44
I4
ab=
a
b
■
fr
(或内积)为:
n,
■4
4
a〃b(b=0)ua:
定义它们的数量积
ab=x1x2
两个向量平行:
xiy2-冷%=o;
两个向量垂直:
a_b=
%y2=0;
向量的长度:
XlX2
,b二
向量的夹角:
yy2
■.X22-y22
a=(x,yi),b=(X2,y2)
=0=x1x2
nt4i
=1,贝Ua—b人大附中联合2010-2011学年度必修四模块试卷)
已知向量a=cos75,sin75,b=cos15,sin15,则
C•晅
2
【例5】⑴i平面向量a与b的夹角为60,
⑵**
a=2,
a+b的值为(
⑶宀(2011年江苏卷)已知&,氏是夹角为25的两个单位向量,
「3
若ab=0,,则k的值为•
⑷…已知向量a=(m,-2),b=(七,5),且a与b的夹角为钝角,【解析】⑴3;
由已知可得:
■444-44
a=ei-2Q,b=ke+e2,
则m的取值范围是
呻72
a—b=a-2
cos60jb
=4-221丄1=3,
2
⑵D
由已知
WiliPTST倉而鶴三
+2ab+b=1+1+2(cos75jcos15&+sin75®sin15*)=2+2cos60*=3,
•-a+b=药.
由已知ele2=ei■e
2ncos
3
ab=e-2e2kete,=k'e'
」2,6J6,
.35J5
■4呻
+od
1
_2,
2
+(1_2kee2-2e2'
f=k+k—丄—2=0•••k=§
2'4
■+H彳呻一
ab..0,且a,b不平行.
106彳彳
解得m.当m时,a//b,需舍去.
35
L106〕止
I3‘5丿%,
<教师备案>例如此类的角度问题,是一个易错点,特别需要注意对角度的范围的判断,根据定义,
0,n,如果cosr.0,那么是锐角或者r-0;如果cos0时,那么二是钝角或
者'二n在做题目时一定要注意区分清楚.
a与b的夹角为钝角,
ab=-3m—10:
:
0,
从而m的取值范围为
当且仅当
【例6】⑴扃设a,b是两个非零向量,下列说法正确的有
①若a+b|=|a|—也,贝Ua丄b;②若a丄b,则;+b:
=:
a③若?
+b=a-b,则存在实数h,使得b=&a
①若ab
-b;
③若ab
④若存在实数■,使得b=,a,则
*朗;⑥若也鳥』
⑤若a丄b,贝Ua+
⑵翼(目标班专用)设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,呻I片F
c,贝ybc的值一定等于(
=
A.以a,b为邻边的平行四边形的面积
C.以a,b为两边的三角形的面积
【解析】⑴③⑤⑥;**
利用向量加法的三角形法则知,a,b不共线时,
③正确;④错误,因为当■0时,4|'4|
且满足a与
)
B.以b,c为两边的三角形的面积
D.以b,c为邻边的平行四边形的面积
a,b,a+b可构成三角形,①②均错误;
ab5;利用向量加法的平行四边形法则知
ab,arb可看成是起点相同的向量a,b构成的平行四边形的两条对角线,故4呻
=这个平行四边形为矩形=a丄b,⑤⑥均正确.
44
4气
a+b
=a-b
⑵AHH斗*
假设a与b的夹角为「则b与c的夹角可能为90独;-口-90,270-v
bc=bc
'sinr
积,故选A.本题也可使用排除法,首先情况排除C答案.
asinr,即为以a,b为邻边的平行四边形的面B,D肯定不正确,只可能为A,C,再由特殊
【例7】
CB
=b,贝ycS=(
)
12
2*
1呻
A.
ab
B.-a-b
33
3
3
14呻
44
1彳
C.
ab
D.-a
b
33
3
3
⑴—在△ABC中,已知D是AB边上一点,
⑵代一个质点受到平面上的三个力F1,F2,
(单位:
牛顿)的作用而处于平衡状态.已知
F1,F2成120角,且F1,F2的大小分别为1和2,则有()
A.F1,F3成90角
C.F2,Fa成90角
⑶界如图,在边上一点,
A.-8
3
△ABC中,
DC=2BD
B.8
⑷儿已知在△ABC中,已知訖=4,
B.F!
F3成150角D.F2,F3成60角.BAC=120,AB=2,,则aSbC等于(
C.2
J
BC=3,
【解析】⑴
"BC二^3BD,"aS=1,
AC=1,D是BC
)
2D.
=5,则A
儿(目标班专用)(2010年天津高考)如图,在△ABC中,AD_AB,则ACAS二
A
法1:
11TT呻
AB=CB-CA=b-a
2n2-1
CAASab=aab.
3f33
过点D分别作CA,CB的平行线,交CB,CA于点F,E
22t1T1-j
由平面几何知识可得CF=2CB,CE=」CA=1
333
tTT1片2片
二CD=CECFab.
33
A
法一:
如图所示,法二:
不妨设Fi,
*呻#4
贝Ua+b+c=0,C2鳥+b
■-c=p3二
3a,
F3与Fi和F2的合力方向相反,选A.
F2,F3所表示的向量为a,b,c,
2
2abb
2
由已知BC-AC—AB,AD
二1—24二3
即F与F3垂直.
2
=2AB—AC(方法同⑴),33
•••ADbc=;2Ab1ACAC—ABimJACif1〕3
2
.33
121
4:
<12-
333
+gfAB!
7ccos120
⑷-25;
TTT■
ABBCBCCACAAB=ABBCCA;=ABBA=
⑸巧TTTT__,一_
法-:
AC=ABBCABADBCAD=BC7S
=AD={3(BA+AD)AD=歯AD=x/3.
转化的思路是将各个向量往已知长度与角度关系的向量上逐步转化,即往AB,AD上转化.
:
如图,过C作CE丄AD,交AD的延长线于E,
二ACAD=AD^>-;:
3'aD12
【点评】关于向量的数量积,与几何相关的利用公式首先考虑利用公式;b」abcos;,ib,有坐标
的,直接考虑利用公式ab=x,X2yy•如果无法直接求出,要设法把向量进行拆分,转化为其它已知向量的和或差,利用已知条件得到结论.
【备选】
已知向量a=(cosx,sinx).
ab.8
5
,且-:
:
^:
:
-•
⑴试求出呼一訂和叫一訂的值;⑵求
sin2x(1tanx)
1-tanx
的值.
ab=.2cosx、2sinx=22sinIx—
I4丿
f
cosx-
I4丿
=sin
n
=sin
cos
2x-
2cos2
心卜5
sin
3
5
=sin2x,
n.
tantanx
4
sin
x=5
n,n3
xn,故tan
244
4
3
sin2x(1tanx)_7_4__28
1—tanx25375
,:
Ccos、;,sinx],且0:
:
:
-:
:
:
n尖子班OC二7,求OB与OC的夹角;
⑵若AC_BC,求tan〉的值.
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―..—
【解析】
⑴••
•OAOC1=•7,即2cos?
2
亠sin2:
-7,
1
•cos:
2
【备选】
【解析】
n
=/AOC=—
3
OB与OC的夹角为
又/AOB二n,
⑵AC=(cos°-2,sino卜
—I—IT1
结合三点位置知,
BC=cos:
sin.:
:
—2,
TACBC,•ACBC=0,•cosx亠sin、£
2
222
sin川2sin:
cos爲川cos:
tan二「卜2tan二川1
21
•cos:
:
「sin.篇
4
解得tan:
=—7
3
由cos:
亠sin:
=〔
2
4一7
3
3x
2
sin:
-
2
cos:
-
,隈三i:
0,n知
,故tan:
:
:
:
-1,
3x
已知向量a=cos一,
I2
sin3X
x
cos—,
2
求ab及a+b;
,求■的值.
■4
4
3x
x.3x
.x
a
b:
二cos
cossin
-sin
2
22
I2丿
若f(x)=ab—2九a+b的最小值是
⑴
二cos2x
3x
cosmos-j.
22丿J2
•!
+甘=2cosx.
.2亠2cos2x=2cos
n
2
222
x°,
fx=cos2x-4■cosx=2cosx-4,cosx-1=2cosx-,-2';—1
•••cosx^[0,1I
①当人b,1耐,cosx=h时,有f(xmin=-2扎2-1,故-2扎彳一仁一弓二
又…〔0,11,
②当-<0时,
③当•・1时,
综上所述:
3
cosx=0时,有f(xmin=—1H_?
;
35
cosx=1时,有fXmin=1-4=…:
-1,舍去.
28
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15.3函数回顾
=
<教师备案>因为大部分学校期末考试都会考查函数,所以这里安排了对函数的回顾,供老师选讲.
【例9】
【解析】
【例10】
I⑴计算:
1lg2+Ig5—lg捆;②③Ig52+2lg8十Ig54g20+(lg2).
log233
⑵①满足不等式2xA1的x的取值范围是
2
2满足不等式log°.2xa0的x的取值范围是.
⑴①丄:
②-:
③3.
23
⑵①-1,•:
:
•,②0,1.
⑴—(2012广州七中高一上)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且f(x)在[0,•:
:
)上是减函数,若f(a)>f(-2),则a的取值范围是.
⑵&设偶函数f(x)=logax、b在(0,•:
:
)上是单调递减函数,则f(b-2)与f(aT)的大小
关系是()
A.f(b—2)f(a1)B.f(b—2).f(a1)
C.f(b-2^:
:
f(a1)D.不能确定
5
‘f
7
--
D.1-
_\
4
I
4
A.5-:
:
H-4
⑶:
:
已知函数f(x)的定义域为{x|x.二R-x=1}-且f(x•1)为奇函数.当x:
:
:
1时,f(x)=2x—x+1那么当x>1时,f(x)的递减区间是()
[4,丿I
【例11】
(广州高一测试)已知定义在(0,•:
:
)上的函数f(x)同时满足下列三个条件:
f⑵二-1;②对任意x、y•(0,:
:
)都有f(xy)二f(x)f(y);③当0:
:
x:
:
1时,f(x)0.求f(4)、f(、.2)的值;
证明:
函数f(x)在(0,■:
:
)上为减函数;
解关于x的不等式f(2x):
:
:
f(x-1)-2.
f4]=f22]=f2f2--2;
【解析】
⑴
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写电利到审aT袒
___i
f2=f,22=f,2f,2,于是f2—2-
因此函数fx在0,上为单调递减函数.
⑶f2x:
:
:
fx-1f2x:
:
;fx-1f4二f2x:
:
:
f4x—1
=2x4x-11:
:
:
x:
:
:
2,因此原不等式的解集为1,2.
【备选】设函数f(x)=(2一x)(x・4)x<2•
’2_x)(x—a)x=2
求函数f(x)在区间[2,2]上的最大值和最小值;
⑵
【解析】⑴
设函数f(x)在区间[4,6]上的最大值为g(a),试求g(a)的表达式.
在区间[_2,2]上,f(x)=(2—x)(x4).
所以f(x)在区间[2,_1]上单调递增,在区间[_1,2]上单调递减,
所以f(x)在区间[/,2]上的最大值为f(-1)=9,最小值为f⑵=0•
⑵①当a<2时,f(x)在[/,-1]上单调递增,在[-1,6]上单调递减,
所以f(x)的最大值为9•
②当2调递增,在
号,6上单调递减,此时f(»9,f专二宁“
2,匚单
所以f(x)的最大值为9.
3当8:
:
:
a<10时,f(x)在[4,-1]上单调递增,在[-1,2]上单调递减,在
调递增,在
•专,6上单调递减.此时f
]Fa-2I
2r”1)