08立体图形上的最短路径问题docx.docx
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第8讲立体图形上的最短路径问题
一、方法技巧
解决立体图形上最短路径问题：
1.基本思路：
立体图形平面化，即化“曲”为“直”
2.“平面化”的基本方法：
（1）通过平移来转化
例如：
求A、B两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可
（2）通过旋转来转化
例如：
求A、C'两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求
例如：
求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离
可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解
（3）通过轴对称来转化
例如：
求圆柱形杯子外侧点
作点A关于杯口的对称点
B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，
A'，根据“两点之间，线段最短”可知A'B即为最短距
离
3.储备知识点：
（1）两点之间，线段最短
（2）勾股定理
4.解题关键：
准确画出立体图形的平面展开图
二、应用举例
类型一
通过平移来转化
【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，
A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请
你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少
【答案】13cm
【解析】
试题分析：
只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点
的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.
试题解析：
解：
展开图如图所示，AB5212213cm
所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm
类型二通过旋转来转化
【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少
【答案】241cm
【解析】
试题分析：
解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距
离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.
试题解析：
解：
如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平使矩形AA’B’B与BB’C’C相连，连接AC’，使E点在AC’上（如图2）
AC'（ABBC）2CC'210282241（cm）
所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为241cm
【难度】一般
【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm，底面周长为
点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处
试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.
60cm，在外侧距下底1cm的
1cm的点F处有一苍蝇，
【答案】34cm
【解析】
试题分析：
展开后连接SF，求出
SF的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点
S作
SE
CD
于E，求出
SE、
EF
，根据勾股定理求出
SF即可.
试题解析：
解：
如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边
S，F各自所在的母线为矩形的一组对边
.该矩形上的线段SF即为所求的最短路线.
过点
S作点
F所在母线的垂线，得到
RtSEF.
SF
302
（1811）2
34cm
【难度】较易
【例题4】（2015·红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角
形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥
侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m（结果不取近似值）
【答案】35
【解析】
试题分析：
求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，
根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开
图中BAP90，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离BP长.
试题解析：
解：
作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为n，
由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得
n
AC
BC，
再由AC
BC6m，可得n
180，
180
故在展开的平面图形中，BAC118090
2
点B到P的最短距离为BPAB2AP2623235（m）
【难度】一般
类型三
通过轴对称来转化
【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内
壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在位置
【答案】15厘米
【解析】
试题分析：
把圆柱展开，得到矩形形状，A、B的最短距离就是线段BA'的长，根据勾股定理解答即可试题解析：
解：
如图所示，作A点关于杯口的对称点A'
则BA'
92122
15厘米
【难度】较易
三、实战演练
类型一通过平移来转化
1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点台阶面爬行到点B的最短路程为dm．
20dm、3dm、2dm．A和B是这
B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着
【答案】25dm
【解析】
试题分析：
先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答
试题解析：
解：
如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理可得
2
2
2
x=20
+[（2+3）×3]，
解得x=25．
即蚂蚁沿着台阶面爬行到点
B的最短路程为25dm．
【难度】较易
类型二通过旋转来转化
2.（2015·陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是
始绕油罐一周造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长
5m，要从点
A处开
【答案】13m
【解析】
试题分析：
把圆柱沿AB侧面展开，连接AB，再根据勾股定理得出结论试题解析：
解：
展开图如图所示，AC12m，BC5m
ABAC2BC21225213m
【难度】较易
3.有一个圆柱体，如图，高
4cm，底面半径
5cm，A处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到
C处蚂
蚁爬行的最短距离
.
【答案】16252cm
【解析】
试题分析：
圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求
试题解析：
解：
∵AB
4，BC为底面周长的一半，即
BC
5
∴AC
AB2
BC2
42
2
16
252cm
5
【难度】较易
4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它
还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂得数学
阅读以上信息，解决下列问题：
（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm,
则它爬行一周的路程是多少
（2）如果树干的周长是80cm,绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少
【答案】
（1）50cm；
（2）6m
【解析】
试题分析：
（1）如下图，将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC的长，圆柱的高即为BC的长，求出
AB的长即为葛藤树的最短路程
（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高试题解析：
解：
（1）如图，eO的周长为30cm，即AC=30cm
高是40cm，则BC=40cm，
由勾股定理得ABAC2BC250cm
故爬行一周的路程是50cm
（2）eO的周长为80cm，即AC=80cm
绕一圈爬行100cm，则AB=100cm，高BC=60cm
∴树干高=60×10=600cm=6m
故树干高6m
【难度】一般
5．（2015·江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为
从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是（
M，一只蚂蚁
）
A．13B．17C．1D．25
【答案】B
【解析】
试题分析：
根据已知得出蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是
如图BM的长度，进而利用勾股定理求出
试题解析：
解：
∵蚂蚁从盒外的B点沿正方体的表面爬到盒内的M点
∴蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度
∵无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M
∴A1B224A1M1
∴BM421217
故选：
B
【难度】较易
6.已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆
锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹
如右图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）
【答案】C
【解析】
试题分析：
要求小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结
果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线.
试题解析：
解：
∵C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A
∴侧面展开图BO为扇形对称轴，连接AC即是最短路线
∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，作出C关于OA的对称点，再利用扇形对称
性得出关于BO的另一对称点，连接即可.
故选C
【难度】一般
7．（2014·枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）
剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的
最短距离为cm．
【答案】3236cm
【解析】
试题分析：
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果
试题解析：
解：
如答图，
易知△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CDBC2BD262cm，
1
∴BECD32cm，
2
22
在Rt△ACE中，AEACCE36cm，
∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为3236cm
【难度】一般
8.一个圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面
爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是________（结果保留根式）
【答案】82
【解析】
解：
设圆锥的展开图扇形QAA’的中心角AQA'的度数为n，
则22
n8
，解得：
n90o
180
即AQA'90o
在RtVAQA'中，根据勾股定理
AA'82
【难度】一般
9.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一只蚂蚁只能沿
圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是多少
【答案】2
5
【解析】
试题分析：
根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是
4的半圆，点B是半圆的一个端点，
而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点
B和P在展开图中的距离，
就是这只蚂蚁爬行的最短距离
试题解析：
解：
设圆锥的展开图的圆心角为
n，
则22
n4，解得：
n180
180
即CAC'180
在展开图中，
BA
CC'，BA
4，AP
2
由勾股定理得，
BP
42
22
202
5
点评：
本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，
正确判断蚂蚁爬行的路线，
把曲面的问题
化为平面的问题是解题的关键
【难度】较难
10（.
1）如图
○
，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为
BC3cmAB4cm
1
5cm，
1
，
，AA
盒子的内部顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽
略不计）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲
C1处的最短路程，并画出其最短路径，简要说明画法
（2）如果
（1）问中的长方体的棱长分别为ABBC6cm
1
14cm，如图
○
，假
，AA
2
设昆虫甲从盒内顶点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱
C1C向下爬行，同时昆虫乙从
盒内顶点A以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲
【答案】
（1）AEC1就是最短路径
（2）5秒
【解析】
解：
（1）如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即A、A1、D1三点共
线，AA1A1D1538D1C14
根据勾股定理得AC180
如图三，将右侧面展开，使右侧面与下面在同一平面内，即A、B、B1三点共线
ABBB1459，B1C13
根据勾股定理得AC190
如图四，将右侧面展开，使右侧面与前表面在同一平面内，即
A、B、C三点共线.
ABBC437
，CC15
根据勾股定理得AC1
74
∵74＜80＜90
∴最短路程是74cm.
在图四中，∵VABE∽VACC1
BEAB
∴
CC1AC
∴BE
4
，BE
20
5
7
7
如图一，在BB1上取一点E，使BE
20，连接AE，EC1，A
EC1就是最短路径
7
（2）如图五，设C1F
x，则AF
3x，CF5x
在RtVACF中，根据勾股定理得
AF2
AC2
CF2
即：
2
2
2
3x
66
14x
解得：
x15
，x2
17
2
∵x＞0
∴x5
所以，昆虫至少需要5秒才能捉到昆虫甲.
点评：
在长方体中，经过它的表面，从一个顶点到另一个与它相对的顶点的最短距离是：
在
长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边即
为最短路线长
【难度】较难
11．如图，A是高为10cm的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从
面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（
A点出发，沿
）
30°角绕圆柱侧
A.10cmB.20cmC.30cmD.40cm
【答案】B
【解析】
试题分析：
将圆柱侧面展开，连接
AB,根据三角函数求出
AB的长即可
试题解析：
解：
根据题意得，BC
10cm，
BAC30
∴ABBCSin30
1
20cm
10
2
故选B．
【难度】一般
12．如图，是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）
A．B．29C．5D．322
【答案】C
【解析】有两种展开方法：
①长方体展开成如图所示，连接A、B，
根据两点之间线段最短，AB522229；
②将长方体展开成如图所示，连接A、B，则AB
32
42
529；
故选C．
【难度】较易
13．（2015-2016·内蒙古包头）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B
距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离
是cm．
【答案】25
【解析】
试题分析：
要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将正方体展开，然后利用两点之间线
段最短解答.
试题解析：
解：
如图：
（1）ABBD2AD215220225
（2）ABAE2BE2102252529；
（3）ABAC2BC230252537．
所以需要爬行的最短距离是25．
【难度】较难
14．已知：
如图，一个玻璃材质的长方体，其中AB8,BC4,BF
6，在顶点E处有一
块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面
BCSF的中心沿长方体表面爬行到点
E．则此蚂蚁爬行的
最短距离为
．
【答案】109
【解析】
试题分析：
要求蚂蚁爬行的最短距离，需要将立体图形转化为平面图形，将E、O（设面BCSF的中心为
点O）所在的两个面展开，但展开图并非只有一种，而是两种，需要利用“两点之间，线段最短”，来一一求出线段EO的长度，然后比较两种情况的结果，找出最短路径
试题解析：
解：
设面BCSF的中心为点O，根据题意，最短路径有下列两种情况：
○1如图1，沿SF把长方体的侧面展开，
蚂蚁爬行的最短距离
8
6
2
4
2
2
5
2
5
○2如图2，沿BF把长方体的侧面展开，
1.3m
蚂蚁爬行的最短距离
8
4
2
2
2
2
6
109
∵55＞109
故此蚂蚁爬行的最短距离是109
【难度】较难
15．如图，圆柱形容器中，高为
1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部
0.3m的点
．．
，离容器上沿
0.3m与蚊子相对的点A处，则
B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．
．．
壁虎捕捉蚊子的最短距离为
m（容器厚度忽略不计）.
【答案】
【解析】
试题分析：
将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B的长度即为所求
试题解析：
解：
要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EC上找一点P，使PA+PB最短，
过点A作EC的对称点A’，连结A’B，则A’B与EF的交点P就是所求的点P
因为两点之间，线段最短，A’B的长即为壁虎捕捉蚊子的最短距离
∵底面周长为1m
∴A'D
0.5m，
BD
1.2m
A'B
A'D2
BD2
0.52
1.22
1.3m
【难度】一般
类型三通过轴对称来转化
16.一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm,点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少
【答案】25cm
【解析】
试题分析：
如图，作点B关于CD的对称点
是沿AP、PB’即可
试题解析：
解：
如下图所示，作点B关于
B’，连结AB’，
CD的对称点B'
交CD于点
，连结AB'
P，连结PB，则最短路线应该
，交CD于点P，则蚂蚁的爬
行路线APB'
在RtVAEB'中，AE
由勾股定理知AB'
为最短，且AP
CD15，EB'
25
PB
ED
APPB'
DB'=AC
BD
128
20
所以，蚂蚁爬行的最短路程是
25cm
【难度】一般
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