牛吃草问题练习及答案解析.docx
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牛吃草问题练习及答案解析
牛吃草问题
历史起源:
英国数学家牛顿(1642—1727)说过:
“在学习科学的时候,题目比规那么还有用些〞因此在他的著作中,每当阐述理论时,总是把许多实例放在一起。
在牛顿的?
普遍的算术?
一书中,有一个关于求牛和头数的题目,人们称之为牛顿的牛吃草问题。
主要类型:
1、求时间
2、求头数
除了总结这两种类型问题相应的解法,在实践中还要有培养运用“牛吃草问题〞的解题思想解决实际问题的能力。
根本思路:
①在求出“每天新生长的草量〞和“原有草量〞后,头数求时间时,我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)〞求出天数。
②天数求只数时,同样需要先求出“每天新生长的草量〞和“原有草量〞。
③根据(“原有草量〞+假设干天里新生草量)÷天数〞,求出只数。
根本公式:
解决牛吃草问题常用到四个根本公式,分别是∶
(1)草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数);
(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`
(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度
第一种:
一般解法
“有一牧场,养牛27头,6天把草吃尽;养牛23头,9天把草吃尽。
如果养牛21头,那么几天能把牧场上的草吃尽呢?
并且牧场上的草是不断生长的。
〞
一般解法:
把一头牛一天所吃的牧草看作1,那么就有:
(1)27头牛6天所吃的牧草为:
27×6=162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。
)
(2)23头牛9天所吃的牧草为:
23×9=207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。
)
(3)1天新长的草为:
(207-162)÷(9-6)=15
(4)牧场上原有的草为:
27×6-15×6=72
(5)每天新长的草足够15头牛吃,21头牛减去15头,剩下6头吃原牧场的草:
72÷(21-15)=72÷6=12(天)
所以养21头牛,12天才能把牧场上的草吃尽。
第二种:
公式解法
有一片牧场,草每天都匀速生长(草每天增长量相等),如果放牧24头牛,那么6天吃完牧草,如果放牧21头牛,那么8天吃完牧草,假设每头牛吃草的量是相等的。
(1)如果放牧16头牛,几天可以吃完牧草?
(2)要使牧草永远吃不完,最多可放多少头牛?
解答:
1) 草的生长速度:
(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)
原有草量:
21×8-12×8=72(份)
16头牛可吃:
72÷(16-12)=18(天)
2) 要使牧草永远吃不完,那么每天吃的份数不能多于草每天的生长份数
所以最多只能放12头牛。
例题一一片青草地,每天都匀速长出青草,这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周,那么这片草地可供21头牛吃几周?
解:
把每天每头牛吃的草量看成“1〞。
第6周时总草量为:
6×27=162
第9周时总草量为:
9×23=207
3周共增加草量:
207-162=45
每周新生长草:
45÷〔9-6〕=15即每周生长出的草可以供15头牛吃。
原有草量为:
162-6×15=72
所以可供21头牛吃:
72÷〔21-15〕=12〔周〕
随堂练习:
1、牧场上有一片草地,每天牧草都匀速生长。
这片牧草可供10头牛吃20天,或可供15头牛吃10天,问可供25头牛吃几天?
解:
20天时草地上共有草:
10×20=200
10天时草地上共有草:
15×10=150
草生长的速度为:
〔200-150〕÷〔20-10〕=5
即每天生长的草可供5头牛吃。
原草量为:
200-20×5=100
可供25头牛吃:
100÷〔25-5〕=5〔天〕
2、一片草地,每天都匀速长出青草。
如果可供24头牛吃6天,或20头牛吃10天吃完。
那么可供19头牛吃几天?
解:
6天时共有草:
24×6=144
10天时共有草:
20×10=200
草每天生长的速度为:
〔200-144〕÷〔10-6〕=14
原有草量:
144-6×14=60
可供19头牛:
60÷〔19-14〕=12〔天〕
3、一片牧场长满草,每天匀速生长,这片牧场可供5头牛吃8天,可供14头牛吃2天,问可供10头牛吃几天?
解:
8天时草的总量为:
5×8=40
2天时草的总量为:
14×2=28
草每天生长的速度为:
〔40-28〕÷〔8-2〕=2
即每天生长的草可供2头牛吃。
草地上原有的草为:
28-2×2=24
可供10头牛吃:
24÷〔10-2〕=3〔天〕
4、某牧场上的草,假设用17人去割,30天可以割尽,假设用19人去割,那么只要24天便可割尽,问用多少人割,6天可以割尽?
〔草匀速生长,每人每天割草量一样〕
解:
〔17×30-19×24〕÷〔30-24〕=9
17×30-9×30=240
240÷6+9=49〔人〕
5、武钢的煤场,可储存全厂45天的用煤量。
当煤场无煤时,如果用2辆卡车去运,那么除了供给全厂用煤外,5天可将煤场储满;如果用4辆小卡车去运,那么9天可将煤场储满。
如果用2辆大卡车和4辆小卡车同时去运,只需几天就能将煤厂储满?
〔假设全厂每天用煤量相等。
〕
解:
〔45+5〕÷5=10〔45+9〕÷9=645÷〔10+6-1〕=3〔天〕
6、林子里有猴子喜欢吃的野果,23只猴子可在9周吃光,21只猴子可在12周吃光,问如果有33只猴子一起吃,那么需要几周吃光?
〔假定野果生长的速度不变〕【2007】4
解:
〔21×12-23×9〕÷〔12-9〕=15
23×9-15×9=72
72÷〔33-15〕=4〔周〕
7、一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。
问多少头牛5天可以把草吃完?
解:
〔10×20-15×10〕÷〔20-10〕=5
10×20-20×5=100
100÷5+5=25〔头〕
例题二由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长多,反而以固定的速度在减少,照这样计算,某牧场草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天,那么,可供多少头牛吃10天?
解:
5天时草地上共有草:
5×20=100
6天时草地上共有草:
6×15=90
每天草地上的草减少:
〔100-90〕÷〔6-5〕=10
原草量为:
100+5×10=150
10天后还剩下的草量:
150-10×10=50
50÷10=5〔头〕
随堂练习:
1、因天气渐冷,牧场上的草以固定的速度减少。
牧场上的草可供33头牛吃5天,或可供24头牛吃6天。
照这样计算,这个牧场可供多少头牛吃10天?
解:
5天时草地上共有草:
33×5=165
6天时草地上共有草:
24×6=144
每天减少:
〔165-144〕÷〔6-5〕=21
原有的草量为:
165+5×21=270
10共减少了:
21×10=210
10天后剩草量为:
270-210=60
60÷10=6〔头〕
2、天气逐渐变冷,牧场上的草每天以均匀的速度减少。
经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天。
那么可供11头牛吃几天?
解:
5天时共有草:
20×5=100
6天时共有草:
16×6=96
草减少的速度为:
〔100-96〕÷〔6-5〕=4
原有的草量为:
100+4×5=120
可供11头牛吃:
120÷〔11+4〕=8〔天〕
3、因为天气日渐寒冷,牧场上的草不但不生长,反而以固定的速度每天在减少。
如果20头牛去吃20天可以吃完;如果30头牛去吃15天可以吃完。
那么,如果10头牛去吃____天可以吃完。
解:
〔30×15-20×20〕÷〔20-15〕=10
20×20+10×20=600
600÷〔10+10〕=30〔天〕
答:
10头牛去吃30天可吃完。
4、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定速度在减少。
某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供12头牛吃7天。
照此计算,可供6头牛吃几天?
解:
假设1头牛1天吃1份的草
20头牛5天一共吃了:
20×5=100份的草
12头牛7天一共吃了:
12×7=84份的草
时间相差:
7-5=2〔天〕
草量减少:
100-84=16份的草
说明,一天减少:
16÷2=8份的草
5天减少了:
8×5=40份的草
原来牧场上有:
100+40=140份的草
这140份的草,可供6头牛吃:
140÷(6+8)=10(天)
例题三自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼,男孩每分钟走20级台阶,女孩每分钟走15台阶,结果男孩用5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上。
问该扶梯共有多少级台阶?
解:
5分钟时男孩共走了:
20×5=100〔台阶〕
6分钟时女孩共走了:
15×6=90〔台阶〕
自动扶梯的速度为:
〔100-90〕÷〔6-5〕=10〔台阶〕
自动扶梯共有:
100+5×10=150〔台阶〕
随堂练习:
1、两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走,在20秒里,男孩可走27级台阶,女孩可走24级台阶,男孩走了2分钟到另一端,女孩走了3分钟到达另一端,该扶梯共有多少级台阶?
解:
男孩共走了:
2×60÷20×27=162
女孩共走了:
3×60÷20×24=216
自动扶梯的速度:
〔216-162〕÷〔3-2〕=54〔台阶〕
162-54×2=54
2、自动扶梯以均匀的速度行驶着,小明和小红要从扶梯上楼。
小明每分钟走25级台阶,小红每分钟走20级台阶,结果小明用5分钟,小红用了6分钟分别到达楼上。
该扶梯共有多少级台阶?
解:
5分钟小明共走了:
25×5=125
6分钟小红共走了:
20×6=120
自动扶梯的速度为:
〔125-120〕÷〔6-5〕=5
该扶梯的台阶:
125+5×5=150〔台阶〕
3、自动扶梯以均匀的速度行驶着,小明和小红要从扶梯上楼。
小明每分钟走20级台阶,小红每分钟走14级台阶,结果小明用4分钟,小红用了5分钟分别到达楼上。
该扶梯共有多少级台阶?
解:
5分钟小明共走了:
20×4=80
6分钟小红共走了:
14×5=70
自动扶梯的速度为:
〔80-70〕÷〔6-5〕=10
该扶梯的台阶:
80+10×4=120〔台阶〕
4、自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个性急的孩子嫌扶梯走得慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒钟向上走1梯级,女孩每3秒钟走2梯级。
结果男孩用50秒到达楼上,女孩用60秒到达楼上。
该扶梯共有多少级?
解:
〔50×1-60÷3×2〕÷〔60-50〕=1
50×1+50×1=100〔级〕
例题四一只船有一个漏洞,水以均匀的速度进入舱,发现漏洞时已经进了一些水,如果用12人舀水,3小时舀完。
如果只有5个人舀水,要10小时才能舀完。
现在要想2小时舀完水,需要多少人?
解:
把每个人每小时的舀水量看成单位‘1’
3个小时后共有水:
12×3=36
10个小时后共用水:
5×10=50
每小时的进水量:
〔50-36〕÷〔10-3〕=2
发现时船舱有水:
36-3×2=30
原水量舀完共需:
30÷2=15〔人〕
共需:
15+2=17〔人〕
随堂练习:
1、一只船发现漏水时,已经进了一些水,现在水匀速进入船,如果10人淘水,3小时可淘完;5人淘水8小时可淘完。
如果要求2小时淘完,要安排多少人淘水?
解:
3小时后共有水:
3×10=30
8小时后共有水:
8×5=40
进水速度为:
〔40-30〕÷〔8-3〕=2
原有水量为:
30-3×2=24
24÷2=12〔人〕12+2=14〔人〕
2、有一个长方形的水箱,上面有一个注水孔,底面有个出水孔,两孔同时翻开后,如果每小时注水30立方米,7小时可以注满水箱;如果每小时注水45立方米,注满水箱可少用2.5小时。
那么每小时由底面小孔排水多少立方米?
〔每小时排水量一样〕
解:
7小时共注水:
7×30=210〔立方米〕
4.5小时共注水:
〔7-2.5〕×45=202.5〔立方米〕
排水速度为:
〔210-202.5〕÷〔7-4.5〕=3〔立方米〕
3、一水池,池底有泉水不断涌出,用10部抽水机20小时可以把水抽干,用15部一样的抽水机10小时可以把水抽干。
那么有25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干?
解:
20小时共抽水:
10×20=200
10小时共抽水:
15×10=150
泉水涌出的速度为:
〔200-150〕÷〔20-10〕=5
原有水量为:
200-20×5=100
25部可以在:
100÷〔25-5〕=5〔小时〕
4、有一眼泉井,用功率一样的3台抽水机去抽井水,同时开机,40分钟可以抽干;用同样的6台抽水机去抽,那么只需要16分钟就可以抽干,那么用同样的抽水机9台,几分钟可以抽干?
解:
〔3×40-6×16〕÷〔40-16〕=1
16×6-16×1=80
80÷〔9-1〕=10〔分钟〕
例题4有一口水井,连续不断涌出泉水,每分钟涌出的水量相等。
如果使用3台抽水机来抽水,36分钟可以抽完;如果使用5台抽水机来抽水,20分钟可抽完。
现在12分钟要抽完井水,需要抽水机多少台?
解:
36分钟时的总水量为:
3×36=108
20分钟时的总水量为:
5×20=100
涌水的速度为:
〔108-100〕÷〔36-20〕=0.5
原水量为:
100-20×0.5=90
90÷12=7.5〔台〕7.5+0.5=8〔台〕
随堂练习:
1、一艘轮船发生漏水事故,船长立即安排两部抽水机同时向外抽水,当时已经漏了500桶水,一部抽水机每分钟抽水18桶,另一部每分钟抽水12桶,经过25分钟把水抽完,问每分钟漏进水多少桶?
解:
25分钟共抽水:
〔18+12〕×25=750〔桶〕
25分钟共漏水:
750-500=250〔桶〕
每分钟漏水:
250÷25=10〔桶〕
2、有一口井,连续不断涌出泉水,每分钟涌出的泉水量相等。
如果用4台抽水机来抽水,40分钟可以抽完;如果用5台抽水机来抽水,30分钟可以抽完。
现在要求24分钟抽完井水,需要抽水机多少台?
解:
40分钟抽水量为:
40×4=160
30分钟抽水量为:
30×5=150
泉水的速度为:
〔160-150〕÷〔40-30〕=1
原有的水量为:
160-40×1=120
24分钟抽完原水量需:
120÷24=5〔台〕
共需:
5+1=6〔台〕
3、有一口井,连续不断涌出泉水,每分钟涌出的水量相等,假设用4台抽水机15分钟可抽完。
假设用8台抽水机7分钟可抽完,现用11台抽水机多少分钟可抽完?
解:
15分钟时抽出的水为:
4×15=60
7分钟时抽出的水位:
7×8=56
泉水的速度为:
〔60-56〕÷〔15-7〕=0.5
原有的水为:
60-15×0.5=52.5
52.5÷〔11-0.5〕=5〔分钟〕
4、一个水池安装有排水量相等的排水管假设干根,一根入水管不断地往池里放水,平均每分钟入水量相等。
现在如果开放3根排水管45分钟可把池中水排完,如果开放5根排水管25分钟可把池中水排完。
如果开放8根排水管,几分钟排完池中的水?
解:
45分钟时共排水:
45×3=135
25分钟时共排水:
5×25=125
每分钟进水速度为:
〔135-125〕÷〔45-25〕=0.5
原有水为:
125-25×0.5=112.5
112.5÷〔8-0.5〕=15〔分钟〕
5、一个水库水量一定,河水匀速流入水库。
5台抽水机连续20天可抽干,6台同样的抽水机15天可抽干。
假设要求6天抽干,需要多少台同样的抽水机?
解:
20天共抽水:
20×5=100
15天共抽水:
15×6=90
进水的速度为:
〔100-90〕÷〔20-15〕=2
原有水为:
100-2×20=60
60÷6=10〔台〕10+2=12〔台〕
6、一个水池,池底有水流均匀涌出.假设将满池水抽干,用10台水泵需2小时,用5台同样的水泵需7小时,现要在半小时把满池水抽干,至少要这样的水泵多少台?
解:
设每台水泵每小时抽水量为一份.
〔1〕水流每小时的流入量:
〔5×7-10×2〕÷〔7-2〕=3〔份〕
〔2〕水池原有水量:
5×7-3×7=14〔份〕
或10×2-3×2=14〔份〕
〔3〕半小时把水抽干,至少需要水泵:
〔14+3×0.5〕÷0.5=31〔台〕
例题五有三块草地,面积分别为5公顷、6公顷和8公顷。
草地上的草一样厚,而且长的一样快。
第一块草地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天。
问第三块草地可供19头牛吃多少天?
解:
每公顷在第10天时共有草:
11×10÷5=22
每公顷在第14天时共有草:
12×14÷6=28
每公顷草每天生长的速度为:
〔28-22〕÷〔14-10〕=1.5
8公顷每天生长的草为:
1.5×8=12
每公顷的原草量为:
22-10×1.5=7
8公顷原草量为:
8×7=56
原草量可供吃:
56÷〔19-12〕=8〔天〕
1、有3个长满草的牧场,每块地每公亩草量一样而且都是匀速生长。
第一牧场33公亩,可供22头牛吃54天;第二牧场28公亩,可供17头牛吃84天;第三牧场40公亩,可供多少头牛吃24天?
解:
54天时每亩有草量为:
22×54÷33=36
84天时每亩有草量为:
17×84÷28=51
每亩地草生长的速度为:
〔51-36〕÷〔84-54〕=0.5
40亩地每天生长的草为:
40×0.5=20
每亩地的原草量为:
36-54×0.5=9
40亩地的原草量为:
40×9=360
360÷24=15〔头〕
15+20=35〔头〕
2、一个农夫有2公顷、4公顷和6公顷三块牧场,三场牧场上的草长得一样密,而且长得一样快,农夫将8头牛赶到2公顷的牧场,5天吃完了,农夫又将这8头牛赶到4公顷的牧场,15天又吃完了;最后,这8头牛又被赶到6公顷的牧场,这块牧场够吃多少天?
解:
5×8÷2=20
15×8÷4=30
〔30-20〕÷〔15-5〕=1
1×6=6
20-5×1=15
15×6=90
90÷〔8-6〕=45〔天〕
3、有3片牧场,场上的草长得一样密,而且长得一样快,它的面积为
公亩、10公亩和24公亩。
12头牛4星期吃完第一片牧场原有的和4星期新长出来的草;21头牛9星期吃完第二片牧场原有的和9星期新长出来的草。
多少头牛18星期才能吃完第三片牧场原有的和新长出来的草?
解:
4星期时每公亩共有草:
12×4÷
=14.4
9星期时每公亩共有草:
21×9÷10=18.9
每星期新长出的草为:
〔18.9-14.4〕÷〔9-4〕=0.9
每公亩原有的草量为:
14.4-4×0.9=10.8
24公亩每星期长出的草为:
24×0.9=21.6
24公亩原有的草量为:
24×10.8=259.2
259.2÷18=14.4〔头〕14.4+21.6=36〔头〕
4、12头牛28天可吃完10公亩牧场上全部牧草,21头牛63天可吃完30公亩牧场上全部牧草。
多少头牛126天可吃完72公亩牧场上全部牧草?
〔每公亩牧场上原有草量相等,且生长量也相等〕
解:
28天时每公亩草地上有草:
28×12÷10=33.6
63天时每公亩草地上有草:
63×21÷30=44.1
每天每公亩草生长的速度为:
〔44.1-33.6〕÷〔63-28〕=0.3
72公亩草地每天生长的草为:
72×0.3=21.6
每公亩原有草为:
33.6-28×0.3=25.2
72公亩原有草为:
72×25.2=1814.4
1814.4÷126=14.4〔头〕14.4+21.6=36〔头〕
5、有三块草地,面积分别是5、15、25亩。
草地上的草一样厚,而且长得一样快。
第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,那么第三块草地可供多少头牛吃60天?
解:
30×10÷5=60
28×45÷15=84
〔84-60〕÷〔45-30〕=1.6
1.6×25=40
60-1.6×30=12
12×25=300
300÷60=5〔头〕
40+5=45〔头〕
6、12头牛4周吃完6公顷的牧草,20头牛6周吃完12公顷的牧草.假设每公顷原有草量相等,草的生长速度不变.问多少头牛8周吃完16公顷的牧草?
解:
设1头牛吃一周的草量为一份.
〔1〕每公顷每周新长的草量:
〔20×6÷12-12×4÷6〕÷〔6-4〕=1〔份〕
〔2〕每公顷原有草量:
12×4÷6-1×4=4〔份〕
〔3〕16公顷原有草量:
4×16=64〔份〕
〔4〕16公顷8周新长的草量:
1×16×8=128〔份〕
〔5〕8周吃完16公顷的牧草需要牛数:
〔128+64〕÷8=24〔只〕
1、在一片牧场里,放养4头牛,吃6亩草,18天可以吃完:
放养6头牛,吃10亩草,30天可以吃完,请问放入多少头牛,吃8亩草,24天可以吃完?
〔假定这片牧场每亩中的原草量一样,且每天草的生长两相等〕
解:
4×18÷6=126×30÷10=18
〔18-12〕÷〔30-18〕=0.58×0.5=4
12-18×0.5=33×8=24
24÷24+4=5〔头〕
例题六某火车站的检票口,在检票开场前已有一些人排队,检票开场后每分钟有10人前来排队检票,,一个检票口每分钟能让25人检票进站,如果只有一个检票口,检票开场8分钟后就没有人排队;如果有两个检票口,那么检票后多少分钟就没有人排队?
解:
8分钟共检票:
25×8=200〔人〕
原有人数位:
200-8×10=120〔人〕
开两个窗口需时:
120÷〔25×2-10〕=3〔分钟〕
随堂练习:
1、车站开场检票时,有a名旅客排队等候进站,检票开场后,仍有旅客陆续前来,设旅客按固定的速度增加,检票的速度也是固定的,假设开放一个检票口,那么需要30分钟才可以将排队的旅客全部检票完毕,假设开放两个检票口,那么需要10分钟便可将排队的旅客全部检票完毕,如果要在5分钟将排队的旅客全部检票完毕,使后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口?
解:
〔1×30-2×10〕÷〔30-10〕=0.5
1×30-0.5×30=15
15÷5+0.5=3.5〔个〕
要开4个检票口。
2、某车站在检票前假设干分钟就开场排队,每分钟来的旅客人数一样多。
从开场检票到等候检票的队伍消失,同时开4个检票口需要30分钟,同时开5个检票口需20分钟。
如果同时翻开7个检票口,那么需多少分钟?
解:
30分钟共检票:
30×4=120
20分钟共检票:
20×5=100
人来的速度为:
〔120-100〕÷〔30-20〕=2
原有人数:
120-30×2=60
60÷〔7-2〕=12〔分钟〕
3、某火车站检票前开场排队,假假设前来排队检票的人数均匀增加,假设开一个检票口,需要20分钟可以检完;假设开两个检票口,需要8分钟可以检完;假设开三个检票口,需要多少多少分钟可以检完?
解:
〔1×20-2×8〕÷〔20-8〕=
1×20-20×
=
÷〔3-
〕=5〔分钟〕
4、某天世博会中国馆的入口处已有945名游客开场等候检票进馆。
此时每分钟还有假设干人前来入口处准备进馆。
如果翻开4个检票口,15分钟游客可以全部进馆;如果翻开8个检票口,7分钟游客可以全部进馆。
现在要求在5分钟所有游客全部进馆,需要