高考数学模拟试题一.docx

1、高考数学模拟试题一2014年高考数学模拟试题(一) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A=0，1，集合B=-1，0，x，且AB，则实数x的值为（ ）. （A）0 （B）1 （C）-1 （D）2 2.复数1+2i2-i的虚部为（ ）. （A）1（B）-1（C）i（D）-i 3.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为6的概率是（ ）. （A）14（B）13（C）536（D）23 4.图1是一个算法的流程图，输出的结果是（ ）. 5.一个

2、三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图2所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）. 6.（理）两个三口（父母及一个小孩）之家共同游山，需乘坐两辆不同的缆车，每辆缆车最多只能乘坐4人，但两个小孩不能单独乘坐同一辆缆车，则不同的乘坐方法共有（ ）种. （A）50（B）48 （C）36（D）49 （A）-1（B）-2 （C）-3（D）-5 7.函数f（x）=sin（x+3）（0）在区间0，2上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则的取值范围是（ ）. （A）712，1312（B）712，1312） （C）512，712）（D）512，712 8.身高1.8m的人，以1.2m/s的速度离开路灯（如图4），

3、路灯高4.2m，设身影的长度为ym，人距路灯的距离为xm.当x=3m时，身影长的变化率为（ ）. （C）0.8m/s（D）0.9m/s 9.在ABC中，B=60，2AB=3BC，则tan A的值为（ ）. （A）32（B）12 （C）2（D）3 10.已知点A（1，2）在抛物线：y2=2px上.若ABC的三个顶点都在抛物线上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，则1k1-1k2+1k3的值为（ ）. （A）1（B）2 （C）3（D）5 11.在平面直角坐标系中，A（0，0），B（1，2）两点绕定点P顺时针旋转角分别到A（4，4），B（5，2）两点，则cos 的值为（ ）

4、. （A）0（B）-35 （C）-12（D）-13 12.已知函数f（x）=3x+a与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，则a2+2ab+2ac+4bcb2-2bc+c2的最小值为（ ）. （A）-1（B）1 （C）-2（D）2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.设函数f（x）=（x-a）|x-a|+b（a，b都是实数）. 则下列叙述中，正确的序号是 .（请把所有叙述正确的序号都填上） 对任意实数a，b，函数y=f（x）在R上是单调函数； 存在实数a，b，函数y=f（x）在R上不是单调函数； 对任意实数a，b，函数y=f（x）的图

5、象都是中心对称图形； 存在实数a，b，使得函数y=f（x）的图象不是中心对称图形. 14.若不等式组x2-2x-30， x2+4x+m0的解集不是空集，则实数m的取值范围是 15.在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a，b0）的左、右焦点，A是一个虚轴端点，直线F1A与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，若OPQ的面积为2ab，则双曲线C的离心率e的值为 16.如图5，是一个底面直径和高都为6的圆柱，与高为3的圆锥组合而成的一个几何体，内盛有水，水深为x（0b）的硬纸板截成三个符合要求的AED，BAE，EBC. （）当=30时，求购买硬纸板的长与宽的比

6、值； （）现有三种规格的硬纸板可供选择，A规格长80cm，宽30cm，B规格长60cm，宽40cm，C规格长72cm，宽32cm，可以选择哪些规格的硬纸板使用. （）当=12时，求直线PN与平面ABC所成角的正弦值； （文）如图8，已知圆柱OO，AB为底面圆O的直径，C为圆O上一点，D为AC中点. （）求证：平面ACO平面BCB； （）求证：直线DO平面BCB. 19.（本小题满分12分）已知数列an的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列an前n项和为Sn，且满足S5=2a4+a5，a9=a3+a4. （）求数列an的通项公式. （）若amam+1=am+2，求正整数m

7、的值. （）是否存在正整数m，使得S2mS2m-1恰好为数列an中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值；若不存在，说明理由. 20.（本小题满分12分）（）如图9，设圆O：x2+y2=a2的两条互相垂直的直径为AB，CD，E在BD上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：（EKAK）2+（ELCL）2为定值. 21.（本小题满分12分）设函数f（x）=aln x-bx2，其图象在点P（2，f（2）处切线的斜率为-3. （）求函数f（x）的单调区间（用只含有b的式子表示）； （）当a=2时，令g（x）=f（x）-kx，设x1，x2（x1x2）是函数g（x）=0的两个根，x0是x1，x2的等差中

8、项，求证：g（x0）0（g（x）为函数g（x）的导函数）. 请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy中，圆M的参数方程为x=532+2cos ， y=72+2sin （为参数），以Ox轴为极轴，O为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N是以点（3，3）为圆心，且过点（2，2）的圆.求圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知实数x，y满足：|x+y|13，|2x

9、-y|16，求证：|y|0）在区间0，2上恰有一个最大值1和一个最小值-1，2+332， 2+352，7120）. 由余弦定理得 AC2=（3t）2+（2t）2-2?3t?2tcos 60， 所以AC=7t. 再由正弦定理得 sin A=BCsin BAC=2tsin 607t=37. 因为ABBC，所以A必是锐角， 所以cos A=1-（37）2=27， 故tan A=sin Acos A=32.故选A. 10.A.由点A（1，2）在抛物线上知，p=2，抛物线：y2=4x. 设B（y214，y1），C（y224，y2）， 1k1-1k2+1k3=y214-1y1-2-y224-y214y2-

10、y1+1-y2242-y2=y1+24-y2+y14+2+y24=1.故选A. 11.B.点P是旋转中心，分别在线段AA，BB的垂直平分线上，线段AA的垂直平分线为x+y=4，线段BB的垂直平分线为x=3，联立可解得P（3，1），所以cos =PA?PA|PA|?|PA|=（-3，-1）?（1，3）10?10=-35. 故选B. 12.A.由题意知，3b+a0，两式相加得a+2c0， 所以a2+2ab+2ac+4bcb2-2bc+c2 =（a+2b）（a+2c）（b-c）2=-（-a-2b）（a+2c）（b-c）2 -（-a-2b）+（a+2c）22（b-c）2-1. 故选A. 13.函数f（

11、x）的图象是由函数g（x）=x|x|的图象平移得到的，所以只要研究g（x）=x|x|的图象与性质.而函数g（x）在R上是单调递增函数，且关于原点对称. 14.（-，3.由x2-2x-30得-1x3.因为不等式组x2-2x-30， x2+4x+m0的解集不是空集，考察函数f（x）=x2+4x+m的图象，知道f（-1）0，即m3. 15.2.由对称性知，不妨设F1A：x-c+yb=1，即y=bcx+b. 由y=bcx+b， y=bax，得xP=acc-a. 同理由y=bcx+b， y=-bax，得xQ=-acc+a. 所以SOPQ=SAOP+SAOQ =12b（|xP|+|xQ|）=abc2c2-

12、a2. 由题设即有abc2c2-a2=2ab，从而e=ca=2. 16.3x13（0x1）， x+2（1x6）.我们首先寻求一个极限的位置作为分类讨论的标准，当该几何体倒置后水恰好充满圆锥时，依据圆锥的体积是同底等高圆柱的13知，水深x=1.所以，当0x1时，有x?32=13h?h2，即h=3x13；当1x6时，有h=x-1+3=x+2. 所以将该几何体倒置后，水的高度h关于x的函数表达式为h=3x13（0x1）， x+2（1x6）. 17.解：（）由题意知，AED=CBE=BAE=30. b=BE?cos 30 =AB?sin 30?cos 30=34a， ab=433. （）b=BE?co

13、s =AB?sin ?cos =12AB?sin 2， ba=12sin 2. 5243， 512223， ba34，12. A规格：3080=3812，不符合条件； C规格：3272=4934，12，符合条件. 选择买进C规格的硬纸板. 18.（理）解：（）以AB，AC，AA1为单位正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），M（0，1，12），P（12，0，1），N（12，12，0），PN=（0，12，-1），n=（0，0，1）为平面ABC的一个法向量，则 sin =|cosPN，n| =|PN?n|PN|?|n|=255. （）由题意知，平面ABC的一个法向量为n=AA1

14、=（0，0，1），P（，0，1）. 设平面PMN的法向量为m=（x，y，z），又MP=（，-1，12），MN=（12，-12，-12）， 由m?MN=0， m?MP=0得12x-12y-12z=0， x-y+12z=0. 令x=3，则m=（3，2+1，2-2）. 由|cosm，n|=|m?n|m|?|n| =|2-2|9+（2+1）2+（2-2）2?1=22. 解之，得=-12. （文）证明：（）C为圆O上一点， ACBC. 又BB平面圆O，AC平面圆O， ACBB. 又BCBB=B，BC，BB平面BCB， AC平面BCB. 又AC平面ACO， 平面ACO平面BCB. （）取BC中点G，连结D

15、G，BG，BO. ? BO， 则四边形CDFG为平行四边形， BGOD. 又DO平面BCB，BG平面BCB， DO平面BCB. 19.解：（）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则a1=1，a2=2，a3=1+d，a4=2q，a9=1+4d. S5=2a4+a5， a1+a2+a3=a4，即4+d=2q. 又a9=a3+a4， 1+4d=1+d+2q. 解之，得d=2，q=3. 对于kN*，有a2k-1=1+（k-1）?2=2k-1，a2k=2?3k-1， 故an=n，n=2k-1， 2?3n2-1，n=2k，kN*. （）若am=a2k，则由amam+1=am+2得 2?3k-1（2k

16、+1）=2?3k. 解之，得k=1，m=2. 若am=a2k-1，则由amam+1=am+2得 （2k-1）?2?3k-1=2k+1. 此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立. 故满足条件的正整数m为2. （）对于kN*，有 S2k=（1+2k-1）k2+2（1-3k）1-3=k2-1+3k， S2k-1=S2k-a2k=k2-1+3k-2?3k-1 =k2-1+3k-1. 假设存在正整数m，使得S2mS2m-1恰好为数列an中的一项，又由（）知，数列an中的每一项都为正整数，故可设S2mS2m-1=l（lN*），则m2-1+3mm2-1+3m-1=l， 变形得（3-l）3m-1=（l-1）（

17、m2-1）. m1，l1，3m-10，l3. 又lN*，故l可能取1，2，3， 当l=1时，（3-l）3m-10，（l-1）（m2-1）=0，（3-l）3m-1=（l-1）（m2-1）不成立； 当l=2时，（3-2）3m-1=（2-1）（m2-1），即3m-1=m2-1， 若m=1，3m-1m2-1，令Tm=m2-13m-1（mN，m2）， 则Tm+1-Tm=（m+1）2-13m-m2-13m-1 =-2m2+2m+33m=-2（m+12）2+723m -2?22+2?2+332T3，故只有T2=1，此时m=2，l=2=a2； 当l=3时，（3-3）3m-1=（3-1）（m2-1）， m=1，

18、l=3=a3. 综上，存在正整数1，使得S2S1恰好为数列an中的第三项；存在正整数2，使得S4S3恰好为数列an中的第二项. 20.解：（）如图所示，设点E（x0，y0），过点E分别向x，y轴引垂线，垂足分别为N，M，由MKEOKA，故EKAK=MEAO=|x0|a. 同理ELCL=|y0|a，则 （EKAK）2+（ELCL）2=x20a2+y20a2. 又点E（x0，y0）在圆上，故有x20a2+y20a2=1， 即（EKAK）2+（ELCL）2=1. （）如图，设椭圆x2a2+y2b2=1长轴为AB，短轴为CD，E是椭圆弧BD上的一点，AE交CD于K，CE交AB于L，则（EKAK）2+（

19、ELCL）2为定值. 如图所示，设点E（x0，y0），K（0，yK），L（xL，0），则KE=（x0，y0-yk），AK=（a，yk）， LE=（x0-xL，y0），CL=（xL，-b）， 设KE=AK，LE=CL， 则x0=a，y0=-b. 所以KEAK=|x0|a，LECL=|y0|b，（EKAK）2+（ELCL）2=x20a2+y20b2. 又点E（x0，y0）在椭圆上，故有x20a2+y20b2=1， 即（EKAK）2+（ELCL）2=1是定值. （）证明：过点E作EMAB交直线CD于点M，作ENCD交直线AB于点N. 设ON=OB，OM=OD， 则OE=ON+OM=OB+OD. 设点

20、B，D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 则OE=OB+OD=（x1+x2，y1+y2）， 即点E的坐标为（x1+x2，y1+y2）. 代入椭圆方程x2a2+y2b2=1，得 （x1+x2）2a2+（y1+y2）2b2=1， 整理得2（x21a2+y21b2）+2（x22a2+y22b2）+2（x1x2a2+y1y2b2）=1. 因为kAB?kCD=-b2a2， 即kOB?kOD=-b2a2， 故y1x1?y2x2=-b2a2，从而x1x2a2+y1y2b2=0. 所以2+2=1. 又因为EKAK=EMOA=ONOB=|， ELCL=ENOC=OMOD=|， 所以（EKAK）2+（E

21、LCL）2=|2+|2=1. 21.解：（）函数f（x）的定义域为（0，+）. f（x）=ax-2bx，则 f（2）=a2-4b=-3，即a=8b-6. 于是f（x）=-2bx2+（8b-6）x. （1）当b=0时，f（x）=-6x0， f（x）在（0，+）上是单调减函数. （2）当b0时，若0b34，则f（x）34，令f（x）=0，得 x=4b-3b（负根已舍）， 所以f（x）在（0，4b-3b）上单调增函数，在（4b-3b，+）上单调减函数. 综上，若b34，f（x）的单调增区间为（0，4b-3b），单调减区间为（4b-3b，+）. （）因为a=2，a=8b-6，所以b=1， 即g（x）=

22、2ln x-x2-kx. 因为g（x）的两零点为x1，x2， 则2ln x1-x21-kx1=0， 2ln x2-x22-kx2=0， 相减得2（ln x1-ln x2）-（x21-x22）-k（x1-x2）=0， 因为x1x2， 所以k=2（ln x1-ln x2）x1-x2-（x1+x2）， 于是g（x0）=2x0-2x0-k =4x1+x2-2（ln x1-ln x2）x1-x2 =2x1-x22（x1-x2）x1+x2-（ln x1-ln x2） =2x1-x22（x1x2-1）x1x2+1-ln x1x2. 令t=x1x2，t（0，1）， （t）=2（t-1）t+1-ln t=2-4

23、t+1-ln t， 则（t）=4（t+1）2-1t=-（t-1）2t（t+1）2（1）=0. 又2x1-x20，则g（x0）0.命题得证. 22.解：P为AB中点，OPAB， PB=r2-OP2=32. 又PC?PD=PA?PB=PB2=34， 由PC=98，得PD=23. 23.解：M：（x-532）2+（y-72）2=4，（3，3）对应直角坐标系下的点为（32，32），（2，2）对应直角坐标系下的点为（0，2）， N：（x-32）2+（y-322）=1. PQ=MN-3=4-3=1. 24.证明：3|y|=|3y|=|2（x+y）-（2x-y）|2|x+y|+|2x-y|. 由题设知，|x+y|13，|2x-y|16， 从而3|y|213+16=56.故|y|