人教版八年级数学下册 第十八章平行四边形课时作业含答案.docx

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人教版八年级数学下册第十八章平行四边形课时作业含答案

 第十八章 平行四边形

18.1 平行四边形

18.1.1 平行四边形的性质

第1课时 平行四边形的边、角特征

01  基础题

知识点1 平行四边形的概念

1.如图,在▱ABCD中,EF∥BC,则图中平行四边形有3个.

第1题图第2题图

2.如图,AB∥EG,EF∥BC,AC∥FG,图中有3个平行四边形,它们分别是▱ABCE,▱ABGC,▱AFBC.

知识点2 平行四边形的边、角特征

                

3.(教材P43T1的变式)在▱ABCD中,AD=3cm,AB=2cm,则▱ABCD的周长等于(A)

A.10cmB.6cm

C.5cmD.4cm

4.(2016·衢州)如图,在▱ABCD中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135°,则∠MCD的度数是(A)

A.45°

B.55°

C.65°

D.75°

5.在▱ABCD中,两邻边的差为4cm,周长为32cm,则两邻边长分别为10__cm,6__cm.

6.

(1)在▱ABCD中,若∠A∶∠B=5∶4,则∠C=100°;

(2)已知▱ABCD的周长为28cm,若AB∶BC=3∶4,则AB=6__cm,BC=8__cm.

7.如图,在▱ABCD中,CM⊥AD于点M,CN⊥AB于点N,若∠B=45°,求∠MCN的大小.

解:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,∠B=∠D.

∵∠B=45°,

∴∠BCD=135°,∠D=45°.

∵CM⊥AD,CN⊥AB,

∴∠BNC=∠DMC=90°.

∴∠BCN=∠DCM=45°.

∴∠MCN=∠BCD-∠BCN-∠DCM=45°.

8.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,B,D,F在同一直线上,且BE=DF.求证:

AE=CF.

证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,AB=CD.

∴∠ABD=∠CDB.

∴∠ABE=∠CDF.

在△ABE和△CDF中,

∴△ABE≌△CDF(SAS).

∴AE=CF.

 

知识点3 平行线间的距离

9.如图,a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,点E,G为垂足,则下列说法不正确的是(D)

A.AB=CD

B.EC=GF

C.A,B两点的距离就是线段AB的长度

D.a与b的距离就是线段CD的长度

第9题图第10题图

 

10.(2016·柳州)如图,若▱ABCD的面积为20,BC=5,则边AD与BC间的距离为4.

02  中档题

11.在▱ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是(A)

A.2∶5∶2∶5B.3∶4∶4∶5

C.4∶4∶3∶2D.2∶3∶5∶6

12.如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD于点E,则△CDE的周长是(B)

A.7B.10C.11D.12

第12题图第13题图

13.如图所示,直线a∥b,A是直线a上的一个定点,线段BC在直线b上移动,那么在移动过程中△ABC的面积(C)

A.变大B.变小C.不变D.无法确定

14.(2017·鹤岗)在▱ABCD中,∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分,则▱ABCD的周长是(C)

A.22B.20

C.22或20D.18

15.(2017·武汉)如图,在▱ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为30°.

第15题图第16题图

16.如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为25°.

17.如图,在▱ABCD中,点P是对角线BD上的一个动点(点P与点B、点D不重合),过点P作EF∥BC,GH∥AB,则图中面积始终相等的平行四边形有3对.

18.(2016·温州)如图,E是▱ABCD的边CD的中点,延长AE交BC的延长线于点F.

(1)求证:

△ADE≌△FCE;

(2)若∠BAF=90°,BC=5,EF=3,求CD的长.

解:

(1)证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC.

∴∠DAE=∠F,∠D=∠ECF.

∵E是CD的中点,

∴DE=CE.

在△ADE和△FCE中,

∴△ADE≌△FCE(AAS).

(2)∵△ADE≌△FCE,

∴AE=EF=3.

∵AB∥CD,

∴∠AED=∠BAF=90°.

在▱ABCD中,AD=BC=5,

∴DE=

=4.

∴CD=2DE=8.

 

03  综合题

19.如图,四边形ABCD是平行四边形,P是CD上一点,且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.

(1)求∠APB的度数;

(2)如果AD=5cm,AP=8cm,求△APB的周长.

解:

(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥CB,AB∥CD,AD=BC,AB=DC.

∴∠DAB+∠CBA=180°.

又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA,

∴∠PAB+∠PBA=

(∠DAB+∠CBA)=90°.

∴∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=90°.

(2)∵AP平分∠DAB,AB∥CD,

∴∠DAP=∠PAB=∠DPA.

∴AD=DP=5cm.

同理:

PC=BC=AD=5cm.

∴AB=DC=DP+PC=10cm.

在Rt△APB中,AB=10cm,AP=8cm,

∴BP=

=6(cm).

∴△APB的周长为6+8+10=24(cm).

第2课时 平行四边形的对角线性质

01  基础题

知识点1 平行四边形的对角线互相平分

                

1.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,下列结论错误的是(C)

A.AB∥CDB.AB=CD

C.AC=BDD.OA=OC

第1题图第2题图

2.(教材P44T1的变式)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为(B)

A.13B.17

C.20D.26

3.如图,在▱ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为(A)

A.4cmB.5cm

C.6cmD.8cm

第3题图第4题图

4.如图,▱ABCD的周长为16cm,AC,BD相交于点O,EO⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为(C)

A.4cmB.6cm

C.8cmD.10cm

5.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,AC,BD相交于点O.若AC=6,则线段AO的长度等于3.

6.在▱ABCD中,AB=3,BC=5,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是1<OA<4.

7.如图所示,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点M,N在对角线AC上,且AM=CN,求证:

BM∥DN.

证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC,OB=OD.

∵AM=CN,

∴OM=ON.

在△BOM和△DON中,

∴△BOM≌△DON(SAS).

∴∠OBM=∠ODN.

∴BM∥DN.

 

知识点2 平行四边形的面积

8.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,若△AOD的面积是5,则▱ABCD的面积是(C)

A.10B.15

C.20D.25

第8题图第9题图

9.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若DO=1.5cm,AB=5cm,BC=4cm,则▱ABCD的面积为12cm2.

02  中档题

10.如图,▱ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则▱ABCD的两条对角线的和是(C)

A.18B.28

C.36D.46

第10题图第11题图

 

11.如图,▱ABCD的对角线AC的长为10cm,∠CAB=30°,AB的长为6cm,则▱ABCD的面积为(B)

A.60cm2B.30cm2

C.20cm2D.16cm2

12.(2017·眉山)如图,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于E,交BC于F,若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为(C)

A.14B.13C.12D.10

第12题图第13题图

13.如图,若▱ABCD的周长为22cm,AC,BD相交于点O,△AOD的周长比△AOB的周长小3cm,则AD=4__cm,AB=7__cm.

14.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点E,∠AEB=45°,BD=2,将△ABC沿AC所在直线翻折,若点B的落点记为B′,则DB′的长为

15.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC⊥AB,AB=2

,且AO∶BO=2∶3.

(1)求AC的长;

(2)求▱ABCD的面积.

解:

(1)∵AO∶BO=2∶3,

∴设AO=2x,BO=3x

(x>0).

∵AC⊥AB,AB=2

∴(2x)2+(2

)2=(3x)2.

解得x=2.

∴AO=4.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AC=2AO=8.

(2)∵S△ABC=

AB·AC

×2

×8

=8

∴S▱ABCD=2S△ABC=2×8

=16

.

 

16.(2016·本溪)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F,连接EC.

(1)求证:

OE=OF;

(2)若EF⊥AC,△BEC的周长是10,求▱ABCD的周长.

解:

(1)证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OD=OB,DC∥AB.

∴∠FDO=∠EBO.

在△DFO和△BEO中,

∴△DFO≌△BEO(ASA).

∴OE=OF.

(2)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD,AD=BC,OA=OC.

∵EF⊥AC,∴AE=CE.

∵△BEC的周长是10,

∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10.

∴C▱ABCD=2(BC+AB)=20.

 

03  综合题

17.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=AC=8,P为AB边上一动点,以PA,PC为边作▱PAQC,则对角线PQ长度的最小值为(D)

A.6

B.8

C.2

D.4

 

18.1.2 平行四边形的判定

第1课时 平行四边形的判定

01  基础题

知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

                

1.如图,AB=CD=EF,且△ACE≌△BDF,则图中平行四边形的个数为(C)

A.1

B.2

C.3

D.4

2.若四边形ABCD的边AB=CD,BC=DA,则这个四边形是平行四边形,理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

3.下面给出四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)

A.1∶2∶3∶4B.2∶3∶2∶3

C.2∶2∶3∶3D.1∶2∶2∶3

4.一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下,那么其中是平行四边形的是(D)

A.88°,108°,88°B.88°,104°,108°

C.88°,92°,92°D.108°,72°,108°

知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

5.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件BO=DO(答案不唯一)(只添一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.

6.已知:

如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,且AO=CO.求证:

四边形ABCD是平行四边形.

证明:

∵AB∥CD,

∴∠ABO=∠CDO,

∠BAO=∠DCO.

又∵AO=CO,

∴△ABO≌△CDO(AAS).

∴BO=DO.

∴四边形ABCD是平行四边形.

 

7.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是OB,OD的中点,求证:

四边形AECF是平行四边形.

证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC,OB=OD.

∵点E,F分别是OB,OD的中点,

∴OE=

OB,OF=

OD.

∴OE=OF.

又∵OA=OC,

∴四边形AECF是平行四边形.

知识点4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

8.如图所示,四边形ABCD和AEFD都是平行四边形,则四边形BCFE是平行四边形,理由:

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

9.(2016·新疆)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证:

四边形ABCD是平行四边形.

证明:

∵AE⊥AD,CF⊥BC,

∴∠EAD=∠FCB=90°.

∵AD∥BC,

∴∠ADE=∠CBF.

在△AED和△CFB中,

∴△AED≌△CFB(AAS).

∴AD=BC.

又∵AD∥BC,

∴四边形ABCD是平行四边形.

 

02  中档题

10.小玲的爸爸在制作平行四边形框架时,采用了一种方法:

如图所示,将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是(A)

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形

11.(2016·衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1),若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则x=4或-2.

12.已知:

如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,点E,F在AC上,且AF=CE.求证:

四边形BEDF是平行四边形.

证明:

连接BD交AC于O,

∵AB=CD,BC=AD,

∴四边形ABCD是平行四边形.

∴AO=CO,BO=DO.

∵AF=CE,∴AF-AO=CE-CO,即OF=OE.

又∵OB=OD,∴四边形BEDF是平行四边形.

 

13.(2017·南京)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,且AE=CF,EF,BD相交于点O,求证:

OE=OF.

证明:

连接BE,DF.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,AD=BC.

∵AE=CF,∴DE=BF.

又∵DE∥BF,

∴四边形BEDF是平行四边形.

∴OE=OF.

 

14.(2016·张家界)已知:

如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状,并证明你的结论.

解:

四边形ABFC是平行四边形.

证明:

∵AB∥CD,

∴∠BAE=∠CFE.

∵E是BC的中点,∴BE=CE.

在△ABE和△FCE中,

∴△ABE≌△FCE(AAS).∴AB=CF.

又∵AB∥CF,∴四边形ABFC是平行四边形.

 

03  综合题

15.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点P从点A向点D以1cm/s的速度运动,到点D即停止.点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动,到点B即停止.直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形,分别为四边形ABQP和四边形PQCD,则当P,Q两点同时出发,几秒后所截得两个四边形中,其中一个四边形为平行四边形?

解:

设当P,Q两点同时出发ts后,四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形.

根据题意,得AP=tcm,PD=(24-t)cm,CQ=2tcm,BQ=(30-2t)cm(0≤t≤15).

①若四边形ABQP是平行四边形,

∵AD∥BC,∴还需满足AP=BQ.

∴t=30-2t.解得t=10.

∴10s后四边形ABQP是平行四边形;

②若四边形PQCD是平行四边形,

∵AD∥BC,∴还需满足PD=CQ.

∴24-t=2t.解得t=8.

∴8s后四边形PQCD是平行四边形.

综上所述:

当P,Q两点同时出发8秒或10秒后,所截得两个四边形中其中一个四边形为平行四边形.

 

第2课时 三角形的中位线

01  基础题

知识点 三角形的中位线

                

1.如果等边三角形的边长为4,那么等边三角形的中位线长为(A)

A.2B.4

C.6D.8

2.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点.若△DBE的周长是6,则△ABC的周长是(C)

A.8B.10

C.12D.14

第2题图第3题图

3.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠C的度数为(C)

A.50°B.60°

C.70°D.80°

4.(2016·梧州)如图,在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=2,D,E,F分别为AB,BC,AC中点,连接DF,FE,则四边形DBEF的周长是(B)

A.5B.7

C.9D.11

第4题图第5题图

5.如图,为测量位于一水塘旁的两点A,B间的距离,在地面上确定点O,分别取OA,OB的中点C,D,量得CD=20m,则A,B之间的距离是40m.

6.(2017·怀化)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,OE=5cm,则AD的长为10cm.

第6题图第7题图

7.如图,CD是△ABC的中线,点E,F分别是AC,DC的中点,EF=1,则BD=2.

8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB=8cm,E,F分别为边AC,AB的中点.

(1)求∠A的度数;

(2)求EF的长.

解:

(1)∵∠C=90°,

∴∠A+∠B=90°.

∴∠A=90°-∠B=90°-60°=30°.

(2)在Rt△ABC中,

∠A=30°,AB=8cm,

∴BC=

AB=4cm.

∵E,F分别是AC,AB的中点,

∴EF是△ABC的中位线.

∴EF=

BC=2cm.

 

9.如图,在△ABC中,D,E,F分别为边AB,BC,CA的中点.求证:

四边形DECF是平行四边形.

证明:

∵D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,

∴DF,DE为△ABC的中位线.

∴DF∥BC,DE∥AC.

∴四边形DECF是平行四边形.

 

02  中档题

10.如图,点D,E,F分别为△ABC各边中点,下列说法正确的是(C)

A.DE=DF

B.EF=

AB

C.S△ABD=S△ACD

D.AD平分∠BAC

11.如图,吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,已知点E,F分别是边AB,AC的中点,量得EF=5米,他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡,则需用篱笆的长是(C)

A.15米B.20米

C.25米D.30米

第11题图第12题图

12.(2016·陕西)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为(B)

A.7B.8

C.9D.10

13.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E是AD的中点,△BCD的周长为18,则△DEO的周长是9.

第13题图第14题图

14.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=18°,则∠PFE的度数是18°.

15.如图,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH叫中点四边形.求证:

四边形EFGH是平行四边形.

证明:

连接BD.

∵E,H分别是AB,AD的中点,

∴EH是△ABD的中位线.

∴EH=

BD,EH∥BD.

同理FG=

BD,FG∥BD.

∴EH=FG,EH∥FG.

∴四边形EFGH是平行四边形.

 

16.如图,在▱ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,点E是边CD的中点,点F在BC的延长线上,且CF=

BC,求证:

四边形OCFE是平行四边形.

证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴点O是BD的中点.

又∵点E是边CD的中点,

∴OE是△BCD的中位线.

∴OE∥BC,且OE=

BC.

又∵CF=

BC,

∴OE=CF.

又∵点F在BC的延长线上,

∴OE∥CF.

∴四边形OCFE是平行四边形.

 

03  综合题

17.如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,AD,AE分别为△ABC的中线和角平分线,过点C作CH⊥AE于点H,并延长交AB于点F,连接DH,求线段DH的长.

解:

∵AE为△ABC的角平分线,

∴∠FAH=∠CAH.

∵CH⊥AE,

∴∠AHF=∠AHC=90°.

在△AHF和△AHC中,

∴△AHF≌△AHC(ASA).

∴AF=AC,HF=HC.

∵AC=3,AB=5,

∴AF=AC=3,BF=AB-AF=5-3=2.

∵AD为△ABC的中线,

∴DH是△BCF的中位线.

∴DH=

BF=1.

 

小专题(三) 平行四边形的证明思路

                

类型1 若已知条件出现在四边形的边上,则考虑:

  

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

1.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,且EC∥BD.求证:

四边形BECD是平行四边形.

证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,即BE∥DC.

又∵EC∥BD,

∴四边形BECD是平行四边形.

 

2.如图,已知:

AB∥CD,BE⊥AD,垂足为点E,CF⊥AD,垂足为点F,并且AE=DF.求证:

(1)BE=CF;

(2)四边形BECF是平行四边形.

证明:

(1)∵BE⊥AD,CF⊥AD,

∴∠AEB=∠DFC=90°.

∵AB∥CD,∴∠A=∠D.

在△AEB和△DFC中,

∴△AEB≌△DFC(ASA).

∴BE=CF.

(2)∵BE⊥AD,CF⊥AD,

∴BE∥CF.

又∵BE=CF,

∴四边形BECF是平行四边形.

 

3.如图,在▱ABCD中,分别以AD,BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE,DF.求证:

四边形BEDF是平行四边形.

证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴CD=AB,AD=CB,∠DAB=∠BCD.

又∵△ADE和△BCF都是等边三角形,

∴DE=AD=AE,CF=BF=BC,∠DAE=∠BCF=60°.

∴BF=DE,CF=AE,∠DCF=∠BCD-∠

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