高中数学人教A版选修22课时训练15 定积分的概念151152153 Word版含答案.docx

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高中数学人教A版选修22课时训练15定积分的概念151152153Word版含答案

定积分的概念

曲边梯形的面积

汽车行驶的路程

定积分的概念

[学习目标]

．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．

．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．

．了解定积分的概念．

．了解定积分的几何意义和性质．

[知识链接]

．如何计算下列两图形的面积？

答　①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．

．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？

答　为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．

．当（）在区间[，]上且（）<时，（）表示的含义是什么？

答　当（）在区间[，]上值小于零时，（）表示由＝（），＝，＝，＝所围成的图形的面积的相反数．

[预习导引]

．曲边梯形的面积

（）曲边梯形：

由直线＝，＝（≠），＝和曲线＝（）所围成的图形称为曲边梯形（如图①所示）．

（）求曲边梯形面积的方法

把区间[，]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值（如图②所示）．

（）求曲边梯形面积的步骤：

①分割，②近似代替，③求和，④取极限．

．求变速直线运动的（位移）路程

如果物体做变速直线运动，速度函数＝（），那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在≤≤内所作的位移.

．定积分的概念

如果函数（）在区间[，]上连续，用分点＝<<…<－<<…<＝将区间[，]等分成个小区间，在每个小区间[－，]上任取一点ξ（＝，…，）作和式（ξ）Δ＝（ξ），当→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数（）在区间[，]上的定积分，记作（），即（）＝（ξ）．其中与分别叫做积分下限和积分上限，区间[，]叫做积分区间，函数（）叫做被积函数，叫做积分变量，（）叫做被积式．

．定积分的几何意义

如果在区间[，]上函数（）连续且恒有（）≥，那么定积分（）表示由直线＝，＝，＝和＝（）所围成的曲边梯形的面积．

．定积分的性质

（）（）＝（）（为常数）；

（）[（）±（）]＝（）±（）；

（）（）＝（）＋（）（其中<<）．

要点一求曲边梯形的面积

例求抛物线（）＝＋与直线＝，＝，＝所围成的曲边梯形的面积.

解　（）分割：

把区间[]等分成个小区间（＝，…，），其长度Δ＝，把曲边梯形分成个小曲边梯形，其面积记为Δ（＝，…，）．

（）近似代替：

用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．

Δ＝·Δ＝·（＝，…，）．

（）求和：

＝.

（）取极限：

＝·

＝＋·

＝＋

＝＋＝.

所以所求的曲边梯形的面积为.

规律方法分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：

①思想：

以直代曲；②步骤：

化整为零―→以直代曲―→积零为整―→无限逼近；③关键：

以直代曲；④结果：

分割越细，面积越精确．

跟踪演练用定积分的定义求由＝，＝，＝，＝围成的图形的面积．

解　（）分割：

把区间[]等分成个小区间

（＝，…，）．其长度为Δ＝，把三角形分成一个小三角形和（－）个小梯形，其面积分别记为Δ（＝，…，）．

（）近似代替：

用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积，取ξ＝（＝，…，），

则Δ＝Δ＝··＝（－）（＝，…，）．

（）作和：

＝（－）

＝[＋＋＋…＋（－）]＝·.

（）取极限：

＝（－）

＝·＝.

要点二求变速运动的路程

例用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由落体的运动速度＝，求在时间区间[，]内物体下落的距离．

解　（）分割：

将时间区间[，]分成等份．

把时间[，]分成个小区间（＝，…，），

每个小区间所表示的时间段Δ＝－＝，在各小区间物体下落的距离记作Δ（＝，…，）．

（）近似代替：

在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．

在上任取一时刻ξ（＝，…，），可取ξ使（ξ）＝近似代替第个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δ＝内所经过的距离可近似表示为Δ≈··（＝，…，）．

（）求和：

＝

＝···

＝[＋＋＋…＋（－）]

＝.

（）取极限：

＝＝.

规律方法求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：

分割、近似代替、求和、取极限．

跟踪演练一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻的速度为（）＝－＋（单位：

），试计算这辆汽车在≤≤（单位：

）这段时间内行驶的路程（单位：

）．

解　（）分割：

在区间[]上等间隔插入－个点，将区间分成个小区间.记第个小区间为（＝，…，），Δ＝.则汽车在时间段，，上行驶的路程分别记为：

Δ，Δ，…，Δ，…，Δ，有＝.

（）近似代替：

取ξ＝（＝，…，），

Δ≈·Δ＝·

＝－·＋（＝，…，）．

＝＝

＝－·＋.

（）取极限：

＝

＝＝.

要点三利用定积分定义计算定积分

例利用定积分定义计算（＋）的值．

解　（）分割：

∵（）＝＋在区间[]上连续，将区间[]分成等份，则每个区间长度为Δ＝，

（）近似替代：

在[－，]＝[＋，＋]上取ξ＝－＝＋（＝，…，），

于是（ξ）＝（－）＝＋＋＝＋，

（）求和：

从而（ξ）Δ＝（＋）·

＝（＋）

＝·＋[＋＋＋…＋（－）]

＝＋·＝＋，

（）取极限：

（＋）＝（＋）＝＋＝.

规律方法（）利用定积分的定义计算定积分的值能加深对定积分的概念及其几何意义的理解，用定积分的定义求定积分的步骤是：

①分割，②近似代替，③求和，④取极限．（）在每个小区间[－，]上对ξ的选取是任意的，为了计算方便，ξ可都取为每个小区间的左端点（或都取为右端点）．

跟踪演练利用定积分的定义，计算（＋）的值．

解　令（）＝＋.

（）分割

在区间[]上等间隔地插入－个分点，把区间[]等分成个小区间[，]（＝，…，），每个小区间的长度为Δ＝－＝.

（）近似代替、求和

取ξ＝（＝，…，），

则＝（）·Δ

＝＋]·

＝＋]

＝＋[＋＋＋…＋（－）]

＝×＋＝－.

（）取极限

（＋）＝＝（－）＝.

要点四定积分几何意义的应用

例用定积分的意义求下列各式的值．

（）－（＋）；　（）∫－.

解　（）由直线＝－，＝，＝以及＝＋所围成的图形，如图所示：

－（＋）表示由直线＝－，＝，＝以及＝＋所围成的图形在轴上方的面积减去在轴下方的面积，

∴（＋）＝××（×＋）－·＝－＝.

（）

由＝可知，＋＝，（≥）图象如图，由定积分的几何意义知∫－等于圆心角为°的弓形的面积与矩形的面积之和．

弓形＝×π×－××××

＝－，

矩形＝·＝××＝，

∴∫－＝－＋＝＋.

规律方法（）用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：

①准确画出各曲线围成的平面区域；

②把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意轴下方有没有区域；

③解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限；

④根据积分的性质写出结果．

（）利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．

跟踪演练利用定积分的几何意义求：

（）－；　（）.

解　（）被积函数的曲线是圆心在原点，半径为的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，所以有

－＝＝π.

（）∵被积函数为＝，其表示的曲线为以原点为圆心，为半径的四分之一的圆，由定积分的几何意义可知，所求的定积分即为该四分之一圆的面积．

∴＝π·＝π.

．把区间[]等分，所得个小区间的长度均为（）

．

．．

答案　

解析　区间[]的长度为，故等分后，每个小区间的长度均为.

．定积分（）的大小（）

．与（）和积分区间[，]有关，与ξ的取法无关

．与（）有关，与区间[，]以及ξ的取法无关

．与（）以及ξ的取法有关，与区间[，]无关

．与（）、积分区间[，]和ξ的取法都有关

答案　

．求由曲线＝与直线＝，＝，＝所围成的平面图形面积时，把区间等分，则面积的近似值（取每个小区间的左端点）是．

答案　

解析　将区间等分所得的小区间为，，，，，

于是所求平面图形的面积近似等于

＝×＝.

．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：

①；

②.

答案　①>②<

．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：

（）分割：

等分区间[，]；

（）近似代替：

取点ξ∈[－，]；

（）求和：

（ξ）·；

（）取极限：

＝（ξ）·.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点（或中点）．

．定积分（）是一个和式（ξ）的极限，是一个常数．

．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．

．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.

一、基础达标

．当很大时，函数（）＝在区间上的值，可以近似代替为（）

．．

．．（）

答案　

．一物体沿直线运动，其速度（）＝，这个物体在＝到＝这段时间内所走的路程为（）

．

．．

答案　

解析　曲线（）＝与直线＝，＝，横轴围成的三角形面积＝即为这段时间内物体所走的路程．

．由直线＝，＝，＝和曲线＝所围成的曲边梯形，将区间等分，则曲边梯形面积的近似值（取每个区间的右端点）是（）

．

．．

答案　

解析　将区间[]四等分，得到个小区间：

，，，，

以每个小区间右端点的函数值为高，个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值

＝×＋×＋×＋×＝.

．下列命题不正确的是（）

．若（）是连续的奇函数，则－（）＝

．若（）是连续的偶函数，则－（）＝（）

．若（）在[，]上连续且恒正，则（）＞

．若（）在[，]上连续且（）>，则（）在[，]上恒正

答案　

解析　对于，（－）＝－（），－（）＝－（）＋（）＝－∫（）＋（）＝，同理正确；由定积分的几何意义知，当（）>时，（）>即正确；但（）>，不一定有（）恒正，故选.

．已知＝，则－等于．

答案　－

解析　∵（）＝在[－，]上是奇函数，

∴－＝.而－＝－＋，

又＝，∴－＝－.

．由＝，＝，＝－π，＝所围成图形的面积写成定积分的形式是＝.

答案　－－π

解析　由定积分的意义知，由＝，＝，＝－π，＝围成图形的面积为＝－－π.

．求直线＝，＝，＝与曲线＝所围成的曲边梯形的面积．

解　令（）＝.

（）分割

将区间[]等分，分点依次为

＝，＝，＝，…，－＝，＝.

第个区间为（＝，…，），每个区间长度为Δ＝－＝.

（）近似代替、求和

取ξ＝（＝，…，），

＝·Δ＝·＝

＝（＋＋…＋）

＝·＝.

（）取极限

＝＝＝，

即所求曲边梯形的面积为.

二、能力提升

．已知（）＝－＋，则－（）的值为（）

．等于．大于

．小于．不确定

答案　

解析　易知（）为奇函数，由奇函数的性质－（）＝－（），而－（）＝－（）＋（）＝.

．设＝，＝，＝，则，，的大小关系是（）

．>>．>>

．＝>．>>

答案　

解析　根据定积分的几何意义，易知＜<，＞＞，故选.

．设（）是连续函数，若（）＝，（）＝－，则（）＝.

答案　－

解析　因为（）＝（）＋（），

所以（）＝（）－（）＝－.

．已知∫＝＝，∫＝，求下列定积分：

（）；（）∫（＋）.

解　（）＝∫＋＝.

（）∫（＋）＝∫＋∫＝＋.

．已知函数（）＝，求（）在区间[－π]上的定积分．

解　由定积分的几何意义知

－＝，＝＝π－，

∫＝，