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养猪策略
养猪策略
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养猪策略
摘要
本文根据某个养猪场的生猪从第一天到第24天间的生猪的体重数据建立数学模型对该养猪场未来猪的体重作出相应的预测，首先我们利用plot将题目所给的生猪的体重与时间的关系利用图形将其表现出来；接着通过综合各方面因素，我们决定建立Ｌogisｔic模型来解决问题。
通过ｍatlａb数据拟合并求解出第2５天的生猪的体重预测为＊*,通过数据检验和误差分析，发现相对误差在合理的范围内。
关键字
养猪策略，阻滞增长模型（Logistic模型），合理范围
一、问题重述
3.养猪策略:
一个养猪场每天投入5元的饲料喂养每头猪,其中某头猪的体重增长如下表：
时间（天）
1
2
3
4
5
６
７
8
重量（千克）
１0.1
11．4
13
14.８
1６.9
１9．1
21.5
２4.1
时间（周）
9
1
1６
重量（天）
26．9
３0
33.3
３6.7
４0.1
43.9
47.6
51.3
时间（天）
１7
１8
19
２0
2１
２2
２3
２4
重量（千克）
５５.1
58．7
62.3
6５.7
69.1
72.１
７5．１
7７.8
（１）试建立数学模型描述猪的体重与饲养时间的关系，并预测猪在２5天时的体重。
（2）已知在第24天时的市场价格为每千克1０元,但是预测每天会降低0.1元,问何时把猪卖出去,才能获得最大利润？
我们先从图像上来观察该养猪场时间和体重的大致关系，利用matlａb的绘图功能把上表绘制如下:
图一
从上图我们可以看出猪的体重从第1天到第２4天随时间的推移而呈现上升趋势，
但其增长速率渐渐的有所下降。
其原因是--－由于受到自然环境、养猪场自身环境等因素的影响,通过各方面的分析,我们得出猪的体重的增长率不是一个常数,
所以我们建立了阻滞增长模型（Logistｉｃ模型）。
阻滞增长模型（Ｌogｉstic模型）
ﻩ二、模型假设、模型变量和函数定义
1.猪的体重增长率随着时间的增加而线性下降,即是r（g）＝ｒ－sg其中
2．Ｇｍ为一般猪的体重所能达到的最大值，显然ｒ（Gｍ）=0
3. 为固有人口增长率,即：
三、符号说明
1. 人口固有增长率
2．Ｇｍ 为一般猪的体重所能达到的最大值
3． 人口增长系数
4.g 当前猪的体重
5.ｒ（ｇ） 当前增长率
四、模型分析与模型建立
猪的体重的增长受到自然资源、养猪场环境条件、等因素影响，当猪的体重达到一定时候,人口增长将出现阻滞作用。
阻滞作用体现在对猪体重增长率的影响上。
依照上面的定义和假设，有：
r（g）=r-sg
r（Ｇm）=０
由上面的关系式推出：
r（g）=ｒ（1-ｇ/Ｇm）
将r（g）的表达式代入指数增长模型中的微分方程中得:
[dx/dg=r（１-ｇ/Gm）g
ｇ（０）=ｇ０]
把ｇ
（1）=１0.1代入上述方程二式解之得:
g（t）＝-（Ｇm*（tａn（－（Ｇm*（（ｒ+2*atan（（101*ｉ）/（5＊Gm）-i）*i）／Ｇm-（r*t）/Gm）＊i）／２）+ ｉ）*i）/２
五、模型求解及检验
通过拟合求解,我们得到Gm＝1０0.58kｇ,r=-0．1488 。
通过这个模型可以预测
ｘ（25）=8０.３4
六、误差检验
为了检验这个模型的预测效果，我们求出预测值与真实值的相对误差。
拟合后真实值与预测值以及相对误差表如下：
（表一）：
时间
1
2
3
4
5
6
7
8
9
１0
11
真实值
10．1
11．4
1３．0
14.8
１6．9
1９．1
２１.５
24.1
26．9
30
3３.３
预测值
１0．10
11.５3
１3.１４
14.94
16.9３
１9.13
21.５4
２４．１7
27．01
30.05
３3.27
相对误差
0
０.1３
0．14
0．1４
0.03
0．0３
0.０4
0．０7
０．11
0．05
0.03
时间
１２
8
19
20
21
真实值
３6.7
40．1
43.９
４7.6
51.３
５5.1
５8.7
６2.3
６5.7
6９.1
预测值
3６.６6
４0.20
43．84
47.5４
51.2８
5５.01
５8．６9
62.27
65．73
69．０４
相对误差
0.０4
0.1
0．06
0.０6
0．02
0.09
0.0１
0.03
0.03
0.06
时间
２2
23
24
真实值
72．1
75．1
77.８
预测值
7２．17
75.1０
77．83
相对误差
0．01
0
0.03
平均相对误差0.０5４6原有数据点与拟合曲线如下图:
图二
由上表可以看出预测值与真实值的相对误差较小。
七、结果分析
我们先通过matｌab利用ploｔ将题目所给的数据制作成图形,从而对生猪的体重与时间关系有了较为直观的了解,通过综合各方面的因素（如自然环境因素等）分析，我们决定用阻滞增长模型（Logistic模型）对该养猪场的猪的重量进行预测，发现整体的相对误差比较小情况,而且后面几年的数据也比较吻合。
八、模型评价
ﻩ模型跟根据生猪体重增长的规律，做出了合理的假设，建立了符合实际的阻滞增长模型（Logｉsｔic模型）,该模型无论是对已知数据的拟合还是对未知数据的预测都相当合理。
这样的模型符合事物发展规律，预测效果不错。
问题二:
简单优化模型：
一、符号说明
1.ｐ 出售单价（元/千克）
2．C 投入的资金（元）
3．Ｑ 纯利润
４．R 出售的收入
二、模型分析与模型建立
投入资金可使生猪的体重随时间的增长,但销售单价随时间减少,应该存在一个最佳出售时机，使得获得利润最大,根据分析建立以下模型：
p=１0-0．１*（t-２4）
g=1０0.580７．/（1+（100.5807/１０.1-1）*exp（-0.1４88*（ｔ-１）））
R=p.*ｇ
C=5t
Q=Ｒ-c*t
得到目标函数的（纯利润）为：
Q= [1０-0.1*（t-24）][1０0．5807./（１＋（100.5807/10．1-1）＊exｐ（-0.1４88*（ｔ-1）））]－5t
三、模型求解及检验
通过MＡTLＡB得到如下图形:
由图形分析可得当ｔ=30天 时所得利润最大,最大利润为Q=694.３705元
所以最适合出售的时间是第3０天。
四、结果分析
敏感性分析：
由于模型假设中的参数（生猪每天的价格降低g）是估计和预测的,所以应该研究它有所变化时对模型结果的影响。
由模型一,我们可清楚的看到g与t的关系,接下来我们用相对
改变量衡量结果对参数的敏感程度。
T对g的敏感度记作ｓ（t，g）;
定义为:
ｓ（t,g）=dｔ/dｇ＊（g/ｔ）=9．9/（g-50）
当ｇ=0．1．时
s（t,g）=-0.2
即生猪的价格每天的降低g增加1%，出售时间提前0．２%。
g的微小变化对模型的结果影响并不大。
五、模型评价
通过对模型的参数进行敏感性的分析,可以看出此模型可用,且效果不错。
参考文献
[1]姜启源谢金星叶俊，数学建模（第四版），北京：
高等教育出版社,2０04年。
[2]老师的课件。
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