11・如图，矩形ABCD中，M为3C的中点，将ΔABM沿直线4M翻折成ΔAB∣M,连
结B1D,N为BlD的中点,则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是
D.若AB=BM=当三棱锥Bl-AMD的体积最大时，三棱锥Bi-AMD的外接
球的表而积是4;T
12.已知曲线Cπιx2-2∕7x+y2=O（n=l,2√∙）.从点P（-l,0）向曲线C”引斜率为
kn（kπ>0）的切线厶,切点为Pn（Xn,y,l）.则下列结论正确的是
A.数列｛兀｝的通项为Xw=—
B.数列｛儿｝的通项为儿=上普
C.当死>3时,Xl∙x3∙x5∙∙∙∙∙x2w-ι>
三、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分•
13.若（2+x）H=α0+fl1（l+A）+λ2（1+X）2+・-+λ17（1+x）,则a0+λi+a2+a3+・…+“山
16.注义在R上的函数/（x）的导函数为∕l（x）,/（0）=0,若对任意xwR,都有
广（X）-/（x）>1,则使得7CV）+1>1成立的X的取值范围为・
四、解答题：
本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
八/c・2C—BCC+B-COI/-2tπnBb
在I丄丿2Sm+2COS-+2COSCCOSB=1,②=—,
22tanA+tanBC
③血=α（sinC+√JcosC）三个条件中任选一个，补充在下而问题中，并加以解答.
AABC中，内角A,B,C所对的边长分別为a,b,c,且满足“=JE,b=3,—,
求ΔABC的而积・
18.（本小题满分12分）
在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体岀现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期.各种传染疾病的潜伏期不同，数小时、数天、甚至数月不等.某市疾病预防控制中心统汁了该市200需传染病患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期（单位：
天）
[0,2]
（2,4]
（16]
（6.8]
（8J0]
（10J2J
（12,14]
人数
17
43
60
50
26
3
1
（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，根据上表数据将如下列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关・
潜伏期≤6天
潜伏期>6天
总计
50岁以上（含50岁）
100
50岁以下
55
总计
200
⑵将200名患者的潜伏期超过6天的频率视为该市每名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该市疾病预防控制中心随机调査了该地区30名想者，其中潜伏期超过6天的人数为X,求随机变量X的期望和方差・附：
P（KTQ）
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
19.
（本小题满分12分）
已知，如图四棱锥P-ABCD中，底而ABCD为菱形，
ZABC=60°,AB=PA=2,PA丄平而43CD,E,M分别是
BC、PD中点，点F在棱PC上移动・
（1）证明：
无论点F在PC上如何移动，都有平而人EF丄平而
（2）当直线4F与平而PCD所成的角最大时，确左点F的位置・
20.（本小题满分12分）
Q1
已知数列｛©｝的首项q=2,前〃项和为S”，且数列⅛r是以牙为公差的等差数列.
（1）求数列｛%｝的通项公式：
（2）设®=2”舛,neN∖数列｛»｝的前"项和为7；,
①求证：
数列j⅜r为等比数列，
求兄的所有可能值.
21・（本小题满分12分）
.22
在平面直角坐标系xθy中，已知椭圆C:
^-+^r=I（«>/?
>0）的左、右焦点分别为/7
F\、F“离心率为—过耳的直线与椭圆C交于只0两点，若HFfQ的周长为8・
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线Γ.y=kx+m（m≠O）交椭圆C于4』两点，交y轴于点M•点N是M关于0的对称点，ON的半径为INOI.设D为43的中点，DE.DF与分别相切于点
E、F,求ZEDF的最小值・
22.（本小题满分12分）
已知函数/（x）=1+ln（1+V）.S（X）=—（meR）.
Xx+∖
⑴判断函数/（X）在（0,+s）上的单调性：
（2）若/（x）>g（x）在（0,+8）上恒成立，求整数加的最大值.
⑶求证：
（l+lx2）（l+2x3）∙∙∙[l+nG+l）]>K-（其中C为自然对数的底数）・
数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
C
A
B
A
A
BC
ABD
BD
ABD
一、单项选择题：
本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2
1.D【解析]∖∙M=∖x-={xlx2},N={y∖y=√x-1}={yIy≥0},
X
即M=（―s,0）U（2,+s）,N=[0,+oo）,CR（NrIM）=（Y,2],故选D.
2.B【解析】由图象可知zl=/,s=2—i,故Iz1-z21=I-2+2/1=λ∕（-2）2+22=2√2.故选B.
3.A【解析】由/丄α且mila能推出,“丄/,充分性成立：
若/丄α且加丄/,则m∕!
a或者MUα,必要性不成立，因此-mila是用丄广的充分不必要条件，故选A.
4.C【解析】lg（289-l）≈891g2≈26.789,故289-l≈1026789,故第10个梅森数的位数为27,故选C.
5.A【解析】由题设可分如下两类：
①若分成1,1,3的情况，则有=60（种）分
C2C2
派方法：
②若分成1,2,2的情况，则有一（种）分派方法，由分类加法计数原理可得共有60+90=150（种）分派方法，故选A.
6.B【解析】∙.∙∕（λ--2）=∕（x+2）,.∙.∕（x）=∕（x+4）,λ∕（x）周期为4,α>l时，
做出y=f（x）和IOgd（X+2）的函数图象如图所示：
・・・关于X的方程/（x）-fogπ（x+2）=0（α>l）恰有3个不同的实数根,：
.y=f（x）与
y=logjx+2）（^>l）的函数图象有3个交点，・・Jl°g*+2）v3,解得：
羽<心2・Iogti（6+2）>3,
故选B.
7.A【解析】设外接圆的半径为R,OA+2OB+^OC=0.OA+2OB=^6OC,
（OA+2OB）2=（-y∕6OC）2,R2+4R2+4OAOB=6R,即4顶•亦=用即
17I-CoSZAOB3y/b
COSZAOB=-,・∙∙sin~ZACB==—,・∖SinZACB=-r-・
4284
8.A[解析】设点P（CM）（不妨设m>0）,则有tan（ZPBF-ZPAF）=3"Bl（an"AF=
1+tanZPBFtanZPAF
一定成立：
因为
Inni
意得AD中点H就是三凌锥BI-AMD的外接球的球心，球半径为1,表而积是4兀，故D正确，故选BD.
12・ABD［解析】设直线Ittly=kn（x+i），联立x2-2nx+/=O,得
（1+Q）F+（2Q-2畀）x+Q=O,则由△=（）得心=,n,所以可得xrl=-
√2h+1n+1
7∕√2h+TIEU∕1-xmI1
儿=F-，AB对：
因为⅛=^⅛^∙^∙^∙-
D正确.
=4^，解得A（2,2√Σ）,B（2,-2√2）,所以2（x-l）^+>∙-=9,
轴的直线AlN交抛物线的准线X=-I于D,根据抛物线的左义可知N£=ND,所以
WNE的周长
为ME+NE+MN=3+ND+MN=3+MD,而
MD=XM+1∈（3,5）,
所以3+MDv（6,8）,也即AMNE周长的取值范弗］是（6,8）.
所以IACl=IABlCos0=4OOcos8,
弧忍的长为200×2<9=4006>.所以绿化带的总长度为/（^）=800cos^+4006>,
θe0,-!
•所以广（&）=—800sin&+400・令广（&）=0,得sin。
=丄，所以Θ=-.
2）26
调递减：
所以当θ=-时，/（&）取得极大值，也是最大值，所以
6
WHOO吨+400^=400屁葺亠680+200=880.故答案沁.
6（0,+s）【解析】构造函数gCr）="Q+l,g（0）=l.∙∙∙对任意xwR,都有e
Γ（χ）-∕ω-ι>o,册）=/2-（少）+陀=mι>o「函数
g（x）在/?
上单调递增，由Md=g（x）>l=g（O）,ΛΛ>0,AX的取值范围为
（0,+s）.
四.解答题：
本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。
「_R厂亠R
17.【解析】选①因为2sin'+2cos22cosCcosB=l,
22
所以I-COS（C—3）+1+cos（C+B）+2COSCCOSB=2+2cos（C+3）=2—2CoSA=1,
所以cosΛ=l,因为C为三角形的内角，・・・A=歹，5分
23
又∙.∙a=VU,b=3、
・・・由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.可得：
13=9+c2-2×3×c×->
2
可得：
/-3c-4=0,解得c=4,或・1（舍去），
S41Itf=—bcsι∩A=—×3×4×-=3^/3.—222选②V2=1I9・・.由正弦左理可得:
tanA+tanBC
XSinB2sinB2siιιB
COSB=Sin3可得：
_2SinBCoSA_sin"
SinASinBSinCSinACOSB+SillBCOSASinCSinCSinC
COSACOSBCOSACOSBCOSACoSB
VSinB≠0,Sinevo,.∙.解得COSA=丄，TAw（Qzr）,:
.A=-5分（后同上）
23
选③由正弦定理得，Ct=“,・.•JJsinB=SinA（SinC+JJcosC）,
SinASinB
.∖V3sin（Λ+C）=sinAsinC+VJsinAcosC,
.∙.yf3COSASinC=SinASinC,VSinC≠0>即y/3COSA=SinA♦tanA=羽,
18.【解析】
（1）由题意得列联表:
潜伏期≤6天
潜伏期＞6天
总计
50岁以上（含50岁）
75
25
IOO
50岁以下
45
55
IOO
总计
120
80
200
L丰_TZH“2200（75×55-25×45）2
t1=—120x80×100×100—所以有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关.
QnO
⑵由题意可知，-名患者潜伏期超过6天的概率为―丽訂,8分
19.【解析】⑴证明：
连接AC∙∙∙底而43CD为菱形，ZΛBC=60∖λAABC为正三角形,∙.∙E是BC的中点，.∙.AE丄BC,又ADHBC,:
.AE丄AD,.PA丄平面ABCD、AEU平面ABCD,:
.PA丄AE,∙.∙PAnAD=A,PA.ADU平而PAD,:
.AE丄平而PAD,VAEU平而AEF.平而丄平面PAD6分
I1.3
②由①可知，Tn=II•2/,+|,且由
（1）知ξr=-∕72+-H
22
整理咗=篙罟
即矿+3"+2几=〃『+3加+2/・,设CH=用+3：
+2/1,则S=C“
10分
21.【解析】
（1）由椭圆的立义可知，HFfQ的周长为4—
.∙.4α=&a=29
且xι+*土，因此牙+”=卫_
2k+l,‘2Zr+l
整理得：
（（胆驚）,
令r=8∕+3,r≥3,i⅛2Zr2+l=-
4
所以牒2=ι+J⅛=ι+斗—•令y=t+-f所以y'=i—亠
IWk（l+f）∙z+l+2t厂
当/23时，y,>O,从而y=r+-在［3,+s）上单调递增,
因此丐罟等号当且仅当23时成立,此时"。
10分
的得“5"且吋0,故鹅斗
IMrllπ
ZDF皿则Sin-丽近，所以&的最小值性.
综上所述：
当£=0,〃疋（-J2θ）U（O小②时,
12分
22.【解析】
（1）因为/（x）」+"（」+Q（兀>0）,
X
-ln（l+x）
所以广（X）=∙（x>0）,1分
又因为x>O,所以丄>0,ln（l+x）>0所以广（x）vθ,2分
l+x
即函数f（X）在（0,+8）上为减函数.
3分
⑵由f（x）>S（X）在（0,+OO）上恒成立，即7H成立，即加V
rx+l+（x+l）ln（x+l）
min
i¾Λ（x）=V+1+（A^+I）In（V÷1∖
X
所以R（X）=—!
~~,（%>0）,令g（x）=x-I-In（X+1）,
X
1X
则g'W=1=一>0,即g（χ）在（0,+8）为增函数,
x+1x+1
又g
（2）=l-ln3vθ,g（3）=2-21n2>0,
即存在唯一的实数根”，满足g（α）=O,且aV（2,3）,d-l-ln（α+l）=0,
当x>a时，g（x）>O,Λ,（x）>O,当0VXVd时，g（x）vθ,∕7,（x）<0,
即函数II（X）任（0卫）为减函数，在α+S）为增函数,
7分
则hMmιn=h（a）="+'α+l）ln（"+l）=a+1已（3,4）,
a
故整数加的最大值为38分
2χ-l3
（3）由
（2）知，ln（x+l）>=2√x>0）,
x+∖x+1
则1叩+,如1）]>2-jiurτιyττ>2-亦
10分
M（l÷lχ2）÷ln（1÷2×3）÷-÷ln[l+^÷1）]>2-3^1]
+2-3II-I）+---+2-
U3）
TT需）>2宀
11分
12分
故（1+1x2）（1+2x3）∙∙∙[1+M+1）]>严3
3.若/,加为两条不同的直线，α为平面,且/丄α,则fIIcTh丄/“的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律“，法国数学家马林・梅森
就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如
“2°-I（Q是质数）“的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22-l=3,234-l=7,25*-1=31,27-1=127,3,7是1位数，31是2位数,127是3位数，已知第10个梅森数为289-l,则第10个梅森数的位数为（参考数据：
Ig2≈0.301）
A.25B.29C.27D.28
5.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5教师对数学卷的选择题、填空
题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派1斜教师的不同分派方法种数为
A.150B.180C.200D.280
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