轴对称等腰三角形经典练习题.docx

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轴对称等腰三角形经典练习题

【知识点回顾】

轴对称：

一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就

说这两个图形关于这条直线对称。

这条直线叫作对称轴，两个图形中的对应

点叫做对称点。

轴对称的性质：

1、关于轴对称的图形全等。

2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质：

线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

线段垂直平分线的判定：

到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

等腰三角形的性质

定理：

等腰三角形有两边相等；

定理：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等

腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形

是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

等腰三角形的判定

定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写

成“等角对等边”。

）

推论1：

三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等

于斜边的一半

【典型例题】

例1.如图，

中，

，BD平分

。

求证：

。

分析：

从要证明的结论出发，在BC上截取

，只需证明

，考虑到

，想到在BC上截取

，连结DE，易得，则有

，只需证明

，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出

。

证明：

在BC上截取

，连结DE、DF

在

和

中，

又

而

即

【随堂作业】

1、下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A．有两个内角相等的三角形B.有一个内角是45°直角三角形

C.有一个内角是30°的直角三角形D.有两个角分别是30°和120°的三角形

2、下列说法中正确的是（）

1角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等

2角是轴对称图形③线段不是轴对称图形

4线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

A.①②③④B.①②③C.②④D.②③④

3、小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示

实际时间是（）

A．21：

10B.10：

21C.10：

51D.12：

01

4、下列推理中，错误的是（　　）

A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形

B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形

C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形

D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形

5、等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是

（　　）

A．9cmB．12cm

C．9cm和12cmD．在9cm与12cm之间

6、若等腰三角形的一个外角为130°，则它的底角为________.

7、如图，

是等边三角形，

，则

的度数是________

8、如图，在等腰三角形

中，

，点

是底边

上一个动点，

分别是

的中点，若

的最小值为2，则

的周长

是（）

A．

B．

C．

D．

9、在等边三角形ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DE∥BC交AC于E，若

△ABC的边长为a，则△ADE的周长为（　　）

A．2aB．

C．1．5aD．a

10、如图，在

中，

，

，点

为

的中点，

于点

，则

等于（C）

A．

B．

C．

D．

11、如图7—111，在Rt△ABC中，B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC

上，∠BAE：

∠BAC＝1：

5，则∠C＝_________.

12、如图7—112，∠BAC＝30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA交AC于

E，作MD⊥BA，垂足为D，ME＝10cm，则MD＝_________.

13、已知：

如图7—120，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E、

F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．求证：

DE＝DF．

14、已知：

如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE，

求证：

AH=2BD．

【课后作业】

1、如图：

等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则

∠APE的度数是（　　）

A．45°B．55°　　

C．60°D．75°

2、等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两

部分的差为3cm，则腰长为（）

A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不对

3、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB

的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

4、如图, ∠MPN＝25°, 又PA＝AB＝BC＝CD, 则∠DCM＝_______度。

5、已知：

在△ABC中,∠A=20°,D为AB上一点,AD=DC,且∠ACD∶∠BCD=2∶3,则

∠ABC=_______．　

6、等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？

试说明你的结论．

7、已知：

如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC延长线于F，连结AF．求证：

∠B=∠CAF.

8、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD

求证：

AF=FC

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列图案中是轴对称图形的是    （    ）

2．以下四个图形中对称轴条数最多的一个图形是    （）

3．到三角形的三个顶点距离相等的点是    （    ）   

A．三条角平分线的交点      B．三条中线的交点   

C．三条高的交点       D．三条边的垂直平分线的交点 

4．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则    （    ）   

A．PA＋PB>QA＋QB      B．PA＋PB

5．等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为    （    ）   

A．40° ，40°      B．80°，20°   C．50°，50°      D．50°，50°或80° ，20° 

6．下列说法：

①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确的个数是    （    ） 

  A．1       B．2      C．3      D．4 

7．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝75°，则∠A的度数为    （    ）  

 A．30°      B．40°      C．45°     D．60° 

8．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为    （    ）  

 A．7       B．11      C．7或11     D．7或10 

 9．如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是    （    ）  

A．40°        B．35°     C．25°       D．20° 

10．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8 km，P，Q两地到l的距离分别为2 km，5 km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是    （）

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．粗圆体的汉字“口”“天”等都是轴对称图形，请再写出至少三个以上这样的汉字_______． 

12．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于点E，与BC交于点D，∠C＝15°，∠BAD＝60°，则△ABC是_______三角形．

13．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20°，则其顶角的大小为_______． 

14．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于点E，D为垂足，若∠ABE：

∠EBC＝2：

1，则∠A＝_______． 

15．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，角平分线BE与CD相交于点F，如果不添加其他线和字母，那么图中等腰三角形有_______个． 

16．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝4，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在C'的位置上，那么BC'的长为_______． 

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，点E是AD的任一点，若△ABC的面积为12 cm，则图中阴影部分的面积是_______cm． 

18．△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE，DF，BN三者的数量关系为_______． 

三、解答题（共46分） 

19．（6分）（2013．盐城）如图①是3x3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有几种？

20．（6分）已知：

如图，△BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且BE＝AD，△CDE是等边三角形．求证：

△ABC是等边三角形．

答案：

考点精练

1．82.52．30a3．2204．105°

5．3686．7秒或25秒7．（2，-2

）

8．10°9．D10．B11．B12．B

13．7cm或11cm

14．关系：

DE=DB，

∵CD=CE，

∴∠E=∠EDC，

又∵∠ACB=60°，

∴∠E=30°，

又∵∠DBC=30°，

∴∠E=∠DBC，

∴DB=DE

15．

（1）①③或②③

（2）已知①②求证△ABC是等腰三角形．

证：

先证△EBO≌△DCO．得OB=OC，得∠DBC=∠ECB．

∴∠ABC=∠ACB．即△ABC是等腰三角形

16．

（1）△DEF是等边三角形，

提示证△ADF≌△BED≌△CFE．即得△DEF是等边三角形

（2）AD=BE=CF成立．证略．

【例题经典】

根据等腰三角形的性质寻求规律

例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？

若∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

若∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，

根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE，

即可得到∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB时，∠BOC=90°+

∠A；

∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB时，∠BOC=120°+

∠A；

∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB时，∠BOC=

·180°+∠A．

【点评】在例1图中，若AE=

AB，AD=

AC．类似上题方法同样可证得BD=CE．上述规律仍然存在．

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两种情况讨论．

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA：

PB：

PC=3：

4：

5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

【分析】

（1）把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ．利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ．

（2）连接PQ，则△PBQ是等边三角形．PQ=PB，AP=CQ故CQ：

PQ：

PC=PA：

PB：

PC=3：

4：

5，∴△PQC是直角三角形．

【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明．

【考点精练】

一、基础训练

1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．

（1）

（2）（3）

2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_______．

3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．

4．（2006年烟台市）如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．

（4）（5）（6）

5．（2006年包头市）如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_______米（精确到1米）．

6．（2006年诸暨市）等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为________．

7．如图6，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A′的坐标为_______．

8．（2006年江阴市）如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，则∠CDE=________．

（7）（8）（9）

9．（2005年常州市）如图8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）

A．44°B．68°C．46°D．22°

10．（2006年海南省）如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）

A．L1B．L2C．L3D．L4

11．（2006年日照市）如图10，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．则∠A等于（）

A．30°B．36°C．45°D．72°

（10）（11）

12．（2006年怀化市）同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板的一头A着地时，∠OAC=25°，则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于（）

A．25°B．50°C．60°D．130°

二、能力提升

13．如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长．

14．已知如图△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD．

试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由．

15．（2006年扬州市）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：

①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．

（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；

（2）选择第

（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．

三、应用与探究

16．（2005年江西省）如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点．

（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？

试证明你的结论．

（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？

试证明你的结论．