天津市南开中学届高三数学理统练15.docx
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天津市南开中学届高三数学理统练15
一、选择题（共8小题，每题5分）
1.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（）．
A.B.
C.D.
2.已知，为异面直线，平面，平面．直线满足，，，，则（ ）．
A.且B.与相交，且交线垂直于
C.且D.与相交，且交线平行于
3.从点作直线与圆交于两点，若要满足，则这样的直线（）．
A.有且仅有一条B.不超过两条C.有无数条D.不存在
4.直线与圆的位置关系是（）．
A.相交B.相切C.相离D.不确定，与有关
5.若直线通过点，则（）．
A.B.C.D.
6.已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则（）．
A.B.C.D.4
7.若曲线与直线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）．
A.B.C.D.
8.过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（）．
A.B.C.D.
二、填空题（共6个小题，每题5分）
9.若直线：
与直线：
互相平行，则的值等于．
10.若圆与圆（）的公共弦的长为，
则．
11.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是．
12.在已知直线：
与：
的上方有一点，到、的距离分别是和，则点的坐标为．
13.设函数，且，则的取值范围是．
14.已知在圆上有一点.分别为轴上的两点，满足，且直线与圆交于两点，则直线的斜率为.
三、解答题（共6个小题）
15.的内角所对的边分别为.
（1）若成等差数列，证明：
；
（2）若成等比数列，求的最小值.
16.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望.（注：
若三个数满足，则称为这三个数的中位数）
17.已知直线l过点P（3,2），且与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B.
（1）求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
（2）求直线l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线l的方程；
（3）当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程．
18.已知等比数列满足：
，．
（）求数列的通项公式；
（）是否存在正整数，使得？
若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
19.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，
点分别在棱,上移动，且.
（1）当时，证明：
直线平面；
（2）是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20.设，在平面直角坐标系中，已知向量，向量,,动点的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知，证明：
存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B，且（O为坐标原点），并求出该圆的方程；
（3）已知，设直线与圆C:
（1并求最大值.
天津南开中学2015届高三数学统练15（直线与圆）参考答案
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
C
A
D
C
A
B
三、解答题：
15.的内角所对的边分别为.
（1）若成等差数列，证明：
；
（2）若成等比数列，求的最小值.
解：
（1）成等差数列
由正弦定理得
.
（2）成等比数列
由余弦定理得
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
即，所以的最小值为.
16.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望.（注：
若三个数满足，则称为这三个数的中位数）
17.已知直线l过点P（3,2），且与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B.
（1）求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
（2）求直线l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线l的方程；
（3）当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程．
解：
（1）设l的方程为=1，则A（a,0），B（0,b）且a＞0，b＞0，
又∵l过P（3,2）∴=1∵a，b＞0∴1=≥2得ab≥24，
∴S△AOB=ab≥12当且仅当即a=6，b=4时取“=”．∴S△AOB的最小值为12，此时，l的方程为=1即2x＋3y－12=0．
（2）由
（1）知，=1，∴a＋b=（）（a＋b）=＋5≥2＋5=5＋2
当即a=3＋，b=2＋时取“=”.∴l在两坐标轴上截距之和的最小值为5＋2，此时l的方程为=1即2x＋y－2－6=0．
或者设l的方程为y－2=k（x－3）（k＜0，令x=0，则y=－3k＋2令y=0，
则x=－＋3，∴a＋b=－－3k＋5≥2＋5当且仅当=3k．即k=－时取“=”.
（3）由
（2）知A（－＋3,0），B（0,－3k＋2）∴|PA|·|PB|=
≥=12
（当且仅当k2=即k=－1时取“=”）此时l的方程为y－2=－（x－3）即x＋y－5=0．
18.已知等比数列满足：
，．
（）求数列的通项公式；
（）是否存在正整数，使得？
若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
解：
（）设等比数列的公比为，则由已知条件得：
解得或
所以数列的通项为或.
（）若，则，故数列是首项为，公比为的等比数列，从而．
若，则，故数列是首项为，公比为的等比数列，
从而，故．
综上，对任意整数，总有．
故不存在这样的正整数，使得成立．
19.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，
点分别在棱,上移动，且.
（1）当时，证明：
直线平面；
（2）是否存在，使平面与面
所成的二面角为直二面角？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
解：
以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系，
由已知得，
所以，，，
（I）证明：
当时，，因为，
所以，即，
而平面，且平面，
故直线平面.
（II）设平面的一个法向量，
由可得，于是取，
同理可得平面的一个法向量为，
若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，
则，
即，解得，
故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.
20.设，在平面直角坐标系中，已知向量，向量,,动点的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知，证明：
存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B，且（O为坐标原点），并求出该圆的方程；
（3）已知，设直线与圆C:
（1并求最大值.
解:
（1）因为,,,所以,即.当m=0时,方程表示两直线,方程为；当时,方程表示的是圆；当且时,方程表示的是椭圆；当时,方程表示的是双曲线.
（2）.当时,轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△=,
即,即,且
要使,需使,即,
∴,即且,即恒成立.
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,,所求的圆为.
当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.
综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
（3）当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:
（1（2）知,即①,
因为与轨迹E只有一个公共点B1,
由
（2），得,即有唯一解
则△=,即,
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