届北师大版 条件概率与独立事件二项分布正态分布单元测试.docx

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届北师大版条件概率与独立事件二项分布正态分布单元测试

条件概率与独立事件、二项分布、（*）正态分布

（25分钟　60分）

一、选择题（每小题5分,共25分）

1.下列说法正确的是　（　　）

A.P（A|B）=P（B|A）

B.0

C.P（AB）=P（A）P（B|A）

D.P（B|A）=1

【解析】选C.由P（B|A）=,可得P（AB）=P（A）P（B|A）.

2.某人参加第九届“汉语桥”世界中学生中文比赛的资格赛,4道题中答对3道即为及格,已知他的答题正确率为0.4,则他能及格的概率是　（　　）

A.0.18B.0.28

C.0.37D.0.48

【解析】选A.0.43·0.6+·0.44=0.1792≈0.18.

3.在4次独立重复试验中,事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是　（　　）

A.[0.4,1）B.（0,0.4）

C.（0,0.6]D.[0.6,1）

【解析】选A.根据题意,p（1-p）3≤p2（1-p）2,解得p≥0.4,又0

4.（2017·南昌模拟）1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱中,然后从2号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是　（　　）

A.B.C.D.

【解题指南】此问题为从1号箱中取到红球的条件下,从2号箱中也取到红球的条件概率问题.

【解析】选C.设从1号箱中取到红球为事件A,从2号箱中取到红球为事件B,由题意,P（A）==,P（B|A）==,所以P（AB）=P（B|A）P（A）=×=,所以两次都取到红球的概率为.

5.（2017·咸阳模拟）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为p.若A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,则p的值为　

（　　）

A.B.C.D.

【解题指南】根据A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,得到两个方程,即可求得概率.

【解析】选B.设A中有x个球,B中有y个球,则因为A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,所以=且=.解得p=.

【误区警示】本题考查概率的计算,考查学生的理解能力,很容易因得不出方程组而无法求解.

【加固训练】一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:

在10箱中各任意抽查一枚;方法二:

在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则　（　　）

A.p1=p2　　　B.p1

C.p1>p2　　　D.以上三种情况都有可能

【解析】选B.按方法一,在各箱任意抽查一枚,抽得劣币的概率为=0.01,所以p1=1-（1-0.01）10,按方法二,在5箱中各任意抽查两枚,抽得劣币的概率为=0.02,所以p2=1-（1-0.02）5,计算易知p1

二、填空题（每小题5分,共15分）

6.在高三的某次模拟考试中,对于数学选修4系列的考查中,甲同学选做《不等式选讲》的概率为,乙同学选做《不等式选讲》的概率为,假定二人的行动相互之间没有影响,那么这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有1人选做《不等式选讲》的概率为________.

【解析】记高三的某次模拟考试中“甲同学不选做《不等式选讲》”为事件A,“乙同学不选做《不等式选讲》”为事件B,且A,B相互独立.

依题意,P（A）=1-=,P（B）=1-=.

又P（AB）=P（A）·P（B）=×=.

甲、乙二人至少有一人选做《不等式选讲》的对立事件为甲、乙二人都不选做《不等式选讲》,所求概率为1-P（AB）=1-=.

答案:

7.（2017·安康模拟）已知随机变量X～N（2,σ2）,若P（X

【解析】由正态曲线的对称性可得:

P（a≤X<4-a）=1-2P（X

答案:

0.36

8.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800,502）的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数800

【解析】由X～N（800,502）,

知μ=800,σ=50,

又P（700

则P（800

答案:

47.7%

三、解答题（每小题10分,共20分）

9.（2017·上饶模拟）甲、乙两人进行围棋比赛,规定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为p,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.

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（1）求p的值.

（2）设X表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量X的分布列.

【解析】

（1）当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止,故p2+（1-p）2=,

解得p=或=.

又p>,所以p=.

（2）依题意知X的所有可能取值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为,若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响,从而有

P（X=2）=,

P（X=4）=×=,

P（X=6）=××1=,

则随机变量X的分布列为

X

2

4

6

P

10.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

99972884

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差DX（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

（2）由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ,σ2）,其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差DX.

①利用该正态分布,求P（187.8

②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数,利用①的结果,求EX.

附:

≈12.2.

若Z～N（μ,σ2）,则P（μ-σ

【解析】

（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差DX分别为

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,

DX=（-30）2×0.02+（-20）2×0.09+（-10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.

（2）①由

（1）知,Z～N（200,150）,从而P（187.8

=P（200-12.2

②由①知,一件产品质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.683.

依题意知X～B（100,0.683）,

所以EX=100×0.683=68.3.

（20分钟　40分）

1.（5分）甲乙两羽毛球运动员之间的训练,要进行三场比赛,且这三场比赛可看做三次独立试验,若甲至少取胜一次的概率为,则甲恰好取胜一次的概率为

（　　）

A.B.C.D.

【解析】选C.假设甲取胜为事件A,设每次甲胜的概率为p,由题意得,事件A发生的次数X～B（3,p）,则有1-（1-p）3=,得p=,则事件A恰好发生一次的概率为××=.

2.（5分）已知随机变量X～N（3,1）,且P（24）=　（　　）

A.0.1588B.0.1587

C.0.1586D.0.1585

【解析】选D.通过正态分布对称性及已知条件得

P（X>4）=

=

=0.1585.

【加固训练】如图所示的电路有a,b,c三个开关,每个开关开或关的概率都是,且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为________.

【解析】“a闭合”为事件A,“b闭合”为事件B,“c闭合”为事件C,则甲灯亮应为事件AC,且A,B,C之间彼此独立,且P（A）=P（B）=P（C）=,由独立事件概率公式知P（AC）=P（A）P（）P（C）=××=.

答案:

3.（5分）甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的序号）.

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①P（B）=;　　　　　②P（B|A1）=;

③事件B与事件A1相互独立;

④A1,A2,A3是两两互斥的事件;

⑤P（B）的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.

【解析】根据题意可得P（A1）=,P（A2）=,P（A3）=,A1,A2,A3为两两互斥事件,可以判断④是正确的;

P（B）=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3）=×+×+×=,则①是错误的;

P（B|A1）===,则②是正确的;同理可以判断出③和⑤是错误的.

答案:

②④

【加固训练】有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.

【解析】设“种子发芽”为事件A,“种子成长为幼苗”为事件AB（发芽,又成活为幼苗）.

出芽后的幼苗成活率为P（B|A）=0.8,P（A）=0.9,根据条件概率公式P（AB）=P（B|A）·P（A）=0.8×0.9=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.

答案:

0.72

4.（12分）（2017·新余模拟）小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的甲、乙、丙随机发放红包,每次发放1个.　99972886

（1）若小王发放5元的红包2个,求甲恰得1个的概率.

（2）若小王发放3个红包,其中5元的2个,10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X,求X的分布列.

【解析】

（1）设“甲恰得1个红包”为事件A,

则P（A）=××=.

（2）X的所有可能取值为0,5,10,15,20.

P（X=0）==,

P（X=5）=××=,

P（X=10）=×+×=,

P（X=15）=××=,

P（X=20）==.

X的分布列为:

X

0

5

10

15

20

P

5.（13分）某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:

A地区:

62　73　81　92　95　85　74　64　53　76

78　86　95　66　97　78　88　82　76　89

B地区:

73　83　62　51　91　46　53　73　64　82

93　48　65　81　74　56　54　76　65　79

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（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值,得出结论即可）.

（2）根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:

满意度评分

低于70分

70分到89分

不低于90分

满意度等级

不满意

满意

非常满意