高中数学必修四北师大版 33二倍角的三角函数3 作业 含答案.docx
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高中数学必修四北师大版33二倍角的三角函数3作业含答案
双基限时练（二十八） 二倍角的三角函数
（一）
一、选择题
1．已知cos2α＝
，则sin2α＝（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 ∵cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝
＝
＝
.
答案 D
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（ ）
A．－
B．－
C.
D.
解析 角θ的终边在直线y＝2x上，∴sinθ＝±
.∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－
＝－
.
答案 B
3．函数f（x）＝2sinxcosx是（ ）
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析 f（x）＝2sinxcosx＝sin2x，周期为π的奇函数．
答案 C
4．已知sinθ＋cosθ＝
，
≤θ≤
π，则cos2θ的值为（ ）
A.
B．±
C．－
D.
解析 ∵sinθ＋cosθ＝
，得sin2θ＝－
.
又
≤θ≤
π，∴π≤2θ≤
π，
∴cos2θ＝－
＝－
.
答案 C
5．若tan
＝2，则
＝（ ）
A．－
B.
C.
D．－
解析 原式＝
＝tanα－
.
由tan
＝2，得
＝2，
得tanα＝
，∴原式＝
－
＝－
.
答案 A
6．已知sin
＝
，则cos
的值是（ ）
A．－
B．－
C.
D.
解析 cos
＝－cos
＝－cos
＝－
＝－
.
答案 A
7．已知cos2α＝
，则sin4α＋cos4α等于（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 sin4α＋cos4α＝（sin2α＋cos2α）2－2sin2αcos2α
＝1－2sin2αcos2α
＝1－
sin22α
＝1－
（1－cos22α）
＝
＋
cos22α＝
.
答案 D
二、填空题
8．已知tan
＝2，则
的值为________．
解析 由tan
＝
＝2，
得tanx＝
，
＝
＝
＝
.
答案
9.
·
＝__________.
解析 原式＝
·
＝tan2α.
答案 tan2α
10．函数f（x）＝sinx·sin
＋sin
πcos2x的最大值为________，最小正周期为________．
解析 f（x）＝sinx·cosx＋
cos2x＝
sin2x＋
cos2x＝sin（2x＋
），∴f（x）max＝1，T＝
＝π.
答案 1 π
三、解答题
11．已知0＜α＜
，sinα＝
，
（1）求
的值；
（2）求tan2α的值．
解 ∵0<α<
，sinα＝
，∴cosα＝
，sin2α＝
，
cos2α＝1－2sin2α＝－
，tanα＝
＝
.
（1）
＝
＝
＝20.
（2）tan2α＝
＝
＝－
.
12．求证：
＝
sin2α.
证明 左边＝
＝
＝
＝
＝cosαsin
cos
＝
sinαcosα
＝
sin2α＝右边，
∴原式成立．
13．已知函数f（x）＝cos
＋2sin
·sin
.
（1）求函数f（x）的最小正周期和图像的对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间
上的值域．
解
（1）f（x）＝cos
＋2sin
·sin
＝cos
＋2cos
sin
＝cos
＋sin
＝cos
－cos2x
＝cos2xcos
＋sin2xsin
－cos2x
＝
sin2x－
cos2x＝sin
T＝
＝π，由2x－
＝kπ＋
得x＝
＋
（k∈Z）．
（2）∵－
≤x≤
，
∴－
≤2x－
≤
π，－
≤sin
≤1，
∴函数f（x）的值域为
.
双基限时练（二十九） 二倍角的三角函数
（二）
一、选择题
1．cos2
－
的值为（ ）
A．1 B.
C.
D.
解析 cos2
－
＝
＝
＝
.
答案 D
2.
－
＝（ ）
A．－2sin5°B．2sin5°
C．－2cos5°D．2cos5°
解析 原式＝
－
＝|cos5°－sin5°|－|cos5°＋sin5°|＝－2sin5°.
答案 A
3．若tanθ＋
＝4，则sin2θ＝（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 方法一：
∵tanθ＋
＝
＝4，
∴4tanθ＝1＋tan2θ，
∴sin2θ＝2sinθcosθ＝
＝
＝
＝
.
方法二：
∵tanθ＋
＝
＋
＝
＝
.
∴4＝
，故sin2θ＝
.
答案 D
4．已知向量a＝（2，sinx），b＝（cos2x,2cosx），则函数f（x）＝a·b的最小正周期是（ ）
A.
B．π
C．2πD．4π
解析 ∵f（x）＝a·b＝2cos2x＋2sinxcosx
＝1＋cos2x＋sin2x
＝1＋
sin
，
∴f（x）＝a·b的最小正周期是π.
答案 B
5．函数f（x）＝sin2
－sin2
是（ ）
A．周期为π的偶函数B．周期为π的奇函数
C．周期为2π的偶函数D．周期为2π的奇函数
解析 f（x）＝sin2
－sin2
＝cos2
－sin2
＝cos2
－sin2
＝cos
＝sin2x.
∴f（x）为奇函数，且周期为π.
答案 B
6．若θ∈
，sin2θ＝
，则sinθ＝（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 ∵θ∈
，∴2θ∈
，故2cos2θ≤0，∴cos2θ＝－
＝－
＝－
.
又cos2θ＝1－2sin2θ，∴sin2θ＝
＝
＝
，∴sinθ＝
，故选D.
答案 D
二、填空题
7．已知tanα＝
，则sin2α＋cos2α＝__________.
解析 sin2α＋cos2α＝
＝
＝
＝
.
答案
8．若f（sinx）＝3－cos2x，则f（cosx）＝__________.
解析 f（sinx）＝3－cos2x＝3－（1－2sin2x）＝2＋2sin2x，f（cosx）＝2＋2cos2x＝2＋1＋cos2x＝3＋cos2x.
答案 3＋cos2x
9．若sin
＝
－
，0≤α≤π，则tanα的值是________．
解析 两边平方得sin2
＝2－2
，
∴
＝2－2|cosα|.①
当0≤α≤
时，①式为
＝2－2cosα，
∴cosα＝1，∴α＝0，∴tanα＝0.
当
<α≤π时，①式为
＝2＋2cosα，
∴cosα＝－
，∴sinα＝
.
∴tanα＝－
答案 0或－
三、解答题
10．已知cosθ＝－
，并且180°<θ<270°，求tan
.
解 解法一：
因为180°<θ<270°，所以90°<
<135°，即
是第二象限角，所以tan
<0，
∴tan
＝－
＝－
＝－2.
解法二：
因为180°<θ<270°，即θ是第三象限角，
∴sinθ＝－
＝－
＝－
，
∴tan
＝
＝
＝－2，
或tan
＝
＝
＝－2.
11．化简：
（180°<α<360°）．
解 原式
＝
∵180°<α<360°，∴90°<
<180°，故cos
<0，
∴上式＝
＝cos2
－sin2
＝cosα.
12．已知函数f（x）＝2acos2x＋bsinxcosx－
，且f（0）＝
，f
＝
，
（1）求f（x）的解析式；
（2）写出f（x）的单调增区间．
解
（1）由题意得
得
∴f（x）＝
cos2x＋sinxcosx－
＝
·
＋
sin2x－
＝
cos2x＋
sin2x＝sin
.
（2）由2kπ－
≤2x＋
≤2kπ＋
（k∈Z），
得－
π＋kπ≤x≤kπ＋
（k∈Z）．
∴f（x）的单调增区间为
（k∈Z）．
13．已知向量a＝（1＋sin2x，sinx－cosx），b＝（1，sinx＋cosx），函数f（x）＝a·b.
（1）求f（x）的最大值及相应的x值；
（2）若f（θ）＝
，求cos2
的值．
解
（1）因为a＝（1＋sin2x，sinx－cosx），
b＝（1，sinx＋cosx），
所以f（x）＝1＋sin2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝
sin（2x－
）＋1.
因此，当2x－
＝2kπ＋
，即x＝kπ＋
（k∈Z）时，f（x）取得最大值
＋1.
（2）由f（θ）＝1＋sin2θ－cos2θ及f（θ）＝
得sin2θ－cos2θ＝
，两边平方得1－sin4θ＝
，
即sin4θ＝
.
因此，cos2（
－2θ）＝cos（
－4θ）＝sin4θ＝
.
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