高三数学上学期期中质量检测试题文.docx

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高三数学上学期期中质量检测试题文

江苏省常州市第一中学2017届高三数学上学期期中质量检测试题文

1．填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1.已知集合，，则

2.已知，i是虚数单位，若，则的值为_______

3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线是________________.

4.已知向量，且，则=

5.已知角的终边上一点且，则=

6.若，则=；

7.设数列的前项和为若，则;

8.已知，是双曲线：

的左，右焦点，点在上，与轴垂直，

则的离心率为；

9..已知正数满足，则的最小值是；

10.已知点为圆：

上的动点，点到某直线的最大距离为6．若在直线上任取一点作圆的切线，切点为，则的最小值是________．

11.已知的导函数为。

若，且当时，，则不等式的解集是.

12.如图,中，在边上，且,,,则=________.

13.正整数按下列方法分组：

{1}，{2，3，4}，{5，6，7，8，9}，{10，11，12，13，14，15，16}，…，记第组中各数之和为；由自然数的立方构成下列数组：

{03，13}，{13，23}，{23，33}，{33，43}，…，记第组中后一个数与前一个数的差为，则+＝．

14.已知函数若方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是。

二、解答题（共90分）

15.已知函数

（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；

（Ⅱ）求在区间[]上的单调增区间。

16.如图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC＝CD＝BO＝PO，EA＝AO＝CD=1

（1）求证：

BC⊥平面ABP；

（2）直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M。

若不存在，说明理由．

17.某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：

如果只买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；……，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶个，如果全部在甲店购买，则所需金额为元；如果全部在乙店购买，则所需金额为元．

（1）分别求出、与之间的函数关系式；

（2）该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？

18.如图，已知椭圆的四个顶点分别为,左右焦点分别为，若圆C：

（）上有且只有一个点满足，

（1）求圆C的半径；

（2）若点为圆C上的一个动点，直线交椭圆于点,

交直线于点,求的最大值；

19.已知数列满足，，，是数列的前项和．

（1）若数列为等差数列．

（ⅰ）求数列的通项；

（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；

（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

20.设函数,，其中

（I）求的单调区间；

（II）若存在极值点，且，其中，求证：

；

（Ⅲ）设，函数，求证：

在区间上的最大值不小于.

常州一中2017届高三文科数学11月质量检测

1．填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1.已知集合，，则;

考点：

集合、不等式

2.已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.2

考点：

复数的运算

3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线是________________.

考点：

双曲线渐近线方程

4.已知向量，且，则=8

考点：

向量的坐标运算

5.已知角的终边上一点且，则=

考点：

三角函数定义

6.若，则=；

考点：

三角的和差公式、倍角公式

7.设数列的前项和为若，则;121

考点：

数列的递推、求和

8.已知，是双曲线：

的左，右焦点，点在上，与轴垂直，

则的离心率为；

考点：

双曲线离心率、正弦定理

9..已知正数满足，则的最小值是；3

考点：

基本不等式

已知点为圆：

上的动点，点到某直线的最大距离为6．若在直线上任取一点作圆的切线，切点为，则的最小值是________．

考点：

直线和圆的位置关系

11.已知的导函数为。

若，且当时，，则不等式的解集是.

考点：

导数和不等式

12.如图,中，在边上，且,,,则=________.

考点：

向量数量积运算

13.正整数按下列方法分组：

{1}，{2，3，4}，{5，6，7，8，9}，{10，11，12，13，14，15，16}，…，记第组中各数之和为；由自然数的立方构成下列数组：

{03，13}，{13，23}，{23，33}，{33，43}，…，记第组中后一个数与前一个数的差为，则+＝．

2n3

考点：

数列，推理

14.已知函数若方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是。

考点：

函数图像

二、解答题

15.已知函数

（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；

（Ⅱ）求在区间[]上的单调增区间。

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）单调递增,

解：

令函数的单调递增区间是

由,得

设，易知.

所以,当时,在区间上单调递增,

考点：

三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式

16.如图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC＝CD＝BO＝PO，EA＝AO＝CD=1

（1）求证：

BC⊥平面ABP；

（2）直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；

若不存在，说明理由．

考点：

直线和平面垂直，线面平行

（1）∵PO⊥平面ABCD，

BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO，

又BC⊥AB，AB∩PO＝O，AB⊂平面ABP，PO⊂平面ABP，∴BC⊥平面ABP，………6分

（2）点E即为所求的点，即点M与点E重合．

取PO的中点N，连结EN并延长交PB于F，∵EA＝1，PO＝2，∴NO＝1，

又EA与PO都与平面ABCD垂直，

∴EF∥AB，∴F为PB的中点，∴NF＝OB＝1，∴EF＝2，

又CD＝2，EF∥AB∥CD，∴四边形DCFE为平行四边形，∴DE∥CF，

∵CF⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE∥平面PBC.∴当M与E重合时即可．

………14分

17.某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：

如果只买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；……，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶个，如果全部在甲店购买，则所需金额为元；如果全部在乙店购买，则所需金额为元．

（1）分别求出、与之间的函数关系式；

（2）该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？

考点：

函数模型的构建

解：

（1）根据题意，当x＝18时，茶壶的价格44元/个．

则y1＝……………………………………………4分

y2＝60x，x∈N*．………………………………………………………………………6分

（2）y＝y1－y2＝

当x＝10时，y＝y1－y2＝0，即y1＝y2；………………………………………………8分

当1≤x＜10时，y＝y1－y2＝－2x（x－10）＞0，即y1＞y2；…………………………10分

当10＜x≤18时，y＝y1－y2＝－2x（x－10）＜0，即y1＜y2；………12分

当x＞18时，y＝y1－y2＝－16x＜0，即y1＜y2．………13分

答：

当购买的茶壶数为10个时，到甲、乙两家茶具店花费一样多；

当购买的茶壶数小于10个时，到乙茶具店购买花费较少；

当购买的茶壶数大于10个时，到甲茶具店购买花费较少．………………………14分

18.如图，已知椭圆的四个顶点分别为,左右焦点分别为，若圆C：

（）上有且只有一个点满足，

（1）求圆C的半径；

（2）若点为圆C上的一个动点，直线交椭圆于点,

交直线于点,求的最大值；

考点：

直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，直线和椭圆

解：

（1）依题意得，

设点，由得：

，

化简得，……………2分

∴点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，

又∵点在圆上并且有且只有一个点，即两圆相切，

当两圆外切时，圆心距，成立……………4分

当两圆内切时，圆心距，不成立

∴……………6分

（2）设直线为，

由得,……………8分

联立，消去并整理得：

，

解得点的横坐标为，……………10分

把直线：

与直线:

联立解得点横坐标……………12分

所以……………16分

（∵求最大值，显然为正才可能取最大，）

19.已知数列满足，，，是数列的前项和．

（1）若数列为等差数列．

（ⅰ）求数列的通项；

（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；

（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

考点：

等差数列，数列的求和，数列的单调性

解：

（1）（ⅰ）因为，所以，

即，又，

所以，………………………………2分

又因为数列成等差数列，所以，即，解得，

所以；……………3分

（ⅱ）因为，所以，其前项和，

又因为，…………4分

所以其前项和，所以，……6分

当或时，；………7分

当或时，；………8分

当时，．……………9分

（2）由知，

两式作差，得，………………………10分

所以,

作差得，……………11分

所以，当时，；

当时，；

当时，；

当时，，……14分

因为对任意，恒成立，所以且，

所以，解得，，故实数的取值范围为．…16分

20.设函数,，其中

（I）求的单调区间；

（II）若存在极值点，且，其中，求证：

；

（Ⅲ）设，函数，求证：

在区间上的最大值不小于.

解：

（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.………2分

（2）当时，令，解得，或.

当变化时，，的变化情况如下表：

＋

0

－

0

＋

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.………4分

………8分

（Ⅲ）证明：

设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：

（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此

，所以.………10分

（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，

所以在区间上的取值范围为，因此

.………12分

……16分

考点：

导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式