几何体与球的体积表面积含答案.docx

1、几何体与球的体积表面积含答案几何体与球的体积表面积一选择题（共20小题）1平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为（）A B4 C4 D62已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）A B C4 D3已知三棱锥OABC，A，B，C三点均在球心为O的球表面上，AB=BC=1，ABC=120，三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积是（）A544 B16 C D644四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形若AB=2，则球O的表面积为（）A8 B12 C16 D32

2、5已知在三棱锥PABC中，VPABC=，APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面PAC平面PBC，那么三棱锥PABC外接球的体积为（）A B C D6已知正ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A B2 C D37已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A4 B8 C12 D168三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A5 B C20 D49已知A，B，C点在球O的球面上，BAC=90，AB=AC=2球心O到平面ABC的距

3、离为1，则球O的表面积为（）A12 B16 C36 D2010如图，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积是（）A56cm2 B77cm2 C D11三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）A B C3 D1212已知在三棱锥PABC中，PA=PB=BC=1，AB=，ABBC，平面PAB平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A B3 C D213四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形若AB=2，则球O的表面积为（）A4 B12 C16

4、D3214已知A，B是球O的球面上两点，AOB=90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A36 B64 C144 D25615设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，BAC=90，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A4 B8 C12 D1616一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为（）A B9 C4 D17已知如图所示的三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为

5、（）A4 B12 C16 D3618一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为，二面角DACB的余弦值为，则下列论断正确的是（）A空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3B空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4C空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为D不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上19已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60，SA面ABC，则球O的表面积为（）A4 B12 C16 D6420棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A3 B4

6、 C3 D6二填空题（共5小题）21已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为22已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为23如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于24正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为25设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C若圆C的面积等于，则球O的表面积等于几何体与球的体积表面积参考答案与试题解析

7、一选择题（共20小题）1（2012新课标）平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为（）A B4 C4 D6【分析】利用平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积【解答】解：因为平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，所以球的半径为：=所以球的体积为：=4故选B【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力2（2010广东模拟）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）A B C4 D【分析】由AB=BC=CA=2，求得ABC的外接圆半

8、径为r，再由R2（R）2=，求得球的半径，再用面积求解【解答】解：因为AB=BC=CA=2，所以ABC的外接圆半径为r=设球半径为R，则R2（R）2=，所以R2=S=4R2=故选D【点评】本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，这是求得相关量的关键3（2016河南模拟）已知三棱锥OABC，A，B，C三点均在球心为O的球表面上，AB=BC=1，ABC=120，三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积是（）A544 B16 C D64【分析】求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积

9、【解答】解：三棱锥OABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=BC=1，ABC=120，AC=，SABC=11sin120=，三棱锥OABC的体积为，ABC的外接圆的圆心为G，OGG，外接圆的半径为：GA=1，SABCOG=，即OG=，OG=，球的半径为：=4球的表面积：442=64故选：D【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力4（2016衡水模拟）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形若AB=2，则球O的表面积为（）A8 B12 C16 D32【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出

10、外接球的球心，求出半径，即可求出表面积【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形RtABCRtABD，ACD是等腰三角形，BCD的中心为G，作OGAB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R=2四面体ABCD外接球的表面积为：4R2=16故选：C【点评】本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键5（2016河南模拟）已知在三棱锥PABC中，VPABC=，APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面PAC平面PBC，那么三棱锥PABC外接球的体积为（）A B C D【分析】利用等

11、体积转换，求出PC，PAAC，PBBC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥PABC外接球的体积【解答】解：由题意，设PC=2x，则PAAC，APC=，APC为等腰直角三角形，PC边上的高为x，平面PAC平面PBC，A到平面PBC的距离为x，BPC=，PAAC，PBBC，PB=x，BC=x，SPBC=，VPABC=VAPBC=，x=2，PAAC，PBBC，PC的中点为球心，球的半径为2，三棱锥PABC外接球的体积为=故选：D【点评】本题考查三棱锥PABC外接球的体积，考查学生的计算能力，正确确定球心与球的半径是关键6（2016南昌三模）已知正ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O

12、到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A B2 C D3【分析】设正ABC的中心为O1，连结O1A根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值【解答】解：设正ABC的中心为O1，连结O1AO1是正ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，O1O平面ABC，球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，RtO1OA中，O1A=又E为AB的中点，ABC是等边三角形，AE=AO1cos30=过E作

13、球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值此时截面圆的半径r=，可得截面面积为S=r2=故选C【点评】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题7（2016湖南二模）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A4 B8 C12 D16【分析】由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积【解答】解：由已知中三棱锥的高为1底面为

14、一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S=4R2=4故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图出判断出三棱锥的几何特征，进而求出其外接球的半径是解答本题的关键8（2015佳木斯一模）三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A5 B C20 D4【分析】根据题意，证出BC平面PAC，PB是三棱锥PABC的外

15、接球直径利用勾股定理结合题中数据算出PB=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积【解答】解：PA平面ABC，ACBC，BC平面PAC，PB是三棱锥PABC的外接球直径；RtPBA中，AB=，PA=PB=，可得外接球半径R=PB=外接球的表面积S=4R2=5故选A【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题9（2015沈阳校级模拟）已知A，B，C点在球O的球面上，BAC=90，AB=AC=2球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为（）A12 B16 C36 D20【分析】由BAC=90，AB=AC=2，得到B

16、C，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在RtOMB中，OM=1，MB=，则OA可求【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在RtOMB中，OM=1，MB=，OA=，即球的半径为，球O的表面积为12故选：A【点评】本题考查球的有关计算问题，点到平面的距离，是基础题10（2015秋乐陵市期中）如图，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积是（）A56cm2 B77cm2 C D【分析】三视图复原的几何体是长方体的一个角，扩展为长方体，它的外接球的直

17、径就是长方体的对角线的长，求出对角线长，即可求出外接球的表面积【解答】解：三视图复原的几何体是长方体的一个角，三度为：6、5、4；把它扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，所以长方体的对角线长为：所以球的半径为：这个几何体的外接球的表面积是：4=77（cm2）故选B【点评】本题是基础题，考查几何体的外接球的问题，空间想象能力，逻辑思维能力，和计算能力，注意本题中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球11（2014四川模拟）三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）A B C3 D12【分析】根据题意，三棱锥

18、SABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥SABC的外接球的表面积【解答】解：三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，球的半径R=球的表面积为：4R2=4=3故选：C【点评】本题考查三棱锥SABC的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥SABC的外接球的球心与半径12（2016大庆一模）已知在三棱锥PABC中，PA=PB=BC=1，AB=，ABBC，平面PAB平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球

19、面上，则该球的表面积是（）A B3 C D2【分析】求出P到平面ABC的距离为，AC为截面圆的直径，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（d）2，求出R，即可求出球的表面积【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，PA=PB=1，AB=，PAPB，平面PAB平面ABC，P到平面ABC的距离为由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（d）2，d=0，R2=，球的表面积为4R2=3故选：B【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键13（2016白银模拟）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB平面BCD

20、，BCD是边长为3的等边三角形若AB=2，则球O的表面积为（）A4 B12 C16 D32【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形RtABCRtABD，ACD是等腰三角形，BCD的中心为G，作OGAB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R=2四面体ABCD外接球的表面积为：4R2=16故选：C【点评】本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键14（2015新课标II）已知A，B是球O的球面上两点

21、，AOB=90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A36 B64 C144 D256【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，利用三棱锥OABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABC=VCAOB=36，故R=6，则球O的表面积为4R2=144，故选C【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大是关键15（2015大庆三模）设三

22、棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，BAC=90，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A4 B8 C12 D16【分析】根据题意，可将棱柱ABCA1B1C1补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积【解答】解：三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，BAC=90，AA1=2，可将棱柱ABCAA1B1C1补成长方体，长方体的对角线=4，即为球的直径，球的直径为4，球的表面积为422=16，故选：D【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16（2015莆田校级模拟）一个三棱锥的三视图如图所

23、示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为（）A B9 C4 D【分析】由题意，确定三棱锥的形状，设三棱锥外接球的半径为r，则r2=（1r）2+（）2，求出r，即可求出三棱锥外接球的表面积【解答】解：由题意，三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，顶点在底面中的射影是底面斜边的中点，设三棱锥外接球的半径为r，则r2=（1r）2+（）2，r=，三棱锥外接球的表面积为4=，故选：A【点评】本题考查球和几何体之间的关系，本题解题的关键是确定三棱锥外接球的半径，从而得到外接球的表面积17（2015秋合肥校级期末）已知如图所示的三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上

24、，ABC和DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A4 B12 C16 D36【分析】证明ACAB，可得ABC的外接圆的半径为，利用ABC和DBC所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（h）2，求出球的半径，即可求出球O的表面积【解答】解：AB=3，AC=，BC=2，AB2+AC2=BC2，ACAB，ABC的外接圆的半径为，ABC和DBC所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（h）2，h=1，R=2，球O的表面积为4R2=16故选：C【点评】本题考查球O的

25、表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键18（2014吉林二模）一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为，二面角DACB的余弦值为，则下列论断正确的是（）A空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3B空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4C空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为D不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上【分析】由题意，求出BD的长，然后判断空间四边形ABCD的四个顶点是否在同一球面上，求出球的表面积即可【解答】解：如图AC=AB=AD=BC=CD=，cosDEB=，E为AC的中点，EB=ED=，

26、所以BD2=2BE22BE2BD=ABCD的几何体为正四面体，有外接球，球的半径为：球的表面积为：3故选A【点评】本题是基础题，考查二面角的求法，几何体的外接球的判断，以及外接球的表面积的求法，考查逻辑推理能力，计算能力，是好题19（2012洛阳模拟）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60，SA面ABC，则球O的表面积为（）A4 B12 C16 D64【分析】由三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，AB=1，AC=2，BAC=60，知BC=，ABC=90故ABC截球O所得的圆O的半径r=1，由此能求出球O的半径，从而能求出球

27、O的表面积【解答】解：如图，三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，AB=1，AC=2，BAC=60，BC=，ABC=90ABC截球O所得的圆O的半径r=1，球O的半径R=2，球O的表面积S=4R2=16故选C【点评】本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键20（2003天津）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A3 B4 C3 D6【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表

28、面积公式，S球=4R2，即可得到答案【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径则球的半径R=，球的表面积为3，故答案选A【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a二填空题（共5小题）21（2013新课标）已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为24【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥OABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥OABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得【解答】解：如图，正四棱锥OABCD的体积V=sh=（）OH=，OH=，在直角三角形OA