1、高考数学模拟试题一2014年高考数学模拟试题(一) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A=0,1,集合B=-1,0,x,且AB,则实数x的值为( ). (A)0 (B)1 (C)-1 (D)2 2.复数1+2i2-i的虚部为( ). (A)1(B)-1(C)i(D)-i 3.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为6的概率是( ). (A)14(B)13(C)536(D)23 4.图1是一个算法的流程图,输出的结果是( ). 5.一个
2、三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图2所示,则该三棱锥的外接球的表面积为( ). 6.(理)两个三口(父母及一个小孩)之家共同游山,需乘坐两辆不同的缆车,每辆缆车最多只能乘坐4人,但两个小孩不能单独乘坐同一辆缆车,则不同的乘坐方法共有( )种. (A)50(B)48 (C)36(D)49 (A)-1(B)-2 (C)-3(D)-5 7.函数f(x)=sin(x+3)(0)在区间0,2上恰有一个最大值1和一个最小值-1,则的取值范围是( ). (A)712,1312(B)712,1312) (C)512,712)(D)512,712 8.身高1.8m的人,以1.2m/s的速度离开路灯(如图4),
3、路灯高4.2m,设身影的长度为ym,人距路灯的距离为xm.当x=3m时,身影长的变化率为( ). (C)0.8m/s(D)0.9m/s 9.在ABC中,B=60,2AB=3BC,则tan A的值为( ). (A)32(B)12 (C)2(D)3 10.已知点A(1,2)在抛物线:y2=2px上.若ABC的三个顶点都在抛物线上,记三边AB,BC,CA所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,则1k1-1k2+1k3的值为( ). (A)1(B)2 (C)3(D)5 11.在平面直角坐标系中,A(0,0),B(1,2)两点绕定点P顺时针旋转角分别到A(4,4),B(5,2)两点,则cos 的值为( )
4、. (A)0(B)-35 (C)-12(D)-13 12.已知函数f(x)=3x+a与函数g(x)=3x+2a在区间(b,c)上都有零点,则a2+2ab+2ac+4bcb2-2bc+c2的最小值为( ). (A)-1(B)1 (C)-2(D)2 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.设函数f(x)=(x-a)|x-a|+b(a,b都是实数). 则下列叙述中,正确的序号是 .(请把所有叙述正确的序号都填上) 对任意实数a,b,函数y=f(x)在R上是单调函数; 存在实数a,b,函数y=f(x)在R上不是单调函数; 对任意实数a,b,函数y=f(x)的图
5、象都是中心对称图形; 存在实数a,b,使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图形. 14.若不等式组x2-2x-30, x2+4x+m0的解集不是空集,则实数m的取值范围是 15.在平面直角坐标系xOy中,设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b0)的左、右焦点,A是一个虚轴端点,直线F1A与双曲线C的两条渐近线分别交于P,Q两点,若OPQ的面积为2ab,则双曲线C的离心率e的值为 16.如图5,是一个底面直径和高都为6的圆柱,与高为3的圆锥组合而成的一个几何体,内盛有水,水深为x(0b)的硬纸板截成三个符合要求的AED,BAE,EBC. ()当=30时,求购买硬纸板的长与宽的比
6、值; ()现有三种规格的硬纸板可供选择,A规格长80cm,宽30cm,B规格长60cm,宽40cm,C规格长72cm,宽32cm,可以选择哪些规格的硬纸板使用. ()当=12时,求直线PN与平面ABC所成角的正弦值; (文)如图8,已知圆柱OO,AB为底面圆O的直径,C为圆O上一点,D为AC中点. ()求证:平面ACO平面BCB; ()求证:直线DO平面BCB. 19.(本小题满分12分)已知数列an的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列an前n项和为Sn,且满足S5=2a4+a5,a9=a3+a4. ()求数列an的通项公式. ()若amam+1=am+2,求正整数m
7、的值. ()是否存在正整数m,使得S2mS2m-1恰好为数列an中的一项?若存在,求出所有满足条件的m值;若不存在,说明理由. 20.(本小题满分12分)()如图9,设圆O:x2+y2=a2的两条互相垂直的直径为AB,CD,E在BD上,AE交CD于K,CE交AB于L,求证:(EKAK)2+(ELCL)2为定值. 21.(本小题满分12分)设函数f(x)=aln x-bx2,其图象在点P(2,f(2)处切线的斜率为-3. ()求函数f(x)的单调区间(用只含有b的式子表示); ()当a=2时,令g(x)=f(x)-kx,设x1,x2(x1x2)是函数g(x)=0的两个根,x0是x1,x2的等差中
8、项,求证:g(x0)0(g(x)为函数g(x)的导函数). 请考生在第22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy中,圆M的参数方程为x=532+2cos , y=72+2sin (为参数),以Ox轴为极轴,O为极点建立极坐标系,在该极坐标系下,圆N是以点(3,3)为圆心,且过点(2,2)的圆.求圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值. 24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知实数x,y满足:|x+y|13,|2x
9、-y|16,求证:|y|0)在区间0,2上恰有一个最大值1和一个最小值-1,2+332, 2+352,7120). 由余弦定理得 AC2=(3t)2+(2t)2-2?3t?2tcos 60, 所以AC=7t. 再由正弦定理得 sin A=BCsin BAC=2tsin 607t=37. 因为ABBC,所以A必是锐角, 所以cos A=1-(37)2=27, 故tan A=sin Acos A=32.故选A. 10.A.由点A(1,2)在抛物线上知,p=2,抛物线:y2=4x. 设B(y214,y1),C(y224,y2), 1k1-1k2+1k3=y214-1y1-2-y224-y214y2-
10、y1+1-y2242-y2=y1+24-y2+y14+2+y24=1.故选A. 11.B.点P是旋转中心,分别在线段AA,BB的垂直平分线上,线段AA的垂直平分线为x+y=4,线段BB的垂直平分线为x=3,联立可解得P(3,1),所以cos =PA?PA|PA|?|PA|=(-3,-1)?(1,3)10?10=-35. 故选B. 12.A.由题意知,3b+a0,两式相加得a+2c0, 所以a2+2ab+2ac+4bcb2-2bc+c2 =(a+2b)(a+2c)(b-c)2=-(-a-2b)(a+2c)(b-c)2 -(-a-2b)+(a+2c)22(b-c)2-1. 故选A. 13.函数f(
11、x)的图象是由函数g(x)=x|x|的图象平移得到的,所以只要研究g(x)=x|x|的图象与性质.而函数g(x)在R上是单调递增函数,且关于原点对称. 14.(-,3.由x2-2x-30得-1x3.因为不等式组x2-2x-30, x2+4x+m0的解集不是空集,考察函数f(x)=x2+4x+m的图象,知道f(-1)0,即m3. 15.2.由对称性知,不妨设F1A:x-c+yb=1,即y=bcx+b. 由y=bcx+b, y=bax,得xP=acc-a. 同理由y=bcx+b, y=-bax,得xQ=-acc+a. 所以SOPQ=SAOP+SAOQ =12b(|xP|+|xQ|)=abc2c2-
12、a2. 由题设即有abc2c2-a2=2ab,从而e=ca=2. 16.3x13(0x1), x+2(1x6).我们首先寻求一个极限的位置作为分类讨论的标准,当该几何体倒置后水恰好充满圆锥时,依据圆锥的体积是同底等高圆柱的13知,水深x=1.所以,当0x1时,有x?32=13h?h2,即h=3x13;当1x6时,有h=x-1+3=x+2. 所以将该几何体倒置后,水的高度h关于x的函数表达式为h=3x13(0x1), x+2(1x6). 17.解:()由题意知,AED=CBE=BAE=30. b=BE?cos 30 =AB?sin 30?cos 30=34a, ab=433. ()b=BE?co
13、s =AB?sin ?cos =12AB?sin 2, ba=12sin 2. 5243, 512223, ba34,12. A规格:3080=3812,不符合条件; C规格:3272=4934,12,符合条件. 选择买进C规格的硬纸板. 18.(理)解:()以AB,AC,AA1为单位正交基底,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),M(0,1,12),P(12,0,1),N(12,12,0),PN=(0,12,-1),n=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量,则 sin =|cosPN,n| =|PN?n|PN|?|n|=255. ()由题意知,平面ABC的一个法向量为n=AA1
14、=(0,0,1),P(,0,1). 设平面PMN的法向量为m=(x,y,z),又MP=(,-1,12),MN=(12,-12,-12), 由m?MN=0, m?MP=0得12x-12y-12z=0, x-y+12z=0. 令x=3,则m=(3,2+1,2-2). 由|cosm,n|=|m?n|m|?|n| =|2-2|9+(2+1)2+(2-2)2?1=22. 解之,得=-12. (文)证明:()C为圆O上一点, ACBC. 又BB平面圆O,AC平面圆O, ACBB. 又BCBB=B,BC,BB平面BCB, AC平面BCB. 又AC平面ACO, 平面ACO平面BCB. ()取BC中点G,连结D
15、G,BG,BO. ? BO, 则四边形CDFG为平行四边形, BGOD. 又DO平面BCB,BG平面BCB, DO平面BCB. 19.解:()设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,则a1=1,a2=2,a3=1+d,a4=2q,a9=1+4d. S5=2a4+a5, a1+a2+a3=a4,即4+d=2q. 又a9=a3+a4, 1+4d=1+d+2q. 解之,得d=2,q=3. 对于kN*,有a2k-1=1+(k-1)?2=2k-1,a2k=2?3k-1, 故an=n,n=2k-1, 2?3n2-1,n=2k,kN*. ()若am=a2k,则由amam+1=am+2得 2?3k-1(2k
16、+1)=2?3k. 解之,得k=1,m=2. 若am=a2k-1,则由amam+1=am+2得 (2k-1)?2?3k-1=2k+1. 此式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立. 故满足条件的正整数m为2. ()对于kN*,有 S2k=(1+2k-1)k2+2(1-3k)1-3=k2-1+3k, S2k-1=S2k-a2k=k2-1+3k-2?3k-1 =k2-1+3k-1. 假设存在正整数m,使得S2mS2m-1恰好为数列an中的一项,又由()知,数列an中的每一项都为正整数,故可设S2mS2m-1=l(lN*),则m2-1+3mm2-1+3m-1=l, 变形得(3-l)3m-1=(l-1)(
17、m2-1). m1,l1,3m-10,l3. 又lN*,故l可能取1,2,3, 当l=1时,(3-l)3m-10,(l-1)(m2-1)=0,(3-l)3m-1=(l-1)(m2-1)不成立; 当l=2时,(3-2)3m-1=(2-1)(m2-1),即3m-1=m2-1, 若m=1,3m-1m2-1,令Tm=m2-13m-1(mN,m2), 则Tm+1-Tm=(m+1)2-13m-m2-13m-1 =-2m2+2m+33m=-2(m+12)2+723m -2?22+2?2+332T3,故只有T2=1,此时m=2,l=2=a2; 当l=3时,(3-3)3m-1=(3-1)(m2-1), m=1,
18、l=3=a3. 综上,存在正整数1,使得S2S1恰好为数列an中的第三项;存在正整数2,使得S4S3恰好为数列an中的第二项. 20.解:()如图所示,设点E(x0,y0),过点E分别向x,y轴引垂线,垂足分别为N,M,由MKEOKA,故EKAK=MEAO=|x0|a. 同理ELCL=|y0|a,则 (EKAK)2+(ELCL)2=x20a2+y20a2. 又点E(x0,y0)在圆上,故有x20a2+y20a2=1, 即(EKAK)2+(ELCL)2=1. ()如图,设椭圆x2a2+y2b2=1长轴为AB,短轴为CD,E是椭圆弧BD上的一点,AE交CD于K,CE交AB于L,则(EKAK)2+(
19、ELCL)2为定值. 如图所示,设点E(x0,y0),K(0,yK),L(xL,0),则KE=(x0,y0-yk),AK=(a,yk), LE=(x0-xL,y0),CL=(xL,-b), 设KE=AK,LE=CL, 则x0=a,y0=-b. 所以KEAK=|x0|a,LECL=|y0|b,(EKAK)2+(ELCL)2=x20a2+y20b2. 又点E(x0,y0)在椭圆上,故有x20a2+y20b2=1, 即(EKAK)2+(ELCL)2=1是定值. ()证明:过点E作EMAB交直线CD于点M,作ENCD交直线AB于点N. 设ON=OB,OM=OD, 则OE=ON+OM=OB+OD. 设点
20、B,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则OE=OB+OD=(x1+x2,y1+y2), 即点E的坐标为(x1+x2,y1+y2). 代入椭圆方程x2a2+y2b2=1,得 (x1+x2)2a2+(y1+y2)2b2=1, 整理得2(x21a2+y21b2)+2(x22a2+y22b2)+2(x1x2a2+y1y2b2)=1. 因为kAB?kCD=-b2a2, 即kOB?kOD=-b2a2, 故y1x1?y2x2=-b2a2,从而x1x2a2+y1y2b2=0. 所以2+2=1. 又因为EKAK=EMOA=ONOB=|, ELCL=ENOC=OMOD=|, 所以(EKAK)2+(E
21、LCL)2=|2+|2=1. 21.解:()函数f(x)的定义域为(0,+). f(x)=ax-2bx,则 f(2)=a2-4b=-3,即a=8b-6. 于是f(x)=-2bx2+(8b-6)x. (1)当b=0时,f(x)=-6x0, f(x)在(0,+)上是单调减函数. (2)当b0时,若0b34,则f(x)34,令f(x)=0,得 x=4b-3b(负根已舍), 所以f(x)在(0,4b-3b)上单调增函数,在(4b-3b,+)上单调减函数. 综上,若b34,f(x)的单调增区间为(0,4b-3b),单调减区间为(4b-3b,+). ()因为a=2,a=8b-6,所以b=1, 即g(x)=
22、2ln x-x2-kx. 因为g(x)的两零点为x1,x2, 则2ln x1-x21-kx1=0, 2ln x2-x22-kx2=0, 相减得2(ln x1-ln x2)-(x21-x22)-k(x1-x2)=0, 因为x1x2, 所以k=2(ln x1-ln x2)x1-x2-(x1+x2), 于是g(x0)=2x0-2x0-k =4x1+x2-2(ln x1-ln x2)x1-x2 =2x1-x22(x1-x2)x1+x2-(ln x1-ln x2) =2x1-x22(x1x2-1)x1x2+1-ln x1x2. 令t=x1x2,t(0,1), (t)=2(t-1)t+1-ln t=2-4
23、t+1-ln t, 则(t)=4(t+1)2-1t=-(t-1)2t(t+1)2(1)=0. 又2x1-x20,则g(x0)0.命题得证. 22.解:P为AB中点,OPAB, PB=r2-OP2=32. 又PC?PD=PA?PB=PB2=34, 由PC=98,得PD=23. 23.解:M:(x-532)2+(y-72)2=4,(3,3)对应直角坐标系下的点为(32,32),(2,2)对应直角坐标系下的点为(0,2), N:(x-32)2+(y-322)=1. PQ=MN-3=4-3=1. 24.证明:3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|2|x+y|+|2x-y|. 由题设知,|x+y|13,|2x-y|16, 从而3|y|213+16=56.故|y|
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