归纳推理教案.docx
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归纳推理教案
归纳推理
教材依据
“归纳推理”是北京师范大学出版社出版的普通中学课程标准实验教科书数学（选修1－2）第三章第一节的内容。
教学目标：
1.知识与技能目标：
理解归纳推理的原理，并能运用解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：
通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”的理念。
3.情感、态度与价值观：
感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
教学重点：
归纳推理的原理
教学难点：
归纳推理的具体应用。
教法学法：
自主、合作探究教学
教学准备：
多媒体电脑、课件、空间多面体模型等
教学过程：
1.创设情景：
1．情景㈠：
苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”
思考：
整个过程对你有什么启发？
教师：
“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2．情景㈡：
陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：
任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。
如：
6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5,12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……
2.探求研究:
探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）
探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？
探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。
多面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
7
10
15
截角正方体
7
10
15
尖顶塔
9
9
16
教师指导，合作交流，归纳：
，
，
，F+V-E=2等等，其中“F+V-E=2”为“欧拉公式”。
3.概念讲解
结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。
定义：
根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理（简称归纳）.
说明：
归纳推理的作用：
发现新事实，获得新结论；
（2）归纳推理的一般步骤：
试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；
归纳推理的结论不一定成立。
4.例题解析
例1：
在数列
中，
猜想这个数列的通项公式？
解析：
先由学生计算：
归纳：
说明（学生完成）：
有整数和分数时,往往将整数化为分数；
当分子分母都在变化时,往往统一分子（或分母）,再寻找另一部分的变化规律.
例2、（拓展）问：
如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小？
试猜测结论。
教师：
设定任务一：
常见多边形面积一定时，计算其周长；
任务二：
归纳、猜想一般性结论。
边形
3
4
6
8
最小
周长
4．56
4
3．72
3．64
推广观察归纳
计算猜想
5.分层练习：
1．由“铜、铁、铝、金等金属能导电”，你能归纳出什么结论？
2．观察下列式子，归纳结论：
，
，
………………
问：
3．右图中5个图形及相应点的个数
的变化规律,试猜测第n个图形中有
点；
4．已知数列
中，
，试归纳这个数列的通项公式。
答案：
1．金属导电;2．
;
3．
;4．
.
6.课时小结（师生共同）
1什么是归纳推理?
2归纳推理的一般步骤：
试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明。
布置作业：
习题3－1P571，2
（补充）：
拓展延伸：
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯；
2.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征：
⑴火星也绕太阳运行，绕轴自转的行星；⑵有大气层,在一年中也有季节变更；
⑶火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等；
科学家猜想;火星上也可能有生命存在。
说明：
以上两练习使用的是类比推理。
目的是知识上承上启下，把本节知识延伸，既拓宽了学生视野，也为下一节“类比推理”的教学作了铺垫。
教后反思：
⑴要实现数学新知识的建构学习，教师要创设适当的情境，情境应符合实际.包括生活场景的实际，数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等。
⑵学生通过“经历”，“体会”，“感受”，最后形成概念的过程学习，充分体现了以学生为本的现代教育观；同时练习和作业的分层设计尽量满足多样化的学习需求做到因材施教，促进全体的参与。
附：
板书设计
归纳推理
创设情景概念讲解分层练习
探求研究例1小结，作业
例2思考交流
222222222222
求助编辑百科名片
所谓归纳推理,就是从个别性知识推出一般性结论的推理.
定义
归纳推理和演绎推理的关系
1.区别
2.联系
收集经验材料的方法
1.观察
2.实验
整理经验材料的方法
1.比较
2.分析与综合
3.抽象与概括
完全归纳推理
1.概念
2.例子
3.作用
不完全归纳推理
1.概念
2.简单枚举归纳推理
3.科学归纳推理
概率推理
1.计算概率值的定义
2.归纳推理的法律含义
定义
归纳推理和演绎推理的关系
1.区别
2.联系
收集经验材料的方法
1.观察
2.实验
整理经验材料的方法
1.比较
2.分析与综合
3.抽象与概括
完全归纳推理
1.概念
2.例子
3.作用
不完全归纳推理
1.概念
2.简单枚举归纳推理
3.科学归纳推理
概率推理
1.计算概率值的定义
2.归纳推理的法律含义
展开
编辑本段定义
所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，[1]
例如:
直角三角形内角和是180度；锐角三角形内角和是180度；钝角三角形内角和是180度；直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形；所以，一切三角形内角和都是180度。
这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180度这些个别性知识，推出了"一切三角形内角和都是180度"这样的一般性结论，就属于归纳推理。
传统上，根据前提所考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。
完全归纳推理考察了某类事物的全部对象，不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象。
并进一步根据前提是否揭示对象与其属性间的因果联系，把不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。
现代归纳逻辑则主要研究概率推理和统计推理。
归纳推理的前提是其结论的必要条件。
首先,归纳推理的前提必须是真实的，否则，归纳就失去了意义。
其次,归纳推理的前提是真实的，但结论却未必真实，而可能为假。
如根据某天有一只兔子撞到树上死了，推出每天都会有兔子撞到树上死掉，这一结论很可能为假，除非一些很特殊的情况发生，比如地理环境中发生了什么异常使得兔子必以撞树为快。
我们可以用归纳强度来说明归纳推理中前提对结论的支持度。
支持度小于50%的，则称该推理是归纳弱的；支持度小于100%但大于50%的，称该推理是归纳强的；归纳推理中只有完全归纳推理前提对结论的支持度达到100%，支持度达到100%的是必然性支持。
归纳推理的数理逻辑通用演算形式为：
s1⊆p+s2⊆p+s3⊆p+〈n〉（s⊆p）=∀×（s⊆p）。
编辑本段归纳推理和演绎推理的关系
归纳推理和演绎推理既有区别、又有联系。
区别
1,思维进程不同。
归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程。
演绎推理不是从个别到一般的推理，但也不仅仅是从一般到个别的推理：
演绎推理可以从一般到一般，比如从"一切非正义战争都是不得人心的"推出"一切非正义战争都不是得人心的"；可以从个别到个别，比如从"罗吉尔·培根不是那个建立新的归纳逻辑学说的培根"推出"那个建立新的归纳逻辑学说的培根不是罗吉尔·培根"；可以从个别和一般到个别，比如从"这个物体不导电"和"所有的金属都导电"推出"这个物体不是金属"；还可以从个别和一般到一般，比如从"你能够胜任这项工作"和"有志者事竟成或者你不能够胜任这项工作"推出"有志者事竟成"。
在这里，应当特别注意的是，归纳推理中的完全归纳推理其思维进程既是从个别到一般，又是必然地得出。
2,对前提真实性的要求不同。
演绎推理不要求前提必须真实，归纳推理则要求前提必须真实。
3,结论所断定的知识范围不同。
演绎推理的结论没有超出前提所断定的知识范围。
归纳推理除了完全归纳推理，结论都超出了前提所断定的知识范围。
4,前提与结论间的联系程度不同。
演绎推理的前提与结论间的联系是必然的，也就是说，前提真实，推理形式正确，结论就必然是真的。
归纳推理除了完全归纳推理前提与结论间的联系是必然的外，前提和结论间的联系都是或然的，也就是说，前提真实，推理形式也正确，但不能必然推出真实的结论。
联系
1,演绎推理如果要以一般性知识为前提，（演绎推理未必都要以一般性知识为前提）则通常要依赖归纳推理来提供一般性知识。
2,归纳推理离不开演绎推理。
其一，为了提高归纳推理的可靠程度，需要运用已有的理论知识，对归纳推理的个别性前提进行分析，把握其中的因果性，必然性，这就要用到演绎推理。
其二，归纳推理依靠演绎推理来验证自己的结论。
例如，俄国化学家门捷列夫通过归纳发现元素周期律，指出,元素的性质随元素原子量的增加而呈周期性变化。
后用演绎推理发现，原来测量的一些元素的原子量是错的。
于是，他重新安排了它们在周期表中的位置，并预言了一些尚未发现的元素，指出周期表中应留出空白位置给未发现的新元素。
逻辑史上曾出现两个相互对立的派别——全归纳派和全演绎派。
全归纳派把归纳说成唯一科学的思维方法，否认演绎在认识中的作用。
全演绎派把演绎说成是唯一科学的思维方法，否认归纳的意义。
这两种观点都是片面的。
正如恩格斯所说：
"归纳和演绎,正如分析和综合一样,是必然相互联系着的。
不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。
"
编辑本段收集经验材料的方法
归纳推理要以个别性知识为前提，为了获得个别性知识，就必须收集经验材料，收集经验材料的方法有观察，实验等。
观察
这里所说的"观察"是"科学的观察"的简称。
一般来说，人们把外界的自然信息通过感官输入大脑，经过大脑的处理，形成对外界的感知，就是观察。
然而，盲目的、被动的感受过程不是科学的观察。
科学的观察是在一定的思想或理论指导下，在自然发生的条件下进行（不干预自然现象）但有目的的，主动的观察。
科学的观察往往不是单纯地靠眼耳鼻舌身五官去感受自然界所给予的刺激，而要借助一定的科学仪器去考察，描述和确认某些自然现象的自然发生。
观察要遵循客观性原则，对客观存在的现象应如实观察。
如果观察失真，便不能得到真实可靠的结论。
但是，说观察要遵循客观性原则，并不是说在观察时应当不带有任何理论观点。
理论总是不同程度地渗透在观察之中。
提出观察要客观，是要求用正确的理论来观察事物，以免产生主观主义。
理论对观察的渗透，说明了主体在观察中的能动作用。
氧的发现过程生动地体现了理论对观察的作用。
1774年8月，英国科学家普利斯特里在用聚光透镜加热氧化汞时得到了氧气，他发现物质在这种气体里燃烧比在空气中更强烈，由于墨守陈旧的燃素说，他称这种气体为"脱去燃素的空气"。
1774年，法国著名的化学家拉瓦锡正在研究磷、硫以及一些金属燃烧后质量会增加而空气减少的问题，大量的实验事实使他对燃素
拉瓦锡
理论发生了极大怀疑。
正在这时，普利斯特里来到巴黎，把他的实验情况告诉了拉瓦锡，拉瓦锡立刻意识到他的英国同事的实验的重要性。
他马上重复了普利斯特里的实验，果真得到了一种支持燃烧的气体，他确定这种气体是一种新的元素。
1775年4月拉瓦锡向法国巴黎科学院提出报告——金属在煅烧时与之相化合并增加其重量的物质的性质——公布了氧的发现。
实际上,在普利斯特里发现氧气之前，瑞典化学家舍勒也曾独立地发现了氧气，但他把这种气体称为"火空气"。
氧的发现过程正如恩格斯在《资本论》第二卷序言中所说的：
"普利斯特里和舍勒已经找出了氧气，但不知道他们找到的是什么。
他们不免为现有燃素范畴所束缚。
这种本来可以推翻全部燃素观点并使化学发生革命的元素，没有在他们手中结下果实.……（拉瓦锡）仍不失为氧气的真正发现者，因为其他两位不过找出了氧气，但一点儿也不知道他们自己找出了什么。
"
当对象的性质使人们难以实际作用于对象（比如在天文学研究中）或者研究对象的特点要求避免外界干扰（如在许多心理学的研究中）时，最适用的收集经验材料的方法就是观察了。
观察方法有一定局限性：
（1）观察只能使我们看到现象，却看不到本质。
现象是事物的外部联系和表面特征，是事物的外在表现。
本质是事物的内部联系，是事物内部所包含的一系列必然性，规律性的综合。
恩格斯说：
"单凭观察所得到的经验,是决不能充分证明必然性的。
"
（2）观察有时无法区分真相与假象。
比如，由于地球在运动，所以我们在地球上观察恒星的相互位置，好像发生了很大的变化，这在天文学上称为"视运动"，可是视运动并不是天体的真实运动。
实验
实验是人们应用一定的科学仪器，使对象在自己的控制之下，按照自己的设计发生变化，并通过观察和思索这种变化来认识对象的方法。
实验的特点是：
（1）具有简化和纯化的特点。
通过对影响某一对象的各种因素进行简化和纯化，突出主要因素，舍弃次要因素,排除与对象没有本质联系的因素的干扰,达到在比较单纯的状态下来认识对象。
比如为研究某一植物在某一条件下对具有一定酸碱度的土壤的适应情况,在实验室中人为地控制大自然对植物生态的影响,只就酸碱度这一特定的因素进行考察.
（2）具有强化条件的特点.通过实验,可以使对象处于一些特殊条件，极端状态下（如超高温,超高压,超真空和超强磁场等）,使研究对象的特殊性质凸显出来,从而达到认识对象的特殊性质的目的.1956年杨振宁和李政道提出弱相互作用下宇称不守恒假说.为了检验这个假说,吴健雄用了钴-60作为实验材料进行实验.可是,在常温下钴-60本身的热运动和自旋方向杂乱无章,无法进行实验.于是吴健雄把钴-60冷却到0.01K,使钴核的热运动停止,实验便达到了预期效果.
（3）具有可重复性.任何一个实验事实,应该能被重复实现,否则便不能成立,这是科学活动的一个规矩.例如,1974年10月初,丁肇中在美国通过实验证明了1/4粒子的存在,同年10月15日在西欧重复了这个实验,马上找到了1/4粒子,这就证明了丁肇中的实验是成功的.
编辑本段整理经验材料的方法
通过观察,实验等方法得到的经验材料,需要经过加工整理,才能形成科学的结论.整理经验材料的方法有比较,归类,分析与综合以及抽象与概括等.
比较
比较是确定对象共同点和差异点的方法.通过比较,既可以认识对象之间的相似,也可以了解对象之间的差异,从而为进一步的科学分类提供基础.运用比较方法,重要的是在表面上差异极大的对象中识"同",或在表面上相同或相似的对象中辨"异".正如黑格尔所说:
"假如一个人能看出当前即显而易见的差别,譬如,能区别一支笔和一头骆驼,我们不会说这人有了不起的聪明.同样,另一方面,一个人能比较两个近似的东西,如橡树和槐树,或寺院与教堂,而知其相似,我们也不能说他有很高的比较能力.我们所要求的,是要能看出异中之同和同中之异."①
在进行比较时必须注意以下两点:
（1）要在同一关系下进行比较.也就是说,对象之间是可比的.如果拿不能相比的东西来勉强相比,就会犯"比附"的错误.比如,木之长是空间的长度,夜之长是时间的长度,二者不能比长短.
（2）选择与制定精确的,稳定的比较标准.比如,在生物学中广泛使用生物标本,地质学中广泛使用矿石标本,用它们来证认不同品种的生物和矿石.这些标本就是比较的标准.现在研究陨石或登月采集的月岩物质,也是将它们同地球上的矿石标本比较.
（3）要在对象的实质方面进行比较.例如比较两位大学生谁更优秀,必须就他们的思想品德,学习成绩,实践能力等实质方面进行比较,而不是就性别,籍贯,家庭贫富等方面进行比较.
归类 归类是根据对象的共同点和差异点,把对象按类区分开来的方法.通过归类,可以使杂乱无章的现象条理化,使大量的事实材料系统化.归类是在比较的基础上进行的.通过比较,找出事物间的相同点和差异点,然后把具有相同点的事实材料归为同一类,把具有差异点的事实材料分成不同的类.如全世界40万种左右植物,可把它们归为四大类（门）:
藻菌植物门,苔藓植物门,蕨类植物门和种子植物门.由门再往下分可以得出纲,目,科,属,种各级单位.
归类与词项的划分是有区别的.
（1）思维进程的方向不同.词项的划分是从较大的类,划分出较小的类.而归类则相反,它是从个体开始,上升到类,再上升到一般性更大的类.
（2）作用不同.词项的划分是为了明确词项.归类则是把占有的材料系统化的方法.更为重要的是,由于正确的分类系统反映了事物的本质特征和内部规律性的联系,因而具有科学的预见性,能够指导人们寻找或认识新的具体事物.例如,以达尔文生物进化论为基础建立起来的生物自然分类系统,曾预言了许多当时尚未发现的过渡性生物.始祖鸟就是达尔文所预言并被人找到的一种.始祖鸟是介于爬虫类和鸟类之间的中间类型.它把这两类动物之间的空隙填补起来了,说明鸟类是由爬虫类演变而来的.
分析与综合
分析就是将事物"分解成简单要素".综合就是"组合,结合,凑合在一起".也就是说,将事物分解成组成部分,要素,研究清楚了再凑合起来,事物以新的形象展示出来.这就是采用了分析与综合的方法.如,分析一篇英文文章的结构,先是得到句子,单词,最后得到26个字母;反过来,综合是由字母组成单词,句子,再由句子组成文章,这些是文法所要研究的题材.再如,白色的光经过三棱镜,分解成红橙黄绿青蓝紫七色光;反过来,七色光又合成白色光.这就是光谱的分析与综合,由此可以解释彩虹的成因.分析和综合是两种不同的方法,它们在认识方向上是相反的.但它们又是密切结合,相辅相成的.一方面,分析是综合的基础;另一方面,分析也依赖于综合,没有一定的综合为指导,就无从对事物作深入分析.
抽象与概括
抽象是人们在研究活动中,应用思维能力,排除对象次要的,非本质的因素,抽出其主要的,本质的因素,从而达到认识对象本质的方法.
概括是在思维中把对象本质的,规律性的认识,推广到所有同类的其他事物上去的方法.如发现"能导电"这一"金属"的共同本质后,可把这种共同的本质推广到全部金属上去,概括出全部金属都具有"能导电"的本质属性.
编辑本段完全归纳推理
概念
完全归纳推理是根据某类事物每一对象都具有某种属性,从而推出该类事物都具有该种属性的结论.
例子
例如:
"已知欧洲有矿藏,亚洲有矿藏,非洲有矿藏,北美洲有矿藏,南美洲有矿藏,大洋洲有矿藏,南极洲有矿藏,而欧洲,亚洲,非洲,北美洲,南美洲,大洋洲,南极洲是地球上的全部大洲,所以,地球上所有大洲都有矿藏."其逻辑形式如下:
S1是P
S2是P
……
Sn是P
S1,S2,…,Sn是S类的全部对象
所以,所有S都是P
完全归纳推理的特点是:
在前提中考察了一类事物的全部对象,结论没有超出前提所断定的知识范围,因此,其前提和结论之间的联系是必然的.
运用完全归纳推理要获得正确的结论,必须满足两条要求:
（1）在前提中考察了一类事物的全部对象.
（2）前提中对该类事物每一对象所作的断定都是真的.
作用
完全归纳推理有两个方面的作用:
（1）认识作用.完全归纳推理根据某类事物每一对象都具有某种属性,推出该类事物都具有该种属性,使人们的认识从个别上升到了一般.比如,上面根据"地球上的大洲"这一类事物的每个对象都有"有矿藏"这一属性,得出"地球上所有大洲都有矿藏"的结论,就体现了完全归纳推理的认识作用.
（2）论证作用.因为完全归纳推理的前提和结论之间的联系是必然的,所以常被用作强有力的论证方法.比如对于论题"两个特称前提的三段论推不出结论",可以这样论证:
前提是II的三段论推不出结论,前提是OO的三段论推不出结论,前提是IO（OI）的三段论推不出结论,前提是II的三段论,前提是OO的三段论,前提是IO（OI）的三段论是两个特称前提的三段论的全部对象,所以,两个特称前提的三段论推不出结论.
完全归纳推理通常适用于数量不多的事物.当所要考察的事物数量极多,甚至是无限的时候,完全归纳推理就不适用了,而需要运用另一种归纳推理形式,即不完全归纳推理.
编辑本段不完全归纳推理
概念
不完全归纳推理是根据某类事物部分对象都具有某种属性,从而推出该类事物都具有该种属性的结论.不完全归纳推理包括简单枚举归纳推理,科学归纳推理.
简单枚举归纳推理
在一类事物中,根据已观察到的部分对象都具有某种属性,并且没有遇到任何反例,从而推出该类事物都具有该种属性的结论,这就是简单枚举归纳推理.比如,被誉为"数学王冠上的明珠"的"哥德巴赫猜想"就是用了简单枚举归纳推理提出来的.200多年前,德国数学家哥德巴赫发现,一些奇数都分别等于三个素数之和.例如:
17=3+3+11
41=11+13+17
77=7+17+53
461=5+7+449
哥德巴赫并没有把所有奇数都列举出来（事实上也不可能）,只是从少数例子出发就提出了一个猜想:
所有大于5的奇数都可以分解为三个素数之和.他把这个猜想告诉了数学家欧拉.欧拉肯定了他的猜想,并补充提出猜想:
大于4的偶数都可以分解为两个素数之和.例如:
10=5+5
14=7+7
18=7+11
462=5+457
前一个命题可以从这个命题得到证明,这两个命题后来合称为"哥德巴赫猜想".
民间的许多谚语,如"瑞雪兆丰年","础润而雨,月晕而风","鸟低飞,披蓑衣"等,都是根据生活中多次重复的事例,用简单枚举归纳推理概括出来的.
简单枚举归纳推理的逻辑形式如下:
S1是P
S2是P
……
Sn是P
S1,S2,…,Sn是S类的部分对象,并且其中没有S不是P
所以,所有S是（或不是）P
简单枚举归纳推理的结论是或然的,因为其结论超出了前提所断定的知识范围.数学家华罗庚在《数学归纳法》一书中,对简单枚举归纳推理的或然性做了很好的说明:
"从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球,第二个是红玻璃球,甚至第三个,第四个,第五个都是红玻璃球时,我们立刻就会猜想:
'是不是袋子里所有的球都是红玻璃球'但是,当我们有一次摸出一个白玻璃球时,这个猜想失败了.这时,我们会出现另一个猜想:
'是不是袋里的东西全都是玻璃球'当有一次摸出一个木球时,这个猜想又失败了.那时,我们又会出现第三个猜想:
'是不是袋里的东西都是球'这个猜想对不对,还必须继续加以检验,要把袋里的东西全部摸出来,才能见个分晓."①
要提高简单枚举归纳推理的可靠性,必须注意以下两条要求:
（1）枚举的数量要足够多,考察的范围要足够广.
（2）考察有无反例.通常把不注意以上两条要求因而样本过少,结论明显
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