最新圆压轴题集.docx
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最新圆压轴题集
圆压轴题集
已知
是⊙0的直径,
切⊙0于
,
,
延长线与
的延长线交于
、
,求
的度数。
(10分)
(07柳州)如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连结ED、BE。
(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;
(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长。
(12分)
(山东省德州市)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,AE平分∠BAD交BC于点E,点O是AB上一点,⊙O过A、E两点,交AD于点G,交AB于点F.
(1)求证:
BC与⊙O相切;
(2)当∠BAC=120°时,求∠EFG的度数.
(贵州省安顺市)如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,点D在弧BC上运动(不与B、C重合),过点D作DE∥BC,DE交AB的延长线于点E,连结AD、BD.
(1)求证:
∠ADB=∠E.
(2)当点D运动到什么位置时,DE是⊙O的切线?
请说明理由.
(3)当AB=5,BC=6时,求⊙O的半径.
如图5.1-16,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线l,过点B作l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点E.
(1)求∠AEC的度数;
(2)求证:
四边形OBEC是菱形.(12分)
(08孝感)如图,AB为⊙O的直径,PQ切⊙O于T,AC⊥PQ于C,交⊙O于D。
(1)求证:
AT平分
;
(2)AD=2,
,求⊙O的半径。
(14分)
(09山东潍坊)如图5.2-13所示,圆O是△ABC的外接圆,∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I,延长AI交圆O于点D,连结BD、DC.,
(1)
求证:
BD=DC=DI;
(2)若圆O的半径为10cm,∠BAC=120°,求△BDC的面积。
(14分)
(09广东)
(1)如图5.2-15①,圆内接△ABC中,AB=BC=CA,OD、OE为⊙O的半径,OD⊥BC于点F,OE⊥AC于点G.求证:
阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的1/3;
(2)如图5.2-15②,若∠DOE保持120°角度不变,求证:
当∠DOE绕着O点旋转时,由两条半径和△ABC的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是△ABC的面积的1/3.(16分)
(广西玉林市、防城港市)如图,MN是⊙O的切线,B为切点,BC是⊙O的弦且∠CBN=45°,过C的直线与⊙O、MN分别交于A、D两点,过C作CE⊥BD于点E.
(1)求证:
CE是是⊙O的切线;
(2)∠D=30°,BD=2+
,求⊙O的半径r.
涉及综合
(四川省广安市)如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,点D为劣弧AC上一点,弦DE⊥AB分别交⊙O于点D、E,交AB于点H,交AC于点F.P是ED延长线上一点,且PC=PF.
(1)求证:
PC是⊙O的切线;
(2)点D在劣弧AC的什么位置时,才能使AD2=DE·DF,为什么?
(3)在
(2)的条件下,若OH=1,AH=2,求弦AC的长.
四川省遂宁市)如图,⊙O与⊙P相交于A、B两点,点P在⊙O上,⊙O的弦AC切⊙P于点A,CP及其延长线交⊙P于D、E两点,过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F.
(1)求证:
BC是⊙P的切线;
(2)若CD=2,CB=
,求EF的长;
(3)设k=PE:
CE,是否存在实数k,使△PBD是等边三角形?
若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.
(贵州省遵义市)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC+BC=8,点O是斜边AB上一点,以O为圆心的⊙O分别与AC、BC相切于点D、E.
(1)当AC=2时,求⊙O的半径;
(2)设AC=x,⊙O的半径为y,求y与x的函数关系式.
(江苏省苏州市)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC.O是CD边的中点,以O为圆心,OC长为半径作圆,交BC边于点E.过E作EH⊥AB,垂足为H.已知⊙O与AB边相切,切点为F.
(1)求证:
OE∥AB;
(2)求证:
EH=
AB;
(3)若
=
,求
的值.
湖北省荆门市)如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:
CA=4:
3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.
(1)求证:
AC·CD=PC·BC;
(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;
(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?
并求这个最大面积S.
(安徽省芜湖市)(本小题满分12分)如图,BD是⊙O的直径,OA⊥OB,M是劣弧
上一点,过M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于N点.
(1)求证:
PM=PN;
(2)若BD=4,PA=
AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点,求BC的长.
(四川省成都市2009)如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC=BC,∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连结CD,G是CD的中点,连结OG.
(1)判断OG与CD的位置关系,写出你的结论并证明;
(2)求证:
AE=BF;
(3)若OG·DE=3(2-
),求⊙O的面积.
(广西崇左市)如图,BC是⊙O的直径,AD⊥BC,垂足为D,CE⊥BC,BE交⊙O于点A,F是AD的中点,BF的延长线与CE相交于点G,AG的延长线与BC的延长线相交于点H.
(1)求证:
CG=EG;
(2)求证:
AH是⊙O的切线;
(3)若⊙O的半径长为
,且CG=FG,求BD和FG的长.
(2010广州市)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧
上的任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.
(1)求弦AB的长;
(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;
(3)记△ABC的面积为S,若
=
,求△ABC的周长.
(广东省珠海市)如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连结PA、PB、PC、PD.
(1)当BD的长度为多少时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形?
并证明;
(2)若cos∠PCB=
,求PA的长.
(湖南省永州市)探究问题:
(1)阅读理解:
①如图(A),在已知△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小,则称点P为△ABC的费马点,此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离.
②如图(B),若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上,则有AB·CD+BC·DA=AC·BD,此为托勒密定理.
(2)知识迁移:
①请你利用托勒密定理,解决如下问题:
如图(C),已知点P为等边△ABC外接圆的
上任意一点.求证:
PB+PC=PA.
②根据
(2)①的结论,我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法:
第一步:
如图(D),在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆;
第二步:
在
上任取一点P′,连结P′A、P′B、P′C、P′D.
易知P′A+P′B+P′C=P′A+(P′B+P′C)=P′A+_____________;
第三步:
请你根据
(1)①中定义,在图(D)中找出△ABC的费马点P,并请指出线段________的长度即为△ABC的费马距离.
(3)知识应用:
2010年4月,我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象,许多村庄出现了人、畜饮水困难,为解决老百姓的饮水问题,解放军某部来到云南某地打井取水.
已知三村庄A、B、C构成了如图(E)所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°),现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值.
(深圳市)如图1,以点M(-1,0)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D,直线y=-
x-
与⊙M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.
(1)请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长;
(2)如图2,弦HQ交x轴于点P,且DP:
PH=3:
2,求cos∠QHC的值;
(3)如图3,点K为线段EC上一动点(不与E、C重合),连接BK交⊙M于点T,弦AT交x轴于点N.是否存在一个常数a,始终满足MN·MK=a,如果存在,请求出a的值;如果不存在,请说明理由.
(广东省清远市)在⊙O中,点P在直径AB上运动,但与A、B两点不重合,过点P作弦CE⊥AB,在
上任取一点D,直线CD与直线AB交于点F,弦DE交直线AB于点M,连接CM.
(1)如图1,当点P运动到与O点重合时,求∠FDM的度数;
(2)如图2、图3,当点P运动到与O点不重合时,求证:
FM·OB=DF·MC.
(广西桂林市)如图,⊙O是△ABC的外接圆,FH是⊙O的切线,切点为F,FH∥BC,连结AF交BC于E,∠ABC的平分线BD交AF于D,连结BF.
(1)证明:
AF平分∠BAC;
(2)证明:
BF=FD;
(3)若EF=4,DE=3,求AD的长.
(广西柳州市)如图,AB为⊙O直径,且弦CD⊥AB于E,过点B的切线与AD的延长线交于点F.
(1)若M是AD的中点,连接ME并延长ME交BC于N.求证:
MN⊥BC.
(2)若cos∠C=
,DF=3,求⊙O的半径.
(广西钦州市)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC边于点D,过D作DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:
EF是⊙O的切线;
(2)若AE=6,BF=4
①求⊙O的半径;
②求证:
△ABC是等边三角形.