湖北省武汉市武昌区普通高中届高三毕业班元月调研质量检测数学试题及答案.docx
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湖北省武汉市武昌区普通高中届高三毕业班元月调研质量检测数学试题及答案
绝密★启用前
湖北省武汉市武昌区普通高中
2021届高三毕业班上学期元月调研质量检测
数学试题
2021年1月
注意事项：
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x2-3x-4≤0},B={x|2x>8},那么集合A∩B=
A.（3,+∞）B.[-1,+∞）C.[3,4]D.（3,4]
2.已知i是虚数单位,复数,则复数z在复平面内对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知tana=2,则
A.2B.C.-2D.-
4.甲、乙、丙、丁四位同学组成的数学学习小组进行了一次小组竞赛,共测试了5道题,每位同学各题得分情况如下表：
下列说法正确的是
A.甲的平均得分比丙的平均得分高
B.乙的得分极差比丁的得分极差大
C.对于这4位同学,因为第4题的平均得分比第2题的平均得分高,所以第4题相关知识一定比第2题相关知识掌握好
D.对于这4位同学,第3题得分的方差比第5题得分的方差小
5.物理学规定音量大小的单位是分贝（dB）,对于一个强度为1的声波,其音量的大小7可由如下公式计算：
（其中I.是人耳能听到声音的最低声波强度）。
我们人类生活在一个充满声音的世界中,人们通过声音交换信息、交流情感,人正常谈话的音量介于40dB与60dB之间,飞机起飞时的音量约为120dB,则120dB声音的声波强度I1是40dB声音的声波强度I2的
A.3倍B.103倍C.106倍D.10倍
6.已知,,则
A.b7.学校举行羽毛球混合双打比赛,每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生A1,A2,A3和A4名女生B1,B2,B3,B4中各随机选出两名,把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,则A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为
A.B.C.D.
8.已知三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的表面上,PA⊥底面ABC,AB⊥AC,AB=6,AC=8,D是线段AB上一点,且AD=2DB.过点D作球O的截面,若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π,则球O的表面积为
A.128πB.132πC.144πD.156π
二、选择题：
本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.右图是函数y=cos（ωx+φ）的部分图象,则cos（ωx+φ）=
A.sin（2x+）
B.cos（-2x+）
C.cos（2x+）
D.sin（2x+）
10.已知a>0,b>0,且a+b=1,则
A.B.a2+b2≥
C.D.log2a+log2b≤-2
11.已知曲线C的方程为,则
A.当k=5时,曲线C是半径为2的圆
B.当k=0时,曲线C为双曲线,其渐近线方程为y=
C.存在实数k,使得曲线C是离心率为的双曲线
D.“k>1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件
12.如图所示,在凸四边形ABCD中,对边BC,AD的延长线交于点E,对边AB,DC的延长线交于点F,若,,则
A.B.λμ=
C.的最大值为1D.
三、填空题：
本题共4小题,每小题5分,共20分．
13.二项式的展开式中,常数项为。
（用数字作答）
14.已知过抛物线y2=-2x的焦点F,且斜率为的直线与抛物线交于A,B两点,则=.
15.《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著,与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉。
《九章算术》卷五记载：
“今有刍甍（音：
）,下广三丈,表四丈,上袤二丈,无广,高一丈。
问积几何？
”译文：
今有如图所示的屋脊状楔体PQ-ABCD,下底面ABCD是矩形,假设屋脊没有歪斜,即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O,PQ//AB,AB=4,AD=3,PQ=2,OR=1（长度单位：
丈）.则楔体PQ-ABCD的体积为（体积单位：
立方丈）
16.设函数f（x）=－t（x+2lnx+）恰有两个极值点,则实数t的取值范围为.
四、解答题：
本题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
在①2a-b=2ccosB,②S=（a2+b2-c2）,③sin（A+B）=1+2这三个条件中任选一个,补充在下面的横线处,然后解答问题。
在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设ΔABC的面积为S,已知.
（1）求角C的值；
（2）若b=4,点D在边AB上,CD为LACB的平分线,ΔCDB的面积为,求a的值。
注：
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。
18.（12分）
已知｛an}是等差列,a1=2,a3=6.
（1）求｛an}的通项公式；
（2）设,求数列｛bn}的前10项和T10.
19.（12分）
在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,BC//AD,
∠ADC=90°,BC=CD=AD=1,PA=PD,E,F分别为AD,PC的中点．
（1）求证：
PA//平面BEF;
（2）若PC与AB所成角为45°,求二面角F-BE-A的余弦值．
20.（12分）
设P是椭圆C:
＝1（a>b>0）上异于长轴顶点A1,A2的任意一点,过P作C的切线与分别过A1,A2的切线交于B1,B2两点,已知|A1A2|=4,椭圆C的离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）以B1B2为直径的圆是否过x轴上的定点？
如果过定点,请予以证明,并求出定点；如果不过定点,说明理由。
21.（12分）
公元1651年,法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B.Pascal）提请了一一个问题,帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题,后来惠更斯（C.Huygens）也加入了讨论,这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答。
该问题如下：
设两名赌徒约定谁先赢k（k>1,k∈N*）局,谁便赢得全部赌注a元．每局甲赢的概率为p（0赌注该怎么分才合理？
这三位数学家给出的答案是：
如果出现无人先赢k局则赌博意外终止的情况,甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比P甲:
P乙分配赌注。
（1）规定如果出现无人先赢k局则赌博意外终止的情况,甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比P甲:
P乙分配赌注．若a=243,k=4,m=2,n=1,p=,则甲应分得多少赌注？
（2）记事件A为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”,试求当k=4,m=2,n=1时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率f（p）,并判断当p≥时,事件A是否为小概率事件,并说明理由。
规定：
若随机事件发生的概率小于0.05,则称该随机事件为小概率事件．
22.（12分）
已知函数f（x）=xlnx-x2+（a-1）x（a∈R）.
（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；
（2）若函数f（x）有两个极值点x1,x2,证明：
f（x1）+f（x2）>2a-3.
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数学试题参考答案
2021年1月
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
D
D
D
C
B
二、选择题：
题号
9
10
11
12
答案
CD
ABCD
ABD
ABD
三、填空题：
13.6014.15.516.
四、解答题：
17．（10分）
解：
（1）若选①：
则由正弦定理得
即,
∵,∴,则．…………………（4分）
若选②：
则,
化简得，∴．…………………（4分）
若选③：
，则有，
化简得，所以，故.…………………（4分）
（2）在中，，
所以，
.①
又.②
由①②，或（舍）.
.…………………（10分）
18．（12分）
解：
（1）设等差数列的公差为，由条件得，解得.
故.…………………（4分）
（2）由
（1）可知，其中
故的前项和
.…（12分）
19．（12分）
解：
（1）证明：
连接AC交BE于O，并连接EC，FO，
，为中点，AE//BC，且AE=BC.
四边形ABCE为平行四边形，O为AC中点，
又F为AD中点，，
，
//平面.…………………（4分）
（2）方法一：
（综合法）
由BCDE为正方形可得.
由ABCE为平行四边形可得//.
为，即.
.
侧面底面侧面底面平面，
，，.…………………（8分）
取中点，连.
，，
平面，的平面角.
又，.
所以二面角的余弦值为．…………………（8分）
方法二：
（空间向量法）建议给分标准：
①建系正确，设（求）点的坐标正确，2分；②利用线面角求出线段长正确，2分；
③求法向量正确，2分；④求余弦并给出结论正确，2分
20．（12分）
解：
（1）由题可知，解得，由得，
椭圆的方程为.…………………（4分）
（2）设，由于是异于长轴顶点的任意一点，故切线斜率存在.
设过的椭圆的切线为，联立方程，
得，，
结合，解得过点的切线方程为.
由于分别过的切线分别为，
解得的坐标为.
在轴上取点，则，，
所以.
当时，.
所以，以为直径的圆过轴上的定点为.…………………（12分）
21．（12分）
解：
（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢.
由题意知，最多再进行4局，甲乙必然有人赢得全部赌注.
当时，甲以4﹕1赢，所以；
当时，甲以4﹕2赢，所以；
当时，甲以4﹕3赢，所以.
所以，甲赢的概率为.
所以，甲应分得的赌注为元.…………………（6分）
（2）设赌博继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢.
当时，乙以以4﹕2赢，；
当时，乙以以4﹕3赢，；
所以，乙赢得全部赌注的概率为.
于是甲赢得全部赌注的概率.
求导，.
因为，所以，所以在上单调递增，
于是.
故乙赢的概率为，故事件不是小概率事件.…（12分）
22．（12分）
解：
（1），.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
当时，有极大值，.
当时，，在上单调递减，此时无极值；
当时，.
，
易证，时，，所以，，，
故存在，满足，.
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，单调递减.
在处有极小值，在处有极大值．
综上所述，当时，没有极值点；当时，有2个极值点．………（6分）
（2）由
（1）可知当且仅当时有极小值和极大值，.
先证：
.
由，得，即.
下证，即证（以下略）
所以，所以.
因为，，所以.
因为时，单调递增，所以，
所以.
再证：
.
设，因为，
所以，
所以，故在上单调递增.
又，所以时，，在上单调递减.
所以时，.
所以.……………（12分）
另法：
（1）证
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