2020高考数学二轮复习专题讲练8-立体几何(空间几何体的三视图、表面积与体积)(最新-超经典).docx

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2020高考数学二轮复习专题讲练8立体几何（空间几何体的三视图、表面积与体积）（最新，超经典）

专题三　立体几何

小题增分专项1　空间几何体的三视图、表面积与体积

全国卷3年考情分析

考|题|细|目|表

年份

全国Ⅰ卷

全国Ⅱ卷

全国Ⅲ卷

2019

与三棱锥有关的球的体积·T12

空间几何体的结构特征与数学文化·T16

组合体的体积·T16

2018

空间几何体的三视图、直观图及最短路径问题·T7

圆锥的性质及侧面积的计算·T16

三视图与数学文化·T3

与外接球有关的空间几何体体积的最值问题·T10

2017

空间几何体的三视图与直观图、面积的计算·T7

三棱锥的体积·T16

空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4

球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T8

命|题|规|律

立体几何问题既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，保持“一小一大”或“两小一大”的格局，多以选择题或者填空题的形式考查空间几何体三视图的识别，空间几何体的体积或表面积的计算。

1．空间几何体的三视图

（1）几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等。

（2）由三视图还原几何体：

一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体。

2．空间几何体的两组常用公式

（1）柱体、锥体、台体的表面积公式：

①圆柱的表面积S＝2πr（r＋l）；

②圆锥的表面积S＝πr（r＋l）；

③圆台的表面积S＝π（r′2＋r2＋r′l＋rl）；

④球的表面积S＝4πR2。

（2）柱体、锥体和球的体积公式：

①V柱体＝Sh（S为底面面积，h为高）

②V锥体＝Sh（S为底面面积，h为高）；

③V球＝πR3。

考点一空间几何体的三视图与直观图

【例1】　

（1）（2019·河北唐山第一次摸底）已知某几何体的三视图如图所示（俯视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的表面积为（　　）

A．1－B．3＋

C．2＋D．4

解析　由三视图可知该几何体是一个以俯视图所示图形为底面的柱体，底面面积为1×1－＝1－，底面周长为1＋1＋＝2＋，柱体的高为1，所以该柱体的表面积为S＝2＋×1＝4，故选D。

答案　D

（2）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：

“今有倚壁外角堆米，下周九十尺，高十二尺。

”其意思为：

在屋外墙角处堆放米（其三视图如图所示），米堆底部的弧长为90尺，米堆的高为12尺。

圆周率约为3。

若将此堆米用草席盖上，则此草席的面积至少约为（计算结果保留整数，如≈23，≈23）（　　）

A．250平方尺 B．990平方尺

C．1035平方尺 D．518平方尺

解析　由三视图可知，米堆为圆锥的，其中，圆锥的高为12尺，底面圆的周长的为90尺。

设圆锥的底面半径为r，则×2πr＝90，由π≈3可得，r＝20。

所以圆锥的母线长为＝≈23（尺）。

易知草席的面积为圆锥的侧面积的，即××23×120＝×90×23＝1035（平方尺）。

故选C。

答案　C

识别三视图应注意以下几方面：

①看线型，是线段、虚线还是曲线，确定此几何体是简单多面体还是旋转体；②分部分，想整体，看是简单几何体还是组合体；③对比一些熟悉的三视图模型分析，如正方体、圆锥、三棱锥的三视图模型。

【变式训练1】　（2019·北京高考）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示。

如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________。

解析　如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，去掉四棱柱MQD1A1－NPC1B1（其底面是一个上底为2，下底为4，高为2的直角梯形）所得的几何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为43－×（2＋4）×2×4＝40。

答案　40

考点二空间几何体的表面积与体积

【例2】　

（1）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD为矩形，棱EF∥AB。

若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为（　　）

A．8 B．8＋8

C．6＋2 D．8＋6＋2

解析　如图所示，取BC的中点P，连接PF，则PF⊥BC，过F作FQ⊥AB，垂足为Q。

因为△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，且EF∥AB，所以四边形ABFE为等腰梯形，FP＝，则BQ＝（AB－EF）＝1，FQ＝＝，所以S梯形EFBA＝S梯形EFCD＝×（2＋4）×＝3，又S△ADE＝S△BCF＝×2×＝，S矩形ABCD＝4×2＝8，所以该几何体的表面积S＝3×2＋×2＋8＝8＋8。

故选B。

答案　B

（2）（2019·全国Ⅲ卷）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型。

如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm。

3D打印所用原料密度为0.9g/cm3。

不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g。

解析　由题易得长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144（cm3），四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即×6×4＝12（cm2），所以V四棱锥O－EFGH＝×3×12＝12（cm3），所以该模型的体积为144－12＝132（cm3），所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8（g）。

答案　118.8

（1）求几何体的表面积的方法

①求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点。

②求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积。

（2）求空间几何体体积的常用方法

公式法

直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算

等积法

根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等

割补法

把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体

【变式训练2】　

（1）（2019·天津高考）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为。

若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为______。

解析　由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为，易知四棱锥的高为＝2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为π×2×1＝。

答案　

（2）（2019·广州市综合测试）已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M－C1O1H的体积的最小值为________。

解析　V三棱锥M－C1O1H＝V三棱锥C1－MO1H＝×S△MO1H×h（h为C1到平面BDD1B1的距离），由已知可得C1O1⊥平面BDD1B1，又直四棱柱的所有棱长都为1，且∠ABC＝60°，所以A1B1C1D1是菱形，C1O1＝，所以V三棱锥M－C1O1H＝×××O1H×h′，其中h′为M到直线O1H的距离，O1H是定值，所以h′最小时，V三棱锥M－C1O1H最小。

如图，延长O1H交B1B于点F，交OB的延长线于点N，连接OO1，因为＝，所以＝，NO＝，NB＝，NO1＝＝，O1H＝×＝，M到直线O1H的距离的最小值即B到直线O1H的距离，NF＝＝＝，所以h′＝＝，所以（V三棱锥M－C1O1H）min＝××＝。

答案　

考点三多面体与球的切、接问题

增分考点　　广度拓展

考向1　外接球问题

【例3】　（2019·河北省九校联考）已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O的表面积为20π，则三棱柱的体积为（　　）

A．6 B．12

C．12 D．18

解析　设球O的半径为R，则由4πR2＝20π得R2＝5，由题意知，此三棱柱为正三棱柱，且底面三角形的外接圆与侧面的外接圆大小相同，故设三棱柱的底面边长为a，高为h，如图，取三角形ABC的中心O1，四边形BCC1B1的中心O2，连接OO1，OA，O2B，O1A，由题意可知，在Rt△AOO1中，OO＋AO＝AO2＝R2，即2＋2＝R2＝5　①，又AO1＝BO2，所以AO＝BO，即2＝2＋2　②，由①②可得a2＝12，h＝2，所以三棱柱的体积V＝h＝6。

故选A。

答案　A

解决多面体的外接球问题，关键是确定球心位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直于此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点情况确定球心的准确位置。

对于特殊的多面体还可以通过补成正方体或长方体的方法找到球心位置。

【变式训练3】　（2019·石家庄教学质量检测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD＝，则三棱锥P－AOB的外接球的体积是________。

解析　因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，即OA⊥OB。

因为PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AO，又OB∩PB＝B，所以AO⊥平面PBO，所以AO⊥PO，即△PAO是以PA为斜边的直角三角形。

因为PB⊥AB，所以△PAB是以PA为斜边的直角三角形，所以三棱锥P－AOB的外接球的直径为PA。

因为PB＝1，∠APB＝，所以PA＝2，所以三棱锥P－AOB的外接球的半径为1，所以三棱锥P－AOB的外接球的体积为。

答案　

考向2　内切球问题

【例4】　设正三棱锥P－ABC的高为H，且此三棱锥内切球的半径为R，若二面角P－AB－C的正切值为，则＝（　　）

A．5　　　B．6C．7　　　D．8

解析　取线段AB的中点D，设P在底面ABC内的射影为O，连接PD，OD。

设AB＝a，则OD＝a×＝a，易知∠PDC为二面角P－AB－C的平面角，所以tan∠PDC＝，所以PD＝6OD＝a。

设三棱锥的表面积为S，体积为V，则V＝SR，即×a2H＝××R，化简得＝7。

答案　C

解决多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径。

【变式训练4】　在三棱锥P－ABC中，侧棱PA＝PB＝2，PC＝，当三棱锥P－ABC的三个侧面的面积之和最大时，三棱锥P－ABC内切球的表面积是（　　）

A．（32－8）πB．（32－16）π

C．（40－8）πD．（40－16）π

解析　其中一个侧面的面积S△PAB＝×PA×PB×sin∠APB＝2sin∠APB，要使此面积最大，则∠APB＝90°。

同理可知，当PA，PB，PC两两垂直时，三棱锥P－ABC的三个侧面的面积之和最大。

设三棱锥的内切球的球心为O，则O到三棱锥的四个面的距离与球的半径r相等。

因为PA＝PB＝2，PC＝，所以BC＝AC＝，AB＝2，可得△ABC，△APC，△APB，△BPC的面积分别为4，，2，，所以V三棱锥P－ABC＝×（4＋＋2＋）·r＝×2×，解得r＝－2，所以内切球的表面积S＝（40－16）π。

答案　D

强|化|训|练

1．（2019·武昌区统考）已知正三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2，则球O的表面积为（　　）

A．10π　　　B．25πC．100π