均值不等式及柯西不等式.docx
《均值不等式及柯西不等式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《均值不等式及柯西不等式.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
均值不等式及柯西不等式
武汉龙文教育学科指导讲义
授课对象
孙嘉钰
授课教师
杨鹏
授课时间
5-5
授课题目
不等式
（二）
课
型
复习
使用教具
讲义、白纸
授课目的灵便的运用均值不等式和柯西不等式求最值
授课重点和难点重点和难点在于如何用有效的方法去解决最值问题
参照教材网资
授课流程及授课详案
一、柯西不等式和均值不等式时间分配及备注
1、柯西不等式：
二维形式的柯西不等式：
（a2b2）（c2d2）（acbd）2（a,b,c,dR）.当且仅当adbc时，等号成立.
三维形式的柯西不等式：
（a12
a22
a32）（b12
b22
b32）（a1b1
a2b2
a3b3）2.
一般形式的柯西不等式：
（a1
2
a2
2
...
an
2）（b1
2
b2
2
...
bn
2）
（a1b1
a2b2...anbn）2.
2、均值不等式及使用条件：
均值不等式，若a1,a2,
an
R
，则
a1
a2
an
na1
a2
an（nN）
n
（1）a1,a2,
an是正数；
（2）和（a1
a2
an）或（a1?
a2?
?
an）为定值；
（3）当且仅当a1
a2
an时，取等号。
在运用均值不等式解题时，必定满足“一正、二定、三相等”的条件。
但有的题目不能够直接利用均值不等式，因此要作一些技巧性转变、变形，才能求得正确的最值。
二例题：
1、柯西不等式向量求最值
1、设x,y,z
R,
x2
y2
z2
25
，试求x2y2z
的最大值与最小值。
答：
依照柯西不等式
（1x2y2z）2
[12
（2）2
22]（x2
y2
z2）
即（x
2y
2z）2
925
而有
15
x
2y
2z
15
故x
2y
2z的最大值为
15，最小值为–15。
2、设x,y,z
R,2xy
2z
6
，试求x2
y2
z2之最小值。
答案：
考虑以下两组向量
v
–1,
–2）
v
=（
x,y,z）
根据柯西不等式
u=（2,
v
（uv）2
u
2
2
v
，就有
[2x
（1）y
（2）z]2
[22
（1）2
（2）2]（x2
y2
z2）即
（2
xy
2）2
9（
2
2
2）
将
2xy2z6
代入其中，得
z
x
y
z
36
9（x2
y2
z2）而有
x2
y2
z2
4故x2
y2
z2
之最小值为4。
3、设x,y,z
R，2x
y
2z
6，求x2
y2
z2的最小值m，并求此时x、y、z之
值。
Ans：
m
4;（x,y,z）
（4,2,
4）
3
3
3
4设x，y，z
R，2x
2y
z
8
0，则（x
1）
2
（y
2）
2
（z
3）2之最小值为
解：
2x
2y
z
8
0
2（x
1）
2（y
2）
（z
3）
9，
考虑以下两组向量
v
）
v
）
（uv）
2
2
v
2
u=（
，v=（,
u
[2（x
1）
2（y
2）
（z
3）]
2
[（x
1）
2
（y
2）
2
（z
2
2
2
1
2
3）]．（2
2
）
（x
1）2
（y
2）
2
（z
3）2
（
9）2
9
9
5设x,y,z
R，若2x3y
z3，则x2
（y1）2
z2
之最小值为________，又
此时y
________。
解：
2x3yz3
2x
3（y
1）
z（），
考虑以下两组向量
v
）
v
,
）
u=（,
，v=（
解
析
：
[x2
（y1）2
z2][22
（3）2
12]（2x3y3z）2[x2
（y1）2
z2]
36
14
∴最小值18
7
x
y1
z
Q2x3yz3,2（2t）3（3t1）t3
2
3
t,
1
∴t
3
∴y
2
7
7
6设a，b，c均为正数且a
b
c
9，则4
9
16
之最小值为
a
b
c
解：
考虑以下两组向量
v
）
v
,
）
u=（
，v=（
（uv）2
u
v
（
2
a
3
b
4
c）2
（
4
9
16
）（a
2
2
a
b
c
a
b
c
b
c）
（4
9
16
）．9
（2
3
4）
2
81
a
b
c
4
9
16
81
9
a
b
c
9
7、设a,b,c
均为正数，且a2b3c
2，则1
2
3之最小值为________，此
a
b
c
时a________。
解：
考虑以下两组向量
v
）
v
,
）
u=（
，v=（
（uv）2
2
2
u
v
[（
a）2
（
2b）2
（3c）2][（
1）2
（2）2
（3）2]
（12
3）2
a
b
c
∴（
1
2
3）18，最小值为18
等号发生于
u//v故
a
2b
3c
a
b
c
1
2
3
a
b
c
∴abc
又a2b3c2
∴a
1
3
2、均值不等式几种常有的方法
一、凑正当
例1
设x<－1，求函数y（x1）
4
5的最值。
x
1
剖析：
欲用均值不等式来解。
因x10，则不满足“正”的条件，故需利用已知
条件调整其符号。
解：
因为x1，即x10，因此（x1）0，
则（x
1）
4
1
x
[
（x
1）
4
]
（x1）
。
4
2
[
（x
4
1）]
（x
1）
4
，即x
3
时，y有最大值，且ymax
4
51，y
当且仅当
（x1）
（x
1）
无最小值。
评注：
（1）本题经过“凑”，利用条件x
1
将有关项化为正当，从而满足公式中
正的条件。
否则就会出现（x
4
2
（x
4
4，则ymax
4
59的
1）
1）
x1
x1
错误。
（2）对于分式函数，常常等价转变成
y
a
0，b0，x
0）
的形式再
bx（a
x
求最值。
常用的转变方法有分别系数法、换元法等。
二、变定值
例2求函数f（x）
4x216
的最小值。
x2
1
剖析：
因4x216
其实不是“定值”，故不能够直接运用均值不等式，为此需对原式按
x2
1
x2
1拆（添）项重组。
解：
原函数化为
f（x）4（x2
1）
16
4
x
2
1
因为4（x2
1）
16
1
x2
24（x2
1）
16
1
16
x2
因此f（x）
16
412
。
当且仅当4（x2
1）
16
即x=1，x=－1时，f（x）min
12。
x2
1
评注：
经过拆（添）项，“变”也定值是本题求解的重点。
对此要弄清以“谁”为“基
准”（如本题中以x21为基准）来拆、添、配、凑，做到有的放矢。
例3
求函数y
x2（1
3x）（0
x
1）的最大值。
3
剖析：
因x2
（13x）
定值，故需拆凑使其满足定值条件，原函数中有一个因式
（1
3x），为使其余因式
x2与（1
3x）之和为定值，需以（
13x）为准将x2拆成
4
3x
3x，这时就有
3x
3x
（1
3x）定值。
9
2
2
2
2
解：
y
4
3x
3x
（1
3x）
9
2
2
4
3x
3x
（1
3x）
4
（
2
2
）
3
9
3
。
243
当且仅当3x
3x
1
3x，即x
2时，ymax
4
。
2
2
9
243
评注：
一般说，凑“和”为定值较难，它需要必定的技巧。
自然这种技巧本源于对
均值定理的真切理解和基本的恒等变形能力。
三、找等号
例4
求函数ycos2x
2
（xk
，k
Z）的最小值。
cos2
x
2
错解：
直接利用均值不等式，得
ycos2x2
cos2x
2cos2x222
cos2x
因此ymin22。
这种解法之因此错误，原因是cos2x2，即取不到“等”的条件。
cos2x
正解：
原函数拆项，得
y（cos2x1）1
cos2xcos2x
因为cos2x12，当且仅当cos2x1即cos2x1时等号成立，
cos2xcos2x
又因为xk（kZ）
2
因此0cos2x1，11，当且仅当cos2x1时取等号。
cos2x
上面两式同时取等号，故ymin213。
评注：
错解中取不到等号成立的条件是当cos2x2时，cos4x2，则
cos2x
cos2x2，这是不能够能的。
本例也告诉我们，在用均值不等式求三角函数最值时，既要考虑等号，又要考虑三
角函数的有界性，使等号成立的条件与三角函数的有界性保持一致。
四、综合变换
例5求函数y
2x2
3（x
0）
的最小值，以下解法可否正确？
为什么？
x
解法1：
y2x2
3
2x2
12
332x212
334，
x
x
x
xx
因此ymin334。
解法2：
y2x23
22x23
26x
x
x
当2x
2
3
312
，即x
时，
x
2
ymin2
3
12
3
2
6
324。
6
2
312
2
评注：
所给两种解法均有错误。
解法1错在取不到“等”，即不存在x使2x21
2
，
x
x
解法2错在2
6x
不是定值。
正解：
对原函数合理拆（添）项，得
y
2x2
3
2x2
3
3
x
2x
2x
33
2x
2
3
3
2x
2x
33
2
9
33
36
4
2
当且仅当2x2
3，即x
36时，ymin
3336。
2x
2
2
经过以上几例我们领悟到：
均值定理真重要，用于最值有诀窍，正确理解“正、定、
等”，合理进行拆、拼、凑。
练习：
1.已知x>0，y>0，且191，求xy的最小值。
xy
2.若a>0，b>0，且abab3，求ab的最小值。
3.求y
sinxcos2
x，x
（0，）的最大值。
2
答案与提示：
1.由1
9
1
（x1）（y
9）
9（定值），又知x>1，y>9，故当且
x
y
仅当x－1=y－9=3，即x=4，y=12时，（x
y）min
16
。
2.
由
a
b2
ab
，
得
abab32ab3ab2ab30（ab）min9
3.sinx0，cosx
0，
y2
sin2xcos4x
2sin2xcos2
xcos2x
2
1（2sin2x
cos2x
cos2x）3
4，y
4
23
2
3
27
27
9
此时，
2
2
2
2
3
cos
xcotx
2，故当
时，
。
2sinx
x
arccot2
ymax
，
9
一、配凑
1.凑系数
例1.当0x4时，求yx（82x）的最大值。
2.凑项
例2.
已知x
5，求函数f（x）4x2
1
的最大值。
4
4x
5
3.分别
例3.
求y
x2
7x10（x≠1）的值域。
x1
二、整体代换
例4.已知a
0，b
0，a
2b1，求t
1
1的最小值。
a
b
三、换元
例5.求函数yx2的最大值。
2x5
四、取平方
例6.
求函数y2x152x（
1
x
5
）的最大值。
2
2
［练一练］
1.若0x2，求yx（63x）的最大值。
2.求函数y
1
xx（3）的最小值。
x
3
x2
8
3.求函数y
（x1）的最小值。
x
1
4.已知x0，y0，且119，求xy的最小值。
xy
5设x,y是满足2xy20的正数，则lgxlgy的最大值是（）
6若a,x,y
R，且x
y
axy恒成立，则a的最小值是（）
7
1
2
2x,（0求y=sin2
x+cos
2
）的最小值
8已知函数f（x）=x2
2xa,x∈［1,+∞）
x
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值
2
（2）若对任意x∈［1,+∞）,f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围
9已知x,yR
10设xR且
x2
11求y
x2
12、设x，y，z
最小值。
，且x
4y1，则x
y的最大值为_____
x2y2
1，求x1
y2的最大值
2
5（xR）的最小值。
4
R且（x1）2
（y2）2
（z3）2
1，求xy
z之最大值，
16
5
4
111
13、已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式
xyyzzx
≤λ恒成立,求
λ的范围.
14、设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求
abc
的值.
xyz
家长签字：
升级会员 