四川省邻水实验学校学年高二下学期期中考试.docx

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四川省邻水实验学校学年高二下学期期中考试

邻水实验学校高2017级2019年春季学期期中考试

理科数学试卷

命题人：

王方俊审题人：

周永平李福明

时间：

120分钟满分：

150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求）

1．与向量a＝（1，－3,2）平行的一个向量的坐标是（　　）

A.B．（－1，－3,2）

C.D．（，－3，－2）

2．设z＝＋i，则|z|＝（　　）

A.B．C.D．2

3．下列函数中，在（0，＋∞）上为增函数的是（　　）

A．y＝sin2xB．y＝ln（1＋x）－x

C．y＝x3－xD．

4．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是（　　）

A．②①③B．①②③

C．③①②D．②③①

6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：

“是乙或丙获奖”，乙说：

“甲、丙都未获奖”，丙说：

“我获奖了”，丁说：

“是乙获奖了”，四位歌手说的话都是假话，则获奖的歌手是（　　）

A．甲　　B．乙　　　C．丙　D．丁

7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为（　　）

A.B.C.D.

8．设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图，则导函数y＝f′（x）的图象可能为（　　）

9．设a＝，则a、b、c的大小关系（　　）

A．a>b>cB．b>a>c

C．a>c>bD．b>c>a

10．用数学归纳法证明12+22+…+（n-1）2+n2+（n-1）2+…+22+12=时，从n=k到n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）

A.（k-1）2+2k2B.（k+1）2+k2

C.（k+1）2D.（k+1）［2（k+1）2+1］

11.观察下列各式:

55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为（）

A.0625B.3125C.5625D.8125

12．若关于的不等式≤成立，则的最小值是

A.B.C.D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝2，则AB与PC的夹角的余弦值为__________．

14．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋（a，b为常数）过点P（2，－5），且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．

15．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最小值是________．

16．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：

①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是________．

三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.

（1）建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；

（2）求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．

18．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝－x3＋3x2＋9x＋a.

（1）求f（x）的单调递减区间；

（2）若f（x）在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

19.（本小题满分12分）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝CC1＝2，∠ACB＝90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG.

（1）确定点G的位置；

（2）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小．

20.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ax4lnx＋bx4－c在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．

（1）试确定a，b的值；

（2）讨论函数f（x）的单调区间；

（3）若对任意x>0，不等式f（x）≥－2c2恒成立，求c的取值范围．

21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．

（1）证明：

PC⊥平面BEF；

（2）求平面BEF与平面BAP夹角的大小．

22.（本小题满分12分）已知函数在x＝2处的切线的斜率为。

（1）求实数a的值。

（2）若当x>0时，y＝f（x）－m有两个零点，求实数m的取值范围。

（3）设g（x）＝＋b若对于任意x1∈，总存在x2∈（e＝2.71828…），使得f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围。

邻水实验学校高2017级2019年春季学期期中考试

理科数学答案命题人：

王方俊

1、选择题CBDBCACDABDA

二、填空题13．答案：

14．答案：

－315．答案：

4

16．解析：

因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为（2,3,1,4），（3,2,1,4）；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为（3,1,2,4）；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为（2,1,4,3），（3,1,4,2），（4,1,3,2）．综上，符合条件的有序数组的个数是6.

答案：

6

三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

解：

（1）建立如图所示的直角坐标系D－xyz.

∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，

∴A（2,0,0），C（0,1,0），B（2,4,0）．

由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°.

在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2.

∴P（0,0,2）．

（2）∵＝（2,0，－2），＝（－2，－3,0），

∴cos〈，〉

＝＝－.

∴PA与BC所成的角的余弦值为.

18．答案；解　

（1）∵f¡ä（x）＝－3x2＋6x＋9.

令f¡ä（x）＜0，解得x＜－1或x＞3，

∴函数f（x）的单调递减区间为（－¡Þ，－1），（3，＋¡Þ）．

（2）∵f（－2）＝8＋12－18＋a＝2＋a，

f

（2）＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

∴f

（2）＞f（－2）．

于是有22＋a＝20，∴a＝－2.

∴f（x）＝－x3＋3x2＋9x－2.

∵在（－1,3）上f¡ä（x）＞0，∴f（x）在[－1,2]上单调递增．

又由于f（x）在[－2，－1]上单调递减，

∴f

（2）和f（－1）分别是f（x）在区间[－2,2]上的最大值和最小值，

∴f（－1）＝1＋3－9－2＝－7，

即f（x）最小值为－7.

19.（本小题满分12分）解：

（1）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1,0,0），E（1,1,0），A（0,2,0），C1（0,0,2），＝（0，－2,2）．

设G（0,2，h），则＝（－1,1，h）．

∵AC1⊥EG，∴¡¤＝0.

∴－1×0＋1×（－2）＋2h＝0.∴h＝1，

即G是AA1的中点．

（2）设m＝（x，y，z）是平面EFG的法向量，则m⊥，m⊥.

所以.

平面EFG的一个法向量m＝（1,0,1）．

∵sin¦È＝＝＝，

∴¦È＝，即AC1与平面EFG所成角¦È为.

20.（本小题满分12分）

解：

（1）由题意知f

（1）＝－3－c，

因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.

f¡ä（x）＝4ax3lnx＋ax4¡¤＋4bx3

＝x3（4alnx＋a＋4b）．

由题意f¡ä

（1）＝0，因此a＋4b＝0，

解得a＝12.

（2）由

（1）知f¡ä（x）＝48x3lnx（x>0）．

令f¡ä（x）＝0，解得x＝1.

当0

当x>1时，f¡ä（x）>0.

因此f（x）的单调递减区间为（0,1），

f（x）的单调递增区间为（1，＋¡Þ）．

（3）由

（2）知，f（x）在x＝1处取得极小值f

（1）＝－3－c，此极小值也是最小值，

要使f（x）≥－2c2（x>0）恒成立，只需－3－c¡Ý－2c2，

即2c2－c－3≥0，从而（2c－3）（c＋1）≥0，

解得c¡Ý或c¡Ü－1，所以c的取值范围为（－¡Þ，－1]∪.

21．（本小题满分12分）

（1）证明　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形，

∴A，B，C，D，P的坐标为A（0,0,0），B（2,0,0），C（2,2，0），D（0,2，0），P（0,0,2）．

又E，F分别是AD，PC的中点，∴E（0，，0），F（1，，1）．

∴＝（2,2，－2），＝（－1，，1），＝（1,0,1）．

∴¡¤＝－2＋4－2＝0，¡¤＝2＋0－2＝0.

∴⊥，⊥

∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF¡ÉEF＝F，

∴PC⊥平面BEF.

（2）解　由

（1）知平面BEF的一个法向量n1＝＝（2,2，－2），平面BAP的一个法向量n2＝＝（0,2，0），

∴n1¡¤n2＝8.

设平面BEF与平面BAP的夹角为¦È，

则cos¦È＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，

∴¦È＝45°.∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°.

22.（本小题满分12分）解　

（1）x>0时，f（x）＝（x2－2ax）ex，

f¡ä（x）＝ex[x2＋（2－2a）x－2a]，

由条件知f¡ä

（2）＝，所以a＝。

（2）当x>0时，f（x）＝ex，

所以f¡ä（x）＝ex（x－1）（2x＋3）。

f（x）在（0,1）内单调递减，在（1，＋¡Þ）内单调递增，f（0）＝f＝0，则f（x）min＝f

（1）＝－，

所以m¡Ê时，y＝f（x）－m有两个零点。

（3）由题意，即要f（x）min¡Ýg（x）min。

（*）

当x>0时，f（x）＝ex，

由

（2）知f（x）min＝f

（1）＝－，

当x>0时，－x<0，所以g（x）＝＋b＝b，g¡ä（x）＝b¡¤。

因为x2¡Ê，所以¡Ü0。

¢Ù若b>0，g（x）在上是减函数，

g（x）min＝g（e）＝b。

因为f（x）min

¢Ú若b<0，g（x）在上是增函数，

g（x）min＝g＝b（1＋e）。

要使f（x）min¡Ýg（x）min，只要－¡Ýb（1＋e），

则b¡Ü－，

即b的取值范围是。