111 棱柱棱锥棱台的结构特征.docx

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111棱柱棱锥棱台的结构特征

1．1　空间几何体的结构

1．1.1　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

[学习目标]

1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征．

2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算．

[知识链接]

　观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？

答　

（1）、（8）为圆柱；

（2）为长方体；（3）、（6）为圆锥；（4）、（10）为圆台；（5）、（7）、（9）为棱柱；（11）、（12）为球；（13）、（16）为棱台；（14）、（15）为棱锥．

[预习导引]

1．空间几何体

（1）概念：

如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体．

（2）多面体与旋转体

多面体：

由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体（如图），围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．

2．几种常见的多面体

多面体

定义

图形及表示

相关概念

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

如图可记作：

棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′

底面（底）：

两个互相平行的面．

侧面：

其余各面．

侧棱：

相邻侧面的公共边．

顶点：

侧面与底面的公共顶点．

棱锥

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.

如图可记作，棱锥S－ABCD

底面（底）：

多边形面．

侧面：

有公共顶点的各个三角形面．

侧棱：

相邻侧面的公共边．

顶点：

各侧面的公共顶点．

棱台

用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.

如图可记作：

棱台ABCD－A′B′C′D′

上底面：

原棱锥的截面．

下底面：

原棱锥的底面．

侧面：

其余各面

侧棱：

相邻侧面的公共边．

顶点：

侧面与上（下）底面的公共顶点.

要点一　棱柱的结构特征

例1　下列关于棱柱的说法：

（1）所有的面都是平行四边形；

（2）每一个面都不会是三角形；

（3）两底面平行，并且各侧棱也平行；

（4）被平面截成的两部分可以都是棱柱．

其中正确说法的序号是________．

答案　（3）（4）

解析　

（1）错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；

（2）错误，棱柱的底面可以是三角形；

（3）正确，由棱柱的定义易知；

（4）正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是（3）（4）．

规律方法　棱柱的结构特征：

（1）两个面互相平行；

（2）其余各面是四边形；

（3）相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．

跟踪演练1　下列关于棱柱的说法错误的是（　　）

A．所有的棱柱两个底面都平行

B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行

C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱

D．棱柱至少有五个面

答案　C

解析　对于A，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：

有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱．

要点二　棱锥、棱台的结构特征

例2　下列关于棱锥、棱台的说法：

（1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

（2）棱台的侧面一定不会是平行四边形；

（3）棱锥的侧面只能是三角形；

（4）由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

（5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

其中正确说法的序号是________．

答案　

（2）（3）（4）

解析　

（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；

（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

（3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；

（4）正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

（5）错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．

规律方法　判断棱锥、棱台形状的两个方法

（1）举反例法：

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．

（2）直接法：

棱锥

棱台

定底面

只有一个面是多边形，此面即为底面

两个互相平行的面，即为底面

看侧棱

相交于一点

延长后相交于一点

跟踪演练2　棱台不具有的性质是（　　）

A．两底面相似B．侧面都是梯形

C．侧棱长都相等D．侧棱延长后相交于一点

答案　C

解析　由棱台的概念（棱台的产生过程）可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．

要点三　多面体的表面展开图

例3　画出如图所示的几何体的表面展开图．

解　表面展开图如图所示：

规律方法　多面体表面展开图问题的解题策略：

（1）绘制展开图：

绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．

（2）已知展开图：

若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．

跟踪演练3　下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是（　　）

答案　C

解析　将四个选项的平面图形折叠，看哪一个可以复原为正方体.

1．三棱锥的四个面中可以作为底面的有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

答案　D

解析　由于三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.

2．棱柱的侧面都是（　　）

A．三角形B．四边形

C．五边形D．矩形

答案　B

解析　由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形．

3．如图所示，不是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（　　）

A．①③B．②④

C．③④D．①②

答案　C

解析　可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．

4．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台（仅填相应序号）．

答案　①③④　⑥　⑤

解析　结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．

5.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．

答案　四棱柱

解析　由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．

1．棱柱、棱锥、棱台的关系

在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）．

2．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力．

一、基础达标

1．在棱柱中满足（　　）

A．只有两个面平行

B．所有面都平行

C．所有面都是平行四边形

D．两对面平行，且各侧棱也相互平行

答案　D

解析　由棱柱的定义可得只有D成立．

2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点（　　）

A．四条侧棱、四个顶点B．八条侧棱、四个顶点

C．四条侧棱、八个顶点D．六条侧棱、八个顶点

答案　C

解析　四棱柱有四条侧棱、八个顶点（可以结合正方体观察求得）．

3．下列说法中，正确的是（　　）

A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥

B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形

D．棱台的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

答案　A

4．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是（　　）

A．①是棱柱B．②不是棱锥

C．③不是棱锥D．④是棱台

答案　B

解析　结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．

5.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒（如图），则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（　　）

答案　A

解析　两个不能相并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．

6．下列说法正确的有________．

①棱柱的侧面都是平行四边形；

②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；

③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；

④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；

⑤多面体至少有四个面．

答案　①②④⑤

解析　棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．

棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．

棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点（即原棱锥的顶点），故③错④对．⑤显然正确．

因而正确的有①②④⑤.

7.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.

问：

（1）折起后形成的几何体是什么几何体？

（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？

（3）每个面的三角形面积为多少？

解　

（1）如图，折起后的几何体是三棱锥．

（2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．

（3）S△PEF＝a2，

S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，

S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝（2a）2－a2－a2－a2＝a2.

二、能力提升

8．在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条

数共有（　　）

A．20B．15

C．12D．10

答案　D

解析　正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D.

9．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右图的平面图形，则标“△”的面的方位是________．

答案　北

解析　如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，沿棱DD1，D1C1，C1C剪开，使正方形DCC1D1向北方向展开；沿棱AA1，A1B1，B1B剪开，使正方形ABB1A1向南方向展开，然后将正方体沿BC剪开并展开，则标“△”的面的方位是北．

10．如图，M是棱长为2cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.

答案　

解析　由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm,3cm，故两点之间的距离是cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是cm.

11．已知正三棱锥V－ABC，底面边长为8，侧棱长为2，计算它的高和斜高．

解　

如图所示，设O是底面中心，

D为BC的中点，

∴△VAO和△VCD是直角三角形．

∵底面边长为8，侧棱长为2，

∴AO＝×8＝，CD＝4，

∴VO＝＝

＝.

VD＝＝＝2.

即正三棱锥的高是，斜高为2.

三、探究与创新

12.长方体ABCD－A1B1C1D1（如图所示）中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．

解　把长方体的部分面展开，如图所示．

对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为、、，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为.

13.如图所示：

已知三棱台ABC－A′B′C′.

（1）把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；

（2）把它分成三个三棱锥并用字母表示．

解　

（1）如下图

（1）所示，三棱柱是棱柱A′B′C′－AB″C″，多面体是B′C′BCC″B″.

（2）如下图

（2）所示：

三个三棱锥分别是A′－ABC，B′－A′BC，C′－A′B′C.