高等数学公式手册.docx

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高等数学公式手册

导数公式：

高等数学公式

（tgx）'=sec2x

（ctgx）'=-csc2x

（arcsinx）'=

1

1-x2

（secx）'=secx⋅tgx

（cscx）'=-cscx⋅ctgx

（arccosx）'=-

1

1

1-x2

（ax）'=axlna

（logx）'=1

axlna

（arctgx）'=

1+x2

（arcctgx）'=-1

1+x2

基本积分表：

⎰tgxdx=-lncosx+C

dx2

⎰cos2x=⎰sec

xdx=tgx+C

⎰ctgxdx=lnsinx+C

⎰secxdx=lnsecx+tgx+C

dx2

⎰

⎰sin2x=⎰csc

xdx=-ctgx+C

⎰cscxdx=lncscx-ctgx+C

⎰secx⋅tgxdx=secx+C

=

dx

=

⎰a2+x2

1arctga

x+C

a

⎰cscx⋅ctgxdx=-cscx+C

a

xx

dx

⎰22

1ln

x-a+C

adx=+C

lna

x-a

dx

2a

=1ln

x+a

a+x

⎰shxdx=chx+C

⎰a2-x2

dx

+C

2aa-x

x

⎰chxdx=shx+C

dx

⎰a2-x2

=arcsin+C

a

⎰x2±a2

=ln（x+

x2±a2）+C

In=

ππ

22

⎰sinnxdx=⎰

00

cosnxdx=n-1I

n

2

n-2

⎰x2

+a2

dx=x

2

x2+a2

+aln（x+

2

2

x2+a2

）+C

⎰x2

2

-a2

2

dx=x

2

x

x2-a2

22

-alnx+

2

a2

x2-a2+C

x

⎰a-x

dx=

2

a-x

+arcsin+C

2a

三角函数的有理式积分：

sinx=

2u

1+u2

，　cosx=

1-u2

1+u2

，　u=tg

x，　dx=

2

2du

1+u2

一些初等函数：

两个重要极限：

x

双曲正弦:

shx=e

-e-x

limsinx=1

2x→0x

x

双曲余弦:

chx=e

+e-x

lim（1+1）x=e=2.718281828459045...

x

2

x

双曲正切:

thx=shx=e

-e-x

x→∞

chx

ex+e-x

arshx=ln（x+

archx=±ln（x+

x2+1）

x2-1）

arthx=1ln1+x

21-x

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

sin

cos

tg

ctg

-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

90°-α

cosα

sinα

ctgα

tgα

90°+α

cosα

-sinα

-ctgα

-tgα

180°-α

sinα

-cosα

-tgα

-ctgα

180°+α

-sinα

-cosα

tgα

ctgα

270°-α

-cosα

-sinα

ctgα

tgα

270°+α

-cosα

sinα

-ctgα

-tgα

360°-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

360°+α

sinα

cosα

tgα

ctgα

·和差角公式：

·和差化积公式：

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ

sinα+sinβ=2sinα+βcosα-β

22

cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ

tgα±tgβ

sinα-sinβ=2cosα+βsinα-β

tg（α±β）=22

1tgα

⋅tgβ

cosα+cosβ=2cosα+βcosα-β

ctg（α±β）=ctgα⋅ctgβ122

ctgβ±ctgα

cosα-cosβ=2sinα+βsinα-β

22

·倍角公式：

sin2α=2sinαcosα

cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α

ctg2α-1

sin3α=3sinα-4sin3α

cos3α=4cos3α-3cosα

ctg2α=

tg2α=

2ctgα

2tgα

3tgα-tg3α

tg3α=

1-3tg2α

1-tg2α

·半角公式：

sinα=±

1-cosα　　　　　　　　　　　　cosα=±

1+cosα

2

tgα=±

2

2

1-cosα

1+cosα

=1-cosα=

sinα

sinα

1+cosα

2

　　ctgα=±

2

2

1+cosα

1-cosα

=1+cosα=

sinα

sinα

1-cosα

·正弦定理：

a

sinA

=b

sinB

=c

sinC

=2R

·余弦定理：

c2=a2+b2-2abcosC

·反三角函数性质：

arcsinx=π-arccosx　　　arctgx=π-arcctgx

22

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

（uv）（n）=

n

∑

k=0

Cuv

k（n-k）（k）

n

=u（n）v+nu（n-1）v'+n（n-1）u（n-2）v'++n（n-1）（n-k+1）u（n-k）v（k）++uv（n）

2!

k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：

f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a）

f（）-（）

'（ξ）

柯西中值定理：

b

fa=f

F（b）-F（a）

F'（ξ）

当F（x）=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：

ds=

1+y'2dx,其中y'=tgα

平均曲率：

K=

∆α.∆α:

从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；∆s：

MM'弧长。

∆s

M点的曲率：

K=lim

∆α=dα=y'.

直线：

K=0;

∆s→0∆sds

（1+y'2）3

半径为a的圆：

K=1.

a

定积分的近似计算：

b

矩形法：

⎰f（x）≈

a

b

梯形法：

⎰f（x）≈

a

b-an

b-an

（y0+y1++yn-1）

[1（y+y）+y++y]

20n1n-1

b

抛物线法：

⎰f（x）≈

a

b-a

3n

[（y0+yn）+2（y2+y4++yn-2）+4（y1+y3++yn-1）]

定积分应用相关公式：

功：

W=F⋅s水压力：

F=p⋅A

引力：

F=km1m2,k为引力系数

r2

⎰

1b

函数的平均值：

y=f（x）dx

b-aa

⎰

b

12

均方根：

f

b-aa

（t）dt

空间解析几何和向量代数：

1

2

空间2点的距离：

d=M1M2=

（x2

-x）2+（y

-y）2+（z

-z）2

向量在轴上的投影：

PrjuAB=

AB⋅cosϕ,ϕ是AB与u轴的夹角。

Prju（a1+a2）=Prja1+Prja2

1

z

a⋅b=a⋅bcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,

两向量之间的夹角：

cosθ=

1

2

axbx

+ayby

+azbz

a2+a

2+a2⋅

b2+b2+b2

ijk

xyz

xyz

x

y

c=a⨯b=aa

bxby

az,c=a⋅bsinθ.例：

线速度：

v=w⨯r.

bz

axayaz

x

y

向量的混合积：

[abc]=（a⨯b）⋅c=bb

cxcy

b=a⨯b⋅ccosα,α为锐角时，

cz

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：

A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0，其中n={A,B,C},M0（x0,y0,z0）

2、一般方程：

Ax+By+Cz+D=0

：

3、截距世方程x+y+z=1

abc

平面外任意一点到该平面的距离：

d=

Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2

⎧x=x0+mt

x-x0

y-y0

z-z0⎪

空间直线的方程：

=

mn

二次曲面：

==t,其中s={m,n,p};参数方程：

⎨y=y0+nt

p

⎪

⎩z=z0+pt

x2

1、椭球面：

+

a2

x2

2

yz2

+=1

b2c2

y2

2、抛物面：

+

2p2q

3、双曲面：

=z（,

p,q同号）

x2y2z2

单叶双曲面：

+-

a2b2c2

x2y2z2

双叶双曲面：

-+

a2b2c2

=1

=（1马鞍面）

多元函数微分法及应用

全微分：

dz=∂zdx+∂zdy　　　du=∂udx+∂udy+∂udz

∂x∂y

∂x∂y∂z

全微分的近似计算：

∆z≈dz=fx（x,y）∆x+fy（x,y）∆y

多元复合函数的求导法：

z=f[u（t）,v（t）]

dz=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v　

dt∂u∂t

∂v∂t

z=f[u（x,y）,v（x,y）]

∂z

∂z⋅∂u+∂z⋅∂v

=

∂x

当u=u（x,y），v=v（x,y）时，

∂u∂x

∂v∂x

du=∂udx+∂udy　　　dv=∂vdx+∂vdy　

∂x∂y

∂x∂y

隐函数的求导公式：

隐函数F（x,y）=0

dy=-Fx

2

dy=

∂（-Fx）＋∂

（-Fx）⋅dy

，　　

dx

，　　

2

Fydx

∂xFy

∂yFydx

隐函数F（x,y,z）=0

∂z=-Fx

∂z=-Fy

，　

∂xFz

，　　

∂yFz

∂u

∂F

⎧F（x,y,u,v）=0∂（F,G）

隐函数方程组：

⎨　　　J==

∂F

∂v=FuFv

⎩G（x,y,u,v）=0

∂（u,v）

∂G∂G

∂u∂v

GuGv

∂u=-1⋅∂（F,G）

∂v1∂（F,G）

=-⋅

∂xJ

∂（x,v）

∂xJ

∂（u,x）

∂u=-1⋅∂（F,G）

∂v1∂（F,G）

=-⋅

∂yJ

∂（y,v）

∂yJ

∂（u,y）

微分法在几何上的应用：

⎧x=ϕ（t）

空间曲线⎪y=ψ（t）在点M（x,y,z

）处的切线方程

x-x0

=y-y0

=z-z0

⎨

⎩

⎪z=ω（t）

000

：

ϕ'（t0）

ψ'（t0）

ω'（t0）

在点M处的法平面方程：

ϕ'（t0）（x-x0）+ψ'（t0）（y-y0）+ω'（t0）（z-z0）=0

若空间曲线方程为：

⎪⎧⎨

F（x,y,z）=0

则切向量={Fy

Fz,Fz

Fx,FxFy}

T

G（x,y,z）=0

GyGzGz

GxGxGy

曲面F（x,y,z）=0上一点M（x0,y0,z0），则：

x000y000z000

1、过此点的法向量：

n={F（x,y,z）,F（x,y,z）,F（x,y,z）}

2、过此点的切平面方程：

Fx（x0,y0,z0）（x-x0）+Fy（x0,y0,z0）（y-y0）+Fz（x0,y0,z0）（z-z0）=0

3、过此点的法线方程：

x-x0

=y-y0

=z-z0

方向导数与梯度：

Fx（x0,y0,z0）

Fy（x0,y0,z0）

Fz（x0,y0,z0）

：

函数z=f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向l的方向导数为∂f

=∂fcosϕ+∂fsinϕ

其中ϕ为x轴到方向l的转角。

∂l∂x∂y

j

函数z=f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：

gradf（x,y）=∂fi+∂f

∂f

∂x∂y

它与方向导数的关系是：

∂l

=grad

f（x,y）⋅e，其中e=cosϕ⋅i+sinϕ⋅j，为l方向上的

单位向量。

∴∂f是gradf（x,y）在l上的投影。

∂l

多元函数的极值及其求法：

设fx（x0,y0）=fy（x0,y0）=0，令：

fxx（x0,y0）=A,　fxy（x0,y0）=B,　fyy（x0,y0）=C

⎧⎧A<0,（x,y

）为极大值

⎪AC-B2>0时，⎨00

⎪⎩A>0,（x0,y0）为极小值

则：

⎨AC-B2<0时，　　　　　　无极值

⎪AC-B2=0时,　　　　　　　不确定

⎪

⎪⎩

重积分及其应用：

⎰⎰f（x,y）dxdy=⎰⎰f（rcosθ,rsinθ）rdrdθ

DD'

22

曲面z=f（x,y）的面积A=

1+⎛∂z⎫

⎛∂z⎫

dxdy

⎰⎰ç

⎪+ç⎪

D⎝∂x⎭

⎝∂y⎭

M⎰⎰xρ（x,y）dσ

M⎰⎰yρ（x,y）dσ

平面薄片的重心：

x=x=D,　　y=

y=D

M⎰⎰ρ（x,y）dσ

D

2

M⎰⎰ρ（x,y）dσ

D

2

平面薄片的转动惯量：

对于x轴Ix=⎰⎰y

D

ρ（x,y）dσ,　　对于y轴Iy=⎰⎰x

D

ρ（x,y）dσ

平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a>0）的引力：

F={Fx,Fy,Fz}，其中：

Fx=

f⎰⎰

ρ（x,y）xdσ

F

3y

，　　=

f⎰⎰

ρ（x,y）ydσ

3，　　Fz=-

fa⎰⎰

ρ（x,y）xdσ

3

D（x2+y2+a2）2

柱面坐标和球面坐标：

D（x2+y2+a2）2

D（x2+y2+a2）2

⎧x=rcosθ

⎨

柱面坐标：

⎪y=rsinθ,　　　⎰⎰⎰f（x,y,z）dxdydz=⎰⎰⎰F（r,θ,z）rdrdθdz,

⎩

⎪z=zΩΩ

其中：

F（r,θ,z）=f（rcosθ,rsinθ,z）

⎧x=rsinϕcosθ

⎨

球面坐标：

⎪y=rsinϕsinθ，　　dv=rdϕ⋅rsinϕ⋅dθ⋅dr=r2sinϕdrdϕdθ

⎪

⎩z=rcosϕ

2ππ

r（ϕ,θ）

⎰⎰⎰f（x,y,z）dxdydz=⎰⎰⎰F（r,ϕ,θ）r2sinϕdrdϕdθ=⎰dθ⎰dϕ

⎰F（r,ϕ,θ）r2sinϕdr

ΩΩ

11

000

1

MMM

重心：

x=⎰⎰⎰xρdv,　　y=⎰⎰⎰yρdv,　　z=⎰⎰⎰zρdv，　　其中M=x=⎰⎰⎰ρdv

Ω

2

转动惯量：

Ix=⎰⎰⎰（y

Ω

+z2

Ω

2

）ρdv，　　Iy=⎰⎰⎰（x

Ω

+z2

Ω

2

）ρdv，　　Iz=⎰⎰⎰（x

Ω

+y2

Ω

）ρdv

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

⎨

设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：

⎧x=ϕ（t）

　　（α≤t≤β）,则：

⎩y=ψ（t）

β

⎧x=t

⎰f（x,y）ds=⎰f[ϕ（t）,ψ（t）]

ϕ'2（t）+ψ'2（t）dt　　（α<β）　　特殊情况：

⎨

Lα⎩y=ϕ（t）

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：

⎧x=ϕ（t）

设L的参数方程为⎨

，则：

⎩y=ψ（t）

β

⎰P（x,y）dx+Q（x,y）dy=⎰{P[ϕ（t）,ψ（t）]ϕ'（t）+Q[ϕ（t）,ψ（t）]ψ'（t）}dt

Lα

两类曲线积分之间的关系：

⎰Pdx+Qdy=⎰（Pcosα+Qcosβ）ds，其中α和β分别为

LL

L上积分起止点处切向量的方向角。

∂Q∂P∂Q∂P

格林公式：

⎰⎰（-）dxdy=⎰Pdx+Qdy格林公式：

⎰⎰（-）dxdy=⎰Pdx+Qdy

D∂x∂yL

∂QP

D∂x∂yL

当P=-y,Q=x，即：

∂1

-=2时，得到D的面积：

A=⎰⎰dxdy=⎰xdy-ydx

∂x∂y

D2L

·平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P（x,y），Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数，且∂Q＝∂P。

注意奇点，如（0,0），应

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

·二元函数的全微分求积：

∂x∂y

在∂Q＝∂P时，Pdx+Qdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中：

∂x

u（x,y）=

∂y

（x,y）

⎰P（x,y）dx+Q（x,y）dy，通常设x0=y0=0。

（x0,y0）

曲面积分：

22

对面积的曲面积分：

⎰⎰f（x,y,z）ds=⎰⎰f[x,y,z（x,y）]

1+zx（x,y）+zy（x,y）dxdy

∑Dxy

对坐标的曲面积分：

⎰⎰P（x,y,z）dydz+Q（x,y,z）dzdx+R（x,y,z）dxdy，其中：

∑

⎰⎰R（x,y,z）dxdy=±⎰⎰R[x,y,z（x,y）]dx