几何体与球的体积表面积含答案.docx

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几何体与球的体积表面积含答案

几何体与球的体积表面积

一．选择题（共20小题）

1．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（　　）

A．πB．4πC．4πD．6π

2．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（　　）

A．B．C．4πD．

3．已知三棱锥O﹣ABC，A，B，C三点均在球心为O的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积是（　　）

A．544πB．16πC．πD．64π

4．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（　　）

A．8πB．12πC．16πD．32π

5．已知在三棱锥P﹣ABC中，VP﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（　　）

A．B．C．D．

6．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（　　）

A．πB．2πC．πD．3π

7．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（　　）

A．4πB．8πC．12πD．16π

8．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

A．5πB．C．20πD．4π

9．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为（　　）

A．12πB．16πC．36πD．20π

10．如图，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积是（　　）

A．56πcm2B．77πcm2C．D．

11．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（　　）

A．B．C．3πD．12π

12．已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（　　）

A．πB．3πC．D．2π

13．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（　　）

A．4πB．12πC．16πD．32π

14．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（　　）

A．36πB．64πC．144πD．256π

15．设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（　　）

A．4πB．8πC．12πD．16π

16．一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此

三棱锥外接球的表面积为（　　）

A．B．9πC．4πD．π

17．已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（　　）

A．4πB．12πC．16πD．36π

18．一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为，二面角D﹣AC﹣B的余弦值为，则下列论断正确的是（　　）

A．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π

B．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π

C．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为

D．不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上

19．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，SA⊥面ABC，则球O的表面积为（　　）

A．4πB．12πC．16πD．64π

20．棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（　　）

A．3πB．4πC．3D．6π

二．填空题（共5小题）

21．已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为　　．

22．已知H是球O的直径AB上一点，AH：

HB=1：

2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为　　．

23．如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于　　．

24．正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为　　．

25．设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于　　．

几何体与球的体积表面积

参考答案与试题解析

一．选择题（共20小题）

1．（2012•新课标）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（　　）

A．πB．4πC．4πD．6π

【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．

【解答】解：

因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，

所以球的半径为：

=．

所以球的体积为：

=4π．

故选B．

【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．

2．（2010•广东模拟）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（　　）

A．B．C．4πD．

【分析】由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．

【解答】解：

因为AB=BC=CA=2，

所以△ABC的外接圆半径为r=．

设球半径为R，则R2﹣（R）2=，

所以R2=

S=4πR2=．

故选D

【点评】本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，这是求得相关量的关键．

3．（2016•河南模拟）已知三棱锥O﹣ABC，A，B，C三点均在球心为O的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积是（　　）

A．544πB．16πC．πD．64π

【分析】求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积．

【解答】解：

三棱锥O﹣ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=BC=1，

∠ABC=120°，AC=，

∴S△ABC=×1×1×sin120°=，

∵三棱锥O﹣ABC的体积为，

△ABC的外接圆的圆心为G，

∴OG⊥⊙G，

外接圆的半径为：

GA==1，

∴S△ABC•OG=，即×OG=，

OG=，

球的半径为：

=4．

球的表面积：

4π42=64π．

故选：

D

【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．

4．（2016•衡水模拟）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（　　）

A．8πB．12πC．16πD．32π

【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．

【解答】解：

取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，

△BCD是边长为3的等边三角形．

∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，

△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，

BE=，BG=，

R===2．

四面体ABCD外接球的表面积为：

4πR2=16π．

故选：

C．

【点评】本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．

5．（2016•河南模拟）已知在三棱锥P﹣ABC中，VP﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（　　）

A．B．C．D．

【分析】利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．

【解答】解：

由题意，设PC=2x，则

∵PA⊥AC，∠APC=，

∴△APC为等腰直角三角形，

∴PC边上的高为x，

∵平面PAC⊥平面PBC，

∴A到平面PBC的距离为x，

∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，

∴PB=x，BC=x，

∴S△PBC==，

∴VP﹣ABC=VA﹣PBC==，

∴x=2，

∵PA⊥AC，PB⊥BC，

∴PC的中点为球心，球的半径为2，

∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=．

故选：

D．

【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC外接球的体积，考查学生的计算能力，正确确定球心与球的半径是关键．

6．（2016•南昌三模）已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（　　）

A．πB．2πC．πD．3π

【分析】设正△ABC的中心为O1，连结O1A．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．

【解答】解：

设正△ABC的中心为O1，连结O1A

∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，

∴O1O⊥平面ABC，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，

∴Rt△O1OA中，O1A=．

又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE=AO1cos30°=．

∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，

∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．

此时截面圆的半径r=，

可得截面面积为S=πr2=．

故选C．

【点评】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．

7．（2016•湖南二模）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（　　）

A．4πB．8πC．12πD．16π

【分析】由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积．

【解答】解：

由已知中三棱锥的高为1

底面为一个直角三角形，

由于底面斜边上的中线长为1，

则底面的外接圆半径为1，

顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，

由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；

则三棱锥的外接球半径R为1，

则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π

故选：

A

【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图出判断出三棱锥的几何特征，进而求出其外接球的半径是解答本题的关键．

8．（2015•佳木斯一模）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

A．5πB．C．20πD．4π

【分析】根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积

【解答】解：

PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；

∵Rt△PBA中，AB=，PA=

∴PB=，可得外接球半径R=PB=

∴外接球的表面积S=4πR2=5π

故选A．

【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．

9．（2015•沈阳校级模拟）已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为（　　）

A．12πB．16πC．36πD．20π

【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求．

【解答】解：

如图所示：

取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，

在Rt△OMB中，OM=1，MB=，

∴OA=，即球的半径为，

∴球O的表面积为12π．

故选：

A．

【点评】本题考查球的有关计算问题，点到平面的距离，是基础题．

10．（2015秋•乐陵市期中）如图，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积是（　　）

A．56πcm2B．77πcm2C．D．

【分析】三视图复原的几何体是长方体的一个角，扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，求出对角线长，即可求出外接球的表面积．

【解答】解：

三视图复原的几何体是长方体的一个角，三度为：

6、5、4；把它扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，

所以长方体的对角线长为：

所以球的半径为：

．

这个几何体的外接球的表面积是：

4=77π（cm2）

故选B

【点评】本题是基础题，考查几何体的外接球的问题，空间想象能力，逻辑思维能力，和计算能力，注意本题中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球．

11．（2014•四川模拟）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（　　）

A．B．C．3πD．12π

【分析】根据题意，三棱锥S﹣ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．

【解答】解：

三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，

三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，

∴球的半径R==．

球的表面积为：

4πR2=4=3π．

故选：

C．

【点评】本题考查三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥S﹣ABC的外接球的球心与半径．

12．（2016•大庆一模）已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（　　）

A．πB．3πC．D．2π

【分析】求出P到平面ABC的距离为，AC为截面圆的直径，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，求出R，即可求出球的表面积．

【解答】解：

由题意，AC为截面圆的直径，AC=，

设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，

∵PA=PB=1，AB=，

∴PA⊥PB，

∵平面PAB⊥平面ABC，

∴P到平面ABC的距离为．

由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，

∴d=0，R2=，

∴球的表面积为4πR2=3π．

故选：

B．

【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．

13．（2016•白银模拟）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（　　）

A．4πB．12πC．16πD．32π

【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．

【解答】解：

取CD的中点E，连结AE，BE，

∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．

∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，

△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，

BE=，BG=，

∴R=2．

四面体ABCD外接球的表面积为：

4πR2=16π．

故选：

C．

【点评】本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．

14．（2015•新课标II）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（　　）

A．36πB．64πC．144πD．256π

【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．

【解答】解：

如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，

故选C．

【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．

15．（2015•大庆三模）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（　　）

A．4πB．8πC．12πD．16π

【分析】根据题意，可将棱柱ABC﹣A1B1C1补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积．

【解答】解：

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，

∴可将棱柱ABC﹣AA1B1C1补成长方体，长方体的对角线=4，即为球的直径，

∴球的直径为4，

∴球的表面积为4π×22=16π，

故选：

D．

【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

16．（2015•莆田校级模拟）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此

三棱锥外接球的表面积为（　　）

A．B．9πC．4πD．π

【分析】由题意，确定三棱锥的形状，设三棱锥外接球的半径为r，则r2=（1﹣r）2+（）2，求出r，即可求出三棱锥外接球的表面积．

【解答】解：

由题意，三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，顶点在底面中的射影是底面斜边的中点，

设三棱锥外接球的半径为r，则r2=（1﹣r）2+（）2，

∴r=，

∴三棱锥外接球的表面积为4=，

故选：

A．

【点评】本题考查球和几何体之间的关系，本题解题的关键是确定三棱锥外接球的半径，从而得到外接球的表面积．

17．（2015秋•合肥校级期末）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（　　）

A．4πB．12πC．16πD．36π

【分析】证明AC⊥AB，可得△ABC的外接圆的半径为，利用△ABC和△DBC所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，求出球的半径，即可求出球O的表面积．

【解答】解：

∵AB=3，AC=，BC=2，

∴AB2+AC2=BC2，

∴AC⊥AB，

∴△ABC的外接圆的半径为，

∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，

∴球心在BC边的高上，

设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，

∴h=1，R=2，

∴球O的表面积为4πR2=16π．

故选：

C．

【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．

18．（2014•吉林二模）一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为，二面角D﹣AC﹣B的余弦值为，则下列论断正确的是（　　）

A．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π

B．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π

C．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为

D．不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上

【分析】由题意，求出BD的长，然后判断空间四边形ABCD的四个顶点是否在同一球面上，求出球的表面积即可．

【解答】解：

如图AC=AB=AD=BC=CD=，cos∠DEB=，

E为AC的中点，EB=ED=，

所以BD2=2BE2﹣2××BE2

BD=

ABCD的几何体为正四面体，有外接球，球的半径为：

球的表面积为：

3π

故选A

【点评】本题是基础题，考查二面角的求法，几何体的外接球的判断，以及外接球的表面积的求法，考查逻辑推理能力，计算能力，是好题．

19．（2012•洛阳模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，SA⊥面ABC，则球O的表面积为（　　）

A．4πB．12πC．16πD．64π

【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．

【解答】解：

如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，

∵SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，

∴BC==，

∴∠ABC=90°．

∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，

∴球O的半径R==2，

∴球O的表面积S=4πR2=16π．

故选C．

．

【点评】本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键．

20．（2003•天津）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（　　）

A．3πB．4πC．3D．6π

【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．

【解答】解：

借助立体几何的两个熟知的结论：

（1）一个正方体可以内接一个正四面体；

（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．

则球的半径R=，

∴球的表面积为3π，

故答案选A．

【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．

二．填空题（共5小题）

21．（2013•新课标Ⅱ）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为　24π　．

【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得．

【解答】解：

如图，正四棱锥O﹣ABCD的体积V=sh=（×）×OH=，

∴OH=，

在直角三角形OA