常州市中考数学试题含答案和解释.docx
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常州市中考数学试题含答案和解释
2017年常州市中考数学试题（含答案和解释）
江苏省常州市2017年中考数学试题（解析版）
一、选择题（每小题3分，共10小题，合计30分）
1-2的相反数是（）
A．-B．
．±2D．2
答案：
D
解析：
数a的相反数是-a,所以-2的相反数是2，故选D．
2下列运算正确的是（）
A．•=2B．（n）3=n3
．
（2）3=6D．6÷a3=a3
答案：
解析：
•=22,（n）3=3n3,
（2）3=6,6÷a3=a4,故正确的是，故选．3右图是某个几何体的三视图，则该几何体是（）
A．圆锥B．三棱柱
．圆柱D．三棱锥
答案：
B
解析：
由三视图确定几何体，从三视图可以确定此几何体为三棱柱，故选B．
4计算:
+的结果是（）
A．B．
．D．1
答案：
D
解析：
本题考查分式的加法，同分母分式，分子相加减，原式==1，故选D．
若3x>-3,则下列不等式中一定成立的是（）
A．x+>0B．x->0
．x+<0D．x-<0
答案：
A
解析：
不等式的两边都除以3得x>-,移项得x+>0,故选A．
6如图，已知直线AB、D被直线AE所截，AB∥D,∠1＝60°,则∠2的度数是（）A．100°B．110°
．120°D．130°
答案：
解析：
∵AB∥D,∠1＝60°,∴∠3＝∠1＝60°,所以∠2＝180°-60°=120°,故选
．
7如图，已知矩形ABD的顶点A、D分别落在x轴、轴上，D=2A=6,AD：
AB=3:
1,则点的坐标是（）
A．（2,7）B．（3,7）
．（3,8）D．（4,8）
答案：
A
解析：
作BE⊥x轴于E，由题意知△ABE∽△DA，因为D=2A=6,所以A=3,由勾股定理得AD=3,因为AD：
AB=3：
1,所以AB=，所以BE=1,AE=2,由矩形的性质知，将点D向上平移一个单位，向右平移2个单位得到点，所以点的坐标为（2,7）,故选A．8如图，已知□ABD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接
A，若EF=2,FG=G=,则A的长是（）
A．12B．13
．6D．8
答案：
B
解析：
作A⊥H交H的延长线于H，因为四条内角平分线围成的四边形EFGH为矩形，所以
A=FG=,H=AE=G=,所以=12,由勾股定理得A=13，故选B．
二、填空题：
（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9计算：
|-2|+（-2）0=
答案：
3
解析：
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0,非零数的零次方都等于1,依此规则原式=2+1=3．
10若二次根式有意义，则实数x的取值范围是
答案：
x≥2
解析：
二次根式有意义需要满足被开方数为非负数，所以x-2≥0,解得x≥2．
11肥皂泡的泡壁厚度大约是00007,则数据00007用科学计数法表示为
答案：
7×10-4
解析：
用科学记数法表示较小的数，00007=7×10-4．
12分解因式：
ax2-a2=
答案：
a（x+）（x-）
解析：
原式=a（x2-2）=a（x+）（x-）．
13已知x=1是关于x的方程ax2-2x+3=0的一个根，则a=
答案：
-1
解析：
将x=1代入方程ax2-2x+3=0得a-2+3=0,解得a=-1．
14已知圆锥的底面圆半径是1,母线长是3,则圆锥的侧面积是
答案：
3π
解析：
圆锥的侧面积=×扇形半径×扇形弧长=×l×（2πr）=πrl=π×1×3=3π．设圆锥的母线长为l，设圆锥的底面半径为r，则展开后的扇形半径为l，弧长为圆锥底面周长（2πR）．我们已经知道，扇形的面积公式为：
S=×扇形半径×扇形弧长=×l×（2πr）=πrl．即圆锥的侧面积等于底面半径与母线和π的乘积π×1×3=3π
1．（2017常州，1，2分）如图，已知在△AB中，DE是B的垂直平分线，垂足为E，交A于
点D，若AB=6,A=9,则△ABD的周长是答案：
1
解析：
因为DE垂直平分B，所以DB=D，所以△ABD的周长=AD+AB+BD=AB+AD+D=AB+A=6+9=1．
16如图，四边形ABD内接于⊙，AB为⊙的直径，点为弧BD的中点若∠DAB＝40°,则∠AB＝°答案：
70°
解析：
连接A，，因为是弧BD的中点，∠DAB＝40°,所以∠AB＝20°,所以∠B＝40°,由三角形内角和得∠B＝70°17已知二次函数=ax2+bx-3自变量x的部分取值和对应函数值如下表：
X…-2-10123…
…0-3-4-30…
则在实数范围内能使得->0成立的x的取值范围是
答案：
x>4或x<-2
解析：
将点（-1,0）和（1,-4）代入=ax2+bx-3得，解得：
，所以该二次函数的解析式为=x2-2x-3,若>,则x2-2x-3>,x2-2x-8>0,解一元二次方程x2-2x-8=0，得x=4或x=-2根据函数图象判断->0成立的x的取值范围是x>4或x<-2．
18如图，已知点A是一次函数=x（x≥0）图像上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形AB，反比例函数（）0）的图像过点B、，若△AB的面积为6,则△AB的面积是答案：
18
析：
设点A（4a,2a）,B（4a,2b）,则点的横坐标为4a+（2b-2a）,点的坐标为（3a+b,a+b）．所以4a•2b=（3a+b）（a+b）,（3a-b）（a-b）=0,解得：
a=b（舍去）或b=3a
S△AB=（2b-2a）•4a=8a2=6,=4a•2b=24a2=18
三、解答题：
（本大题共6个小题，满分60分）
19（6分）先化简，再求值：
（x+2）（x-2）-x（x-1）,其中x=-2
思路分析：
先化简，再代入求值
解：
原式=x2-4-x2+x=x-4,当x=-2时，原式=-2-4=-6
20（8分）解方程和不等式组：
（1）=-3
（2）
思路分析：
（1）解分式方程，检验方程的解是否为增根；
（2）分别解两个不等式再确定不等式组的解集
解：
（1）去分母得2x-=3x-3-3（x-2）,去括号移项合并同类项得，2x=-8,解得x=-4,经检验x=4是原方程的根，所以原方程的根是x=4；
（2）解不等式①得x≥-3，解不等式②得x＜1，所以不等式组的解集是-3≤x＜1
21（8分）为了解某校学生的余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”“打球”“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如下统计图：
根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中的样本容量是
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校余兴趣爱好为“打球”的学生人数
思路分析：
（1）利用爱好阅读的人数与占样本的百分比计算，30÷30%=100；
（2）其他100×10%=10人，打球100-30-20-10=40人；
（3）利用样本中的数据估计总体数据
解：
（1）100；
（2）其他10人，打球40人；
（3）2000×=800,所以估计该校余兴趣爱好为“打球”的学生为数为800人
22（8分）一只不透明的袋子中装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3、4
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，求摸出的乒乓球球面上数字为1的概率；
（2）搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，求2次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率
思路分析：
（1）列举法求概率；
（2）画树状图法求概率
解：
（1）从4个球中摸出一个球，摸出的球面数字为1的概率是；
（2）用画树状图法求解，画树状图如下：
从树状图分析两次摸球共出现12种可能情况，其中两次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率为：
=．
23（8分）如图，已知在四边形ABD中，点E在AD上，∠BE=∠AD=90°，∠BA=∠D，B=E
（1）求证：
A=D；
（2）若A=AE，求∠DE的度数
思路分析：
（1）证明△AB≌△DE；
（2）由∠EA=4°通过等腰三角形的性质求解
解：
（1）证明：
∵∠BE=∠AD=90°，∴∠AB=∠DE，
又∵∠BA=∠D，B=E，∴△AB≌△DE，∴A=D
（2）∵∠AD=90°，A=D，∴∠EA=4°，
∵AE=A∴∠AE=∠AE=×（180°-4°）=67°，
∴∠DE=180°-67°=112°
24（8分）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需40元
（1）求每个篮球和每个足球的售价；
（2）如果学校计划购买这两种共0个，总费用不超过00元，那么最多可购买多少个足球？
思路分析：
（1）根据等量关系列方程组求解；
（2）根据不等关系列不等式求解
解：
（1）解设每个篮球售价x元，每个足球售价元，根据题意得：
，解得：
答：
每个篮球售价100元，每个足球售价120元
（2）设学校最多可购买a个足球，根据题意得
100（0-a）+120a≤00,解得：
a≤2
答：
学校最多可购买2个足球
2（8分）如图，已知一次函数=x+b的图像与x轴交于点A，与反比例函数=（x<0）的图像交于点B（-2,n），过点B作B⊥x轴于点，点D（3-3n,1）是该反比例函数图像上一点
（1）求的值；
（2）若∠DB=∠AB，求一次函数=x+b的表达式
思路分析：
（1）将点B、D坐标代入反比例函数解析式求解的值；
（2）先求BD的解析式，再由线段垂直平分线的性质求得点A坐标，最后求AB的解析式
解：
（1）把B（-2,n）,D（3-3n,1）代入反比例函数=得,
解得：
，所以的值为-6
（2）由
（1）知B、D两点坐标分别为B（-2,3）,D（-6,1），
设BD的解析式为=px+q,所以，解得
所以一次函数的解析式为=x+4,与x轴的交点为E（-8,0）
延长BD交x轴于E，∵∠DB=∠AB，B⊥A，∴B垂直平分A，
∴E=6,∴点A（4,0）,将A、B点坐标代入=x+b得
，解得，所以一次函数的表达式为=-x+2
26（10分）如图1,在四边形ABD中，如果对角线A和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形
（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是等角线四边形（填写图形名称）；
②若、N、P、Q分别是等角线四边形ABD四边AB、B、D、DA的中点，当对角线A、BD还需要满足时，四边形NPQ是正方形；
⑵如图2,已知△AB中，∠AB=90°，AB=4,B=3,D为平面内一点
②若四边形ABD是等角线四边形，且AD=BD，则四边形ABD的面积是；
②设点E是以为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由
思路分析：
（1）①矩形是对角线相等的四边形；
②四边形的中点四边形是平行四边形，等角线四边形的中点四边形是菱形，当对角线A、BD互相垂直时四边形NPQ是正方形；
⑵①根据题意画出图形，根据图形分析确定DF垂直平分AB，从而计算面积SABED=S△ABD+S△BD；
②如图四边形ABED面积的最大值时点E在直线A上，点D是以AE为斜边的等腰直角三角形的直角顶点，进而求得四边形ABED面积的最大值
解：
（1）①矩形；②A⊥BD；
⑵①∵∠AB=90°，AB=4,B=3，∴BD=A=,作DF⊥AB于F，∵AD=BD，∴DF垂直平分AB，
∴BF=2,由勾股定理得DF=，
由题意知SABED=S△ABD+S△BD=×AB×DF+×B×BF=×4×+×3×2=2+3；②如图四边形ABED面积的最大值时点E在直线A上，点D是以AE为斜边的直角三角形的直角顶点，所以AE=6,D=3,在△AB中，由面积公式得点B到A的距离为，所以四边形ABED面积的最大值=S△AED+S△ABE=×6×3+×6×=16227（10分）如图，在平面直角坐标系x中，已知二次函数=-x2+bx的图像过点A（4,0）,顶点为B，连接AB、B
（1）求二次函数的表达式；
（2）若是B的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线P的对称点为B′，当△B′为等边三角形时，求BQ的长度；
（3）若点D在线段B上，D=2BD，点E、F在△AB的边上，且满足△DF与△DEF全等，求点E的坐标思路分析：
（1）将A点坐标代入=-x2+bx求得二次函数的表达式；
（2）根据题意画出图形，根据图形分析，若△B′为等边三角形，则∠B′=∠QB′=∠QB=60°，由∠B=90°,根据特殊三角函数值求得BQ的长；
（3）按点F在B上和点B在A上进行讨论确定点E的位置，当点F在BA上，点E与点A重合时△DF与△DEF全等；当F在A上，DE∥AB时△DF与△DEF全等，点关于DF的对称点落在AB上时△DF与△DEF全等
解：
（1）将A（4,0）代入=-x2+bx得，-×42+b×4=0,解得b=2,
所以二次函数的表达式为=-x2+2x；
（2）根据题意画出图形，二次函数=-x2+2x的顶点坐标为B（2,2），与两坐标轴的交点坐标为（0,0）、A（4,0）此时B=2,B=，若△B′为等边三角形，则∠B′=∠QB′=∠QB=60°，因为∠B=90°,所以tan∠QB=QB:
B=,所以QB=；
（3）①当点F在B上时，如图，当且仅当DE∥A，即点E与点A重合时△DF≌△FED，此时点E的坐标为E（4,0）；②点F在A时，如图DF⊥A，当F=EF时△DF≌△DEF，由于D=2BD，所以点D坐标为（，），点F坐标为（，0），点E坐标为（，0）；点F在A时，如图,点关于DF的对称点落在AB上时，△DF≌△DEF，此时D=DE=2BD=，BE=，作BH⊥A于H，EG⊥A于G，由相似三角形的性质求得HG=，所以点E坐标为（2+，2-）．综上满足条的点E的坐标为（4,0）、（，0）、（2+，2-）．
28（10分）如图，已知一次函数=-x+4的图像是直线l，设直线l分别与轴、x轴交于点A、B
（1）求线段AB的长度；
（2）设点在射线AB上，将点绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N
①当⊙N与x轴相切时，求点的坐标；②在①的条下，设直线AN与x轴交于点，与⊙N的另一个交点为D，连接D交x轴于点E直线过点N分别与轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△DE相似时，求点P的坐标思路分析：
（1）求A、B两点坐标，由勾股定理求得AB的长度；
（2）①根据题意画出图形，根据△AB∽△NHA，△HAN≌△FA计算出线段F与F的长；
②分点P位于轴负半轴上和点P位于轴正半轴上两种情况进行分析，借助于相似三角形的对应线段比等于相似比列方程求得交点Q坐标，再将点Q坐标代入AB及NP解析式求得交点P的坐标
解：
（1）函数=-x+4中，令x=0得=4,令=0得，x=3,所以A（0,4）,B（3,0）AB==
（2）①由图1知,当⊙N与x轴相切于点E时，作NH⊥轴于H，则四边形NHE为矩形，H=EN=A=AN，∵∠HAN+∠AB=90°，∠HNA+∠HAN=90°,∴∠AB=∠HAN，因为A⊥AN，所以△AB∽△NHA，
图1
∴==，设AH=3x，则HN=4x,AN=NE=H=x,∵H=A+AH,∴3x+4=x,∴x=2,
∴AH=6,HN=8,AN=A=10∵A=AN，∠AB=∠HAN，∴Rt△HAN≌Rt△FA,∴F=6,AF=8,F=4,
∴（6,-4）
②当点P位于轴负半轴上时，设直线AN的解析式为=x+b，将A（0,4）,N（8,10）代入得，解得，所以直线AN的解析式为=x+4所以点坐标为（-，0）,过D作x轴的垂线可得点D（16，16）设点P坐标为（0,-p）,N（8，10）则直线NP解析式为=x-p,作EF⊥D于F，E=+8=,A=，D=+20=,由相似三角形性质可得EF=8,△DE∽△APQ，则，解得点Q的横坐标绝对值为，将点Q横坐标绝对值代入AB及NP解析式得•-p=•（-）+4，解得p1=-4（舍去）,p2=6,所以P（0,-6）
当点P位于轴正半轴上时，设点P坐标为（0,4+p）,N（8，10），D（16，16）则直线NP解析式为=x+4+p,△DE∽△AQP，则，解得点Q的横坐标绝对值为，将点Q横坐标绝对值代入AB及NP解析式得•（-）+4+p=（-）•（-）+4，解得p=10，所以P（0,14）
法二：
把（6,-4）,D（16,16）代入=x+b得，解得,∴直线D的解析式为=2x-16,当x=8时，=0，点E（8,0）在直线DE上。
①当P位于轴负半轴上时，△DE∽△APQ，则∠7=∠,∠4=∠6,∵ND=NE=r，∴∠1=∠6,∵A∥NE，∴∠2=∠4,∴∠2=∠1,∴NP∥ND，∴∠3=∠6,∴∠3=∠4,∴AN=NP=10,∵A=4,∴P=6,∴点P坐标为（0,-6）②当P位于轴正半轴上时，△DE∽△AQP，则∠1=∠2=∠3,∠APQ=∠ED,∴∠=∠6,∵ND=NE=r，∴∠4=∠7,∠8=∠Q=90°,∠8=∠9,∠E=∠Q∴∠9+∠4=90°,∴NQ⊥DE，∴∠9=∠6,∴∠=∠8,∴AN=NP=10,∵A=4,∴P=14,∴点P坐标为（0,14）
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