高等数学公式手册.docx

1、高等数学公式手册导数公式：高等数学公式(tgx) = sec 2 x(ctgx) = - csc 2 x(arcsin x) =11 - x2(sec x) = sec x tgx(csc x) = - csc x ctgx(arccos x) = -111 - x2(a x ) = a x ln a(log x) = 1a x ln a(arctgx) =1 + x2(arcctgx ) = - 11 + x2基本积分表： tgxdx = - ln cos x + Cdx 2 cos 2 x = secxdx = tgx + C ctgxdx = ln sin x + C sec xdx =

2、 ln sec x + tgx + Cdx 2 sin 2 x = cscxdx = -ctgx + C csc xdx = ln csc x - ctgx + C sec x tgxdx = sec x + C=dx= a 2 + x 21 arctg ax +Ca csc x ctgxdx = - csc x + Cax xdx 2 21 lnx - a + Ca dx = + Cln ax - adx2a= 1 lnx + aa + x shxdx = chx + C a 2 - x 2dx+ C2a a - xx chxdx = shx + Cdx a 2 - x 2= arcsin

3、+ Ca x 2 a 2= ln( x +x 2 a 2 ) + CI n = 2 2 sin n xdx =0 0cos n xdx = n -1 In2n-2 x 2+ a 2dx = x2x2 + a 2+ a ln( x +22x2 + a 2) + C x 22- a 22dx = x2xx2 - a 22 2- a ln x +2a 2x2 - a 2 + Cx a - xdx =2a - x+ arcsin + C2 a三角函数的有理式积分：sin x =2u1 + u 2，cos x =1 - u 21 + u 2，u = tgx ，dx =22du1 + u 2一些初等函数：

4、 两个重要极限：x双曲正弦 : shx = e- e - xlim sin x = 12 x0 xx双曲余弦 : chx = e+ e - xlim(1 + 1 ) x = e = 2.718281828459045.x2x双曲正切 : thx = shx = e- e - xxchxe x + e - xarshx = ln( x +archx = ln( x +x 2 + 1）x 2 -1)arthx = 1 ln 1 + x2 1 - x三角函数公式：诱导公式：函数角 Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180

5、-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ctg360+sincostgctg和差角公式： 和差化积公式：sin( ) = sin cos cos sin sin + sin = 2 sin + cos - 2 2cos( ) = cos cos sin sin tg tgsin - sin = 2 cos + sin - tg( ) = 2 21 tg tgcos + cos = 2 cos + cos - ctg ( ) = ctg ctg 1 2 2ctg ctgcos

6、- cos = 2 sin + sin - 2 2倍角公式：sin 2 = 2 sin cos cos 2 = 2 cos 2 -1 = 1 - 2 sin 2 = cos 2 - sin 2 ctg 2 -1sin 3 = 3sin - 4 sin 3 cos 3 = 4 cos3 - 3 cos ctg 2 =tg 2 =2ctg2tg3tg - tg 3tg3 =1 - 3tg 21 - tg 2半角公式：sin = 1 - cos cos = 1 + cos2tg = 221 - cos1 + cos= 1 - cos =sin sin 1 + cos2ctg = 221 + cos1

7、 - cos= 1 + cos =sin sin 1 - cos正弦定理：asin A= bsin B= csin C= 2R余弦定理：c2 = a2 + b2 - 2abcosC反三角函数性质：arcsin x = - arccos xarctgx = - arcctgx2 2高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：(uv)( n ) =nk =0C u vk ( n-k ) ( k )n= u ( n ) v + nu ( n-1) v + n(n -1) u ( n-2) v + + n(n -1) (n - k + 1) u ( n-k ) v ( k ) + + uv ( n )

8、2! k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理： f (b) - f (a) = f ( )(b - a)f ( ) - ( )( )柯西中值定理： bf a = fF (b) - F (a)F ( )当F( x) = x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds =1 + y2 dx, 其中y = tg平均曲率：K = . : 从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量；s：MM 弧长。sM点的曲率：K = lim = d = y .直线：K = 0;s0 s ds(1 + y2 )3半径为a的圆：K = 1 .a定积分的近似计算：b矩形法： f ( x) ab梯形法： f

9、( x) ab - a nb - a n( y0 + y1 + + yn-1 ) 1 ( y + y ) + y + + y 2 0 n 1 n-1b抛物线法： f ( x) ab - a3n( y0 + yn ) + 2( y2 + y4 + + yn-2 ) + 4( y1 + y3 + + yn-1 )定积分应用相关公式： 功：W = F s 水压力：F = p A引力：F = k m1m2 , k为引力系数r 21 b函数的平均值：y = f ( x)dxb - a ab1 2均方根： fb - a a(t )dt空间解析几何和向量代数：12空间2点的距离：d = M 1M 2 =(

10、x2- x )2 + ( y- y ) 2 + ( z- z ) 2向量在轴上的投影：Pr ju AB =AB cos ,是AB与u轴的夹角。 Pr ju (a1 + a2 ) = Pr ja1 + Pr ja 2 1za b = a b cos = ax bx + a y by + az bz ,是一个数量,两向量之间的夹角：cos =12ax bx+ a y by+ az bza 2 + a2 + a 2 b 2 + b 2 + b 2i j k x y z x y zxyc = a b = a abx byaz , c = a b sin .例：线速度：v = w r .bzax a y

11、 az xy向量的混合积：a b c = (a b ) c = b bcx c yb = a b c cos ,为锐角时，cz代表平行六面体的体积 。平面的方程：1、点法式：A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0，其中n = A, B, C, M 0 ( x0 , y0 , z0 )2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0：3、截距世方程 x + y + z = 1a b c平面外任意一点到该平 面的距离：d =Ax0 + By 0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2x = x0 + mtx - x0y - y0z

12、- z0 空间直线的方程： =m n二次曲面：= = t, 其中s = m, n, p;参数方程： y = y0 + ntp z = z0 + ptx 21、椭球面： +a 2x 22y z 2+ = 1b 2 c 2y 22、抛物面： +2 p 2q3、双曲面：= z（,p, q同号）x 2 y 2 z 2单叶双曲面： + -a 2 b 2 c 2x 2 y 2 z 2双叶双曲面： - +a 2 b 2 c 2= 1=（1 马鞍面）多元函数微分法及应用全微分：dz = z dx + z dydu = u dx + u dy + u dzx yx y z全微分的近似计算： z dz = f x

13、 ( x, y)x + f y ( x, y)y多元复合函数的求导法 ：z = f u(t ), v(t )dz = z u + z v dt u tv tz = f u( x, y), v( x, y)zz u + z v=x当u = u( x, y)，v = v( x, y)时，u xv xdu = u dx + u dydv = v dx + v dyx yx y隐函数的求导公式：隐函数F ( x, y) = 0dy = - Fx2d y = (- Fx ) (- Fx ) dy，dx，2Fy dxx Fyy Fy dx隐函数F ( x, y, z) = 0z = - Fxz = - F

14、y，x Fz，y FzuFF ( x, y, u, v) = 0 (F , G)隐函数方程组： J = =Fv = Fu FvG( x, y, u, v) = 0(u, v)G Gu vGu Gvu = - 1 (F , G)v 1 (F , G)= - x J( x, v)x J(u, x)u = - 1 (F , G)v 1 (F , G)= - y J( y, v)y J(u, y)微分法在几何上的应用： x = (t )空间曲线 y = (t )在点M ( x , y , z)处的切线方程x - x0= y - y0= z - z0 z = (t )0 0 0： (t0 ) (t0 )

15、 (t0 )在点M处的法平面方程： (t0 )( x - x0 ) + (t0 )( y - y0 ) + (t0 )( z - z0 ) = 0若空间曲线方程为：F ( x, y, z) = 0,则切向量 = FyFz , FzFx , Fx Fy TG( x, y, z) = 0G y G z GzG x Gx G y曲面F ( x, y, z) = 0上一点M ( x0 , y0 , z0 )，则：x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 01、过此点的法向量： n = F ( x , y , z ), F ( x , y , z ), F ( x , y , z )2、过此点的切平面

16、方程 ：Fx ( x0 , y0 , z0 )( x - x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y - y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z - z0 ) = 03、过此点的法线方程：x - x0= y - y0= z - z0方向导数与梯度：Fx ( x0 , y0 , z0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )：函数z = f ( x, y)在一点p( x, y)沿任一方向l的方向导数为 f= f cos + f sin 其中为x轴到方向l的转角。l x y j函数z = f ( x, y)在一点p( x,

17、y)的梯度：grad f ( x, y) = f i + f f x y 它与方向导数的关系是 ：l= gradf ( x, y) e，其中e = cos i + sin j，为l方向上的单位向量。 f 是grad f ( x, y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：设f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = 0，令：f xx ( x0 , y0 ) = A, f xy ( x0 , y0 ) = B, f yy ( x0 , y0 ) = C A 0时， 0 0 A 0, ( x0 , y0 )为极小值则： AC - B 2 0)的引力：F = Fx ,

18、Fy , Fz ，其中：Fx =f ( x, y) xdF3 y， =f ( x, y) yd3 ，Fz = -fa ( x, y) xd3D ( x 2 + y 2 + a 2 ) 2柱面坐标和球面坐标：D ( x 2 + y 2 + a 2 ) 2D ( x 2 + y 2 + a 2 ) 2x = r cos柱面坐标： y = r sin , f ( x, y, z)dxdydz = F (r, , z)rdrddz, z = z 其中：F (r, , z) = f (r cos , r sin , z)x = r sin cos球面坐标： y = r sin sin ，dv = rd

19、r sin d dr = r 2 sin drdd z = r cos 2 r ( , ) f ( x, y, z)dxdydz = F (r, , )r 2 sin drdd = d d F (r, , )r 2 sin dr 1 10 0 0 1M M M重心：x = xdv, y = ydv, z = zdv，其中M = x = dv2转动惯量：I x = ( y+ z 22) dv，I y = ( x+ z 22) dv，I z = ( x+ y 2) dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧 长的曲线积分）：设f ( x, y)在L上连续，L的参数方程为： x = (t), ( t ),

20、则： y = (t ) x = t f ( x, y)ds = f (t ), (t ) 2 (t ) + 2 (t )dt( )特殊情况：L y = (t )第二类曲线积分（对坐 标的曲线积分）： x = (t )设L的参数方程为，则： y = (t ) P( x, y)dx + Q( x, y)dy = P (t ), (t ) (t ) + Q (t ), (t ) (t )dtL 两类曲线积分之间的关 系： Pdx + Qdy = (P cos + Q cos )ds，其中和分别为L LL上积分起止点处切向量 的方向角。Q P Q P格林公式： ( - )dxdy = Pdx + Qd

21、y格林公式： ( - )dxdy = Pdx + QdyD x y LQ PD x y L当P = - y, Q = x，即： 1- = 2时，得到D的面积：A = dxdy = xdy - ydxx yD 2 L平面上曲线积分与路径 无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P( x, y)，Q( x, y)在G内具有一阶连续偏导数 ，且 Q P 。注意奇点，如(0,0)，应减去对此奇点的积分， 注意方向相反！二元函数的全微分求积 ：x y在 Q P 时，Pdx + Qdy才是二元函数u( x, y)的全微分，其中：xu( x, y) =y( x , y ) P( x, y)dx + Q( x, y)dy，通常设x0 = y0 = 0。( x0 , y0 )曲面积分：2 2对面积的曲面积分： f ( x, y, z)ds = f x, y, z( x, y)1 + z x ( x, y) + z y ( x, y)dxdy Dxy对坐标的曲面积分： P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z)dzdx + R( x, y, z)dxdy，其中： R( x, y, z)dxdy = R x, y, z( x, y)dx