第五讲同余的概念和性质.docx
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第五讲同余的概念和性质
第五讲同余的概念和性质
你会解答下面的问题吗？
问题1：
今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？
这个问题并不难答，因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15=7×2＋1，所以“六·一”儿童节是星期一。
问题2：
1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？
这个问题也难不倒我们。
因为，1993年有365天，而365=7×52＋1，所以，1994年的元旦应该是星期六。
问题1、2的实质是求用7去除一总的天数后所得的余数。
在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题。
这样就产生了“同余”的概念。
如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。
余同定义：
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：
a≡b（modm）（*）
上式可读作：
a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≥b）:
a－b=mk，k是整数，即m︱（a－b）.
例如：
①15≡365（mod7），因为365－15=350=7×50。
②56≡20（mod9），因为56－20=36=9×4。
③90≡0（mod10），因为90－0=90=10×9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：
a≡0（modm）.
例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0（mod2）
表示b是一个奇数，可以写b≡1（mod2）
补充定义：
若m不能整除（a－b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：
a
b（modm）
我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似。
同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。
性质1：
a≡a（modm），（反身性）
这个性质很显然，因为a－a=0=m·0.
性质2：
若a≡b（modm），那么b≡a（modm），（对称性）。
性质3：
若a≡b（modm），b≡c（modm），那么a≡c（modm），（传递性）。
性质4：
若a≡b（modm），c≡d（modm），那么a±c≡b±d（modm），（可加减性）。
性质5：
若a≡b（modm），c≡d（modm），那么ac≡bd（modm），（可乘性）。
性质6：
若a≡b（modm），那么an≡bn（modm），（其中n为非0自然数）。
性质7：
若ac≡bc（modm），（c，m）=1，那么a≡b（modm）。
注意：
同余式性质7的条件（c，m）=1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。
例如6≡10（mod4），而3
5（mod4），因为（2，4）≠1。
请你自己举些例子验证上面的性质。
同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。
例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？
解：
∵288-214=74=37×2，∴288≡214（mod37）.
∵74-20=54，而37
54，∴74
20（mod37）.
例2求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
若先求乘积，再求余数，计算量太大。
利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。
解：
∵418≡2（mod13），814≡8（mod13），1616≡4（mod13）,
∴根据同余的性质5可得：
418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）.
答：
乘积418×814×1616除以13余数是12。
例3求14389除以7的余数。
分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小。
这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。
解法1：
∵143≡3（mod7），∴14389≡389（mod7）.
∵89=64＋16＋8＋1，
而32≡2（mod7）
34≡4（mod7）
38≡16≡2（mod7）
316≡4（mod7）,
332≡16≡2（mod7）,
364≡4（mod7）.
∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod7）,
∴14389≡5（mod7）.
答：
14389除以7的余数是5。
解法2：
证得14389≡389（mod7）后，
36≡32×34≡2×4≡1（mod7）,
∴384≡（36）14≡1（mod7）,
∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod7）.
∴14389≡5（mod7）.
例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去。
请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？
分析与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次。
而1小时=60分钟=120×30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数。
因为120≡0（mod4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。
例5设自然数
，其中
、
、
、…、
分别是个位、十位、…上的数码，再设
，求证：
N≡M（mod9）.
证明：
∵
=
=
又∵1≡1（mod9）,
10≡1（mod9）,
102≡1（mod9）,
…
10n≡1（mod9）.
上面这些同余式两边分别同乘以
、
、
、…、
，再相加得：
≡
（mod9），
即N≡M（mod9）.
这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
例如，求1827496被9除的余数，只要先求（1＋8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的余数。
再观察一下上面求和式，我们可以发现，和不一定要求出。
因为和式中1＋8，2＋7，9被9除都余0，求余数时可不予考虑。
这样只需求4＋6被9除的余数。
因此，1827496被9除余数是1。
有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：
弃九法。
弃九法最经常地是用于乘法。
我们来看一个例子：
用弃九法检验乘式5483×9117=49888511是否正确？
因为5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2（mod9）,
9117≡9＋1＋1＋7≡0（mod9），
所以5483×9117≡2×0≡0（mod9）.
但是49888511≡4＋9＋8＋8＋8＋5＋1＋1≡8（mod9），
所以5483×9117≠49888511，即乘积不正确。
要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如，9875≡9＋8＋7＋5≡2（mod9），
4873≡4＋8＋7＋3≡4（mod9），
32475689≡3＋2＋4＋7＋5＋6＋8＋9≡8（mod9），
这时，9875×4873≡2×4≡32475689（mod9）。
但观察个位数字立刻可以判定9875×4873≠32475689，因为末位数字5和3相乘不可能等于9。
弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。
例6用弃九法检验下面的计算是否正确：
23372458÷7312=3544。
解：
把除式转化为：
3544×7312=23372458
∵3544≡3＋5＋4＋4≡7（mod9），
7312≡7＋3＋1＋2≡4（mod9），
∴3544×7312≡7×4≡1（mod9）.
但23372458≡2＋3＋3＋8≡7（mod9），
而1
7（mod9）
∴3544×7312≠23372458,
即23372458÷7312≠3544。
例7求自然数2100＋3101＋4102的个位数字。
分析求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。
解：
∵2100≡24×25≡625≡6（mod10），
3101≡34×25·31≡125·31≡3（mod10），
4102≡42≡6（mod10），
∴2100＋3101＋4102≡6＋3＋6≡5（mod10），
即自然数2100＋3101＋4102的个位数字是5。
习题五
1，验证对于任意整数a、b，式子：
a≡b（mod1）成立，并说出它的含义。
2，已知自然数a、b、c，其中c≥3，a除以c余1，b除以c余2，则ab除以c余多少？
3，1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？
4，求33335555＋55553333被7除的余数。
5，所有自然数如下图排列，问300位于哪个字母下面？
ABCDEFG
1234
765
891011
141312
151617…
6，数111…1（1993个1）被13除余多少？
[提示：
先试除，可知13︱111111，而1993≡1（mod6）]。
7，用弃九法检验下面运算是否正确：
（1）845×372=315340；
（2）12345×67891=838114385；
（3）1144192613÷28997=39459。
8，求1993100的个位数字。
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