初高中数学衔接基础知识点专题.docx

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初高中数学衔接基础知识点专题

初高中数学衔接知识点专题

临洮二中数学组董学峰

★专题一数与式的运算

【要点回顾】

1．绝对值

[1]绝对值的代数意义：

．即．

[2]绝对值的几何意义：

的距离．

[3]两个数的差的绝对值的几何意义：

表示的距离．

[4]两个绝对值不等式:

；．

2．乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式：

；

[2]完全平方和公式：

；

[3]完全平方差公式：

．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

[公式1]

[公式2]（立方和公式）

[公式3]（立方差公式）

说明:

上述公式均称为“乘法公式”．

3．根式

[1]式子叫做二次根式，其性质如下：

（1）；

（2）；（3）；（4）．

[2]平方根与算术平方根的概念：

叫做的平方根，记作，其中叫做的算术平方根．

[3]立方根的概念：

叫做的立方根，记为

4．分式

[1]分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：

（1）；

（2）．

[2]繁分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，

说明：

繁分式的化简常用以下两种方法：

（1）利用除法法则；

（2）利用分式的基本性质．

[3]分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

【例题选讲】

例1解下列不等式：

（1）

（2）＞4．

例2计算：

（1）

（2）

（3）（4）

例3已知，求的值．

例4已知，求的值．

例5计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）：

（1）

（2）

（3）（4）

例6设，求的值．

例7化简：

（1）

（2）

（1）解法一：

原式=

解法二：

原式=

（2）解：

原式=

说明：

（1）分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；

（2）分式的计算结果应是最简分式或整式．

【巩固练习】

1．解不等式

2．设，求代数式的值．

3．当，求的值．

4．设，求的值．

5．计算

6．化简或计算：

（1）

（2）

（3）（4）

★专题二因式分解

【要点回顾】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．

1．公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式：

；

[2]完全平方和公式：

；

[3]完全平方差公式：

．

[4]

[5]（立方和公式）

[6]（立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．

2．分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

常见题型：

（1）分组后能提取公因式

（2）分组后能直接运用公式

3．十字相乘法

（1）型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．

∵，

∴

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

（2）一般二次三项式型的因式分解

由我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

4．其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：

（1）配方法

（2）拆、添项法

【例题选讲】

例1（公式法）分解因式：

（1）；

（2）

例2（分组分解法）分解因式：

（1）

（2）

例3（十字相乘法）把下列各式因式分解：

（1）

（2）

（3）（4）

解：

（1）

（2）

（3）分析：

把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数．

解：

（4）由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．解：

例4（十字相乘法）把下列各式因式分解：

（1）；

（2）

解：

（1）

（2）

说明：

用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

例5（拆项法）分解因式

【巩固练习】

1．把下列各式分解因式：

（1）

（2）

（3）（4）（5）

2．已知，求代数式的值．

3．现给出三个多项式，，，，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.

4．已知，求证：

．

★专题三一元二次方程根与系数的关系

【要点回顾】

1．一元二次方程的根的判断式

一元二次方程，用配方法将其变形为：

．

由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

[1]当Δ0时，方程有两个不相等的实数根：

；

[2]当Δ0时，方程有两个相等的实数根：

；

[3]当Δ0时，方程没有实数根．

2．一元二次方程的根与系数的关系

定理：

如果一元二次方程的两个根为，那么：

说明：

一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－（x1＋x2），q＝x1·x2，

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0．因此有

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0．

【例题选讲】

例1已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根

（3）方程有实数根；（4）方程无实数根．

例2已知实数、满足，试求、的值．

例3若是方程的两个根，试求下列各式的值：

（1）；

（2）；（3）；（4）．

例4已知是一元二次方程的两个实数根．

（1）是否存在实数，使成立？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（2）求使的值为整数的实数的整数值．

解：

（1）假设存在实数，使成立．∵一元二次方程的两个实数根，∴，又是一元二次方程的两个实数根，∴

∴，但．

∴不存在实数，使成立．

（2）∵

∴要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为．

【巩固练习】

1．若是方程的两个根，则的值为（）

A．B．C．D．

2．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是（）

A．B．C．D．大小关系不能确定

3．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则=_____，=_____．

4．已知实数满足，则=_____，=_____，=_____．

5．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11，求证：

关于的方程有实数根．

6．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．

（1）求实数的取值范围；

（2）若，求的值．

★专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数

【要点回顾】

1．平面直角坐标系

[1]组成平面直角坐标系。

叫做轴或横轴，叫做轴或纵轴，轴与轴统称坐标轴，他们的公共原点称为直角坐标系的原点。

[2]平面直角坐标系内的对称点：

对称点或对称直线方程

对称点的坐标

轴

轴

原点

点

直线

直线

直线

直线

2．函数图象

[1]一次函数：

称是的一次函数，记为：

（k、b是常数，k≠0）

特别的，当=0时，称是的正比例函数。

[2]正比例函数的图象与性质：

函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是的一条直线，当时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而；当时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而．

[3]一次函数的图象与性质：

函数（k、b是常数，k≠0）的图象是过点（0，b）且与直线y=kx平行的一条直线.设（k≠0），则当时，y随x的增大而；当时，y随x的增大而．

[4]反比例函数的图象与性质：

函数（k≠0）是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线与；又是中心对称图形，对称中心是原点．

【例题选讲】

例1已知、，根据下列条件，求出、点坐标．

（1）、关于x轴对称；

（2）、关于y轴对称；（3）、关于原点对称．

例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于、两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。

例3如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：

当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

解：

（1）在的图象上，，又在的图象上，，即，解得：

，，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为，

（2）从图象上可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。

【巩固练习】

1．函数与在同一坐标系内的图象可以是（）

2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知，，求点的坐标．　

3．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．

（1）求的值；

（2）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．

★专题五二次函数

【要点回顾】

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

问题[1]函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？

问题[2]函数y＝a（x＋h）2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的方法：

由于y＝ax2＋bx＋c＝a（x2＋）＋c＝a