）=2lnx-x2-kx.
因为g（x）的两零点为x1，x2，
则2lnx1-x21-kx1=0，
2lnx2-x22-kx2=0，
相减得2（lnx1-lnx2）-（x21-x22）-k（x1-x2）=0，
因为x1≠x2，
所以k=2（lnx1-lnx2）x1-x2-（x1+x2），
于是g′（x0）=2x0-2x0-k
=4x1+x2-2（lnx1-lnx2）x1-x2
=2x1-x2[2（x1-x2）x1+x2-（lnx1-lnx2）]
=2x1-x22（x1x2-1）x1x2+1-lnx1x2.
令t=x1x2，t∈（0，1），
φ（t）=2（t-1）t+1-lnt=2-4t+1-lnt，
则φ′（t）=4（t+1）2-1t=-（t-1）2t（t+1）2<0，则φ（t）在（0，1）上单调递减，
则φ（t）>φ
（1）=0.
又2x1-x2<0，则g′（x0）<0.命题得证.
22.解：
∵P为AB中点，∴OP⊥AB，
∴PB=r2-OP2=32.
又∵PC?
PD=PA?
PB=PB2=34，
由PC=98，得PD=23.
23.解：
⊙M：
（x-532）2+（y-72）2=4，（3，π3）对应直角坐标系下的点为（32，32），（2，π2）对应直角坐标系下的点为（0，2），
∴⊙N：
（x-32）2+（y-322）=1.
PQ=MN-3=4-3=1.
24.证明：
3|y|=|3y|=|2（x+y）-（2x-y）|≤2|x+y|+|2x-y|.
由题设知，|x+y|<13，|2x-y|<16，
从而3|y|≤2×13+16=56.故|y|
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