定积分教案.docx

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定积分教案

《数学分析》

之九

第九章定积分（14+4学时）

教学大纲

教学要求：

1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义

2．了解上和与下和及其有关性质

3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类

4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式

5．了解积分第一中值定理

6．掌握变上限积分及其性质

7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法

教学内容：

问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。

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时间

---------月---------日

星期-----------------

课

题

§1定积分概念（2学时）

教学目的

知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：

分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；

教学重点

深刻理解并掌握定积分的思想

教学难点

理解并掌握定积分的思想，理解定积分是特殊和式的极限

课型

理论讲授

教学媒体

教法选择

讲练结合

教学过程

教法运用及板书要点

复习极限的定义，极限的唯一性定理；

导数的引入例子及其物理意义；

不定积分概念，及其与导数运算的性质；

定积分是特殊和式的极限

一、问题背景：

1.曲边梯形的面积:

思想：

以“不变”代“变”：

方法：

分割；近似；求和；取极限

设函数在闭区间上连续，且。

则由曲线，直线，以及轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。

下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）。

在区间内任取个分点，依次为

它们将区间分割成个小区间，。

记为，即，。

并用表示区间的长度，记，再用直线，把曲边梯形分割成个小曲边梯形（如上右图）。

在每个小区间，上任取一点，，作以为高，为底的小矩形，其面积为，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于连续，它在每个小区间上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。

于是，该曲边梯形面积的近似值为

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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。

从而

。

2.变力所作的功:

思想：

以“不变”代“变”：

方法：

分割；近似；求和；取极限

变力所作的功W设质点受力F的作用沿轴由点移动到点，并设F处处平行于轴（如下图），同上述，有

，

而

根据上述两个例子建立数学模型

对于函数，按照上述方法，讨论“极限”

方法：

分割；近似；求和；取极限

二、定积分的定义:

3.有关概念：

分割；分割T的模

积分和（黎曼和）；

可积，黎曼可积，被积函数，积分变量，积分区间，积分上限、积分下限

函数，方法：

分割；近似；求和；取极限

定义设是定义在[]上的一个函数，对于[]的一个分割，任取点，，并作和式。

称此和式为在[]关于分割T的一个积分和，也称黎曼和。

（注：

积分和既与分割T有关，也与点的取法有关）。

又设是一个确定的实数，若对任给的，总存在，使得对[]的任意分割T，以及，，只要，就有

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。

则称函数在[]上可积或黎曼可积。

数称为函数在[]上

的定积分或黎曼积分，记作：

其中称为被积函数，称为积分变量，[]称为积分区间，称为被积式，分别称为积分的下限和上限。

定积分的几何意义；

连续函数定积分存在（见定理9.3）

三、举例:

例1 已知函数在区间上可积.用定义求积分.

解取等分区间作为分法

取

.=

.

由函数在区间上可积,每个特殊积分和之极限均为该积分值.

例2 已知函数在区间上可积,用定义求积分.

解分法与介点集选法如例1,有

.

上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分

.

四、小结：

指出本讲要点

定积分的概念（几何意义）；

定积分的问题背景；

若定积分存在，按定义计算定积分的值时，分割与介点的选取，可取特殊点，解题步骤（回顾例1）。

作业：

课后1.2.

（1）

（2）

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时间

---------月---------日

星期-----------------

课

题

§2Newton—Leibniz公式（2学时）

教学目的

深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.

教学重点

能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分

教学难点

应用定积分计算形式的极限

课型

理论课

教学媒体

教法选择

讲练结合

教学过程

教法运用及板书要点

一、复习定积分的定义，分割；积分和（黎曼和）；极限存在（可积）；

定积分的几何意义；

注：

定积分的值只与被积函数及积分区间[]有关，而与积分变量所用的符号无关。

二、定积分的计算

（1），按定义计算

（2）应用下列定理

Th9.1（N—L公式）

若函数在【a，b】上连续，且存在原函数，即，则在【a，b】上可积，且

这个公式称作（N—L公式）

（证明思路函数函数在【a，b】上连续，则一致连续）

（根据定积分定义与极限定义证明）

证明：

（略）

例1求

;;

例2利用（N—L公式）求下列定积分

1），

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2）

3）

4）

5）

例3求

.

小结：

1.利用N-L公式求定积分的步骤。

2.利用定积分定义计算形如

的极限时，找被积函数的方法；

利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。

练习p.207第二题

作业p206,1.2

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时间

---------月---------日

星期-----------------

课

题

§3可积条件（2学时）

（一）

教学目的

理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件，熟悉证明可积性的问题的思路和方法.

教学重点

掌握可积的充要条件

教学难点

函数可积性问题的证明；

课型

理论课

教学媒体

教法选择

讲授

教学过程

教法运用及板书要点

一、必要条件:

定理9.2若函数f（x）[a,b]，f（x）在区间[a,b]上有界.

证明方法：

反证法

回顾f（x）在区间[a,b]上无界的定义，回顾定积分定义中的两个“任意”（插入点任意，介点选取任意）

给出证明：

例1讨论Dirichlet函数D（x）在区间[0,1]上的可积性.

强调可积与函数有界之间的关系

二、充要条件:

1.思路与方案:

思路:

鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法及介点无关的条件.

复习极限的双逼原理

方案:

定义上和S（T）和下和s（T）.研究它们的性质和当

时有相同极限的充要条件.

.

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设T={}为对[,b]的任一分割。

由f（x）在[,b]上有界知，它在每个上存在上、下确界：

,.

作和

，，

分别称为f（x）关于分割T的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给，，显然有

.

说明：

与积分和相比，达布和只与分割T有关，而与点的取法无关。

2.Darboux和:

以下总设函数f（x）在区间[a,b]上有界.并设

其中和分别是函数f（x）在区间[a,b]上的下确界和上确界

Darboux和定义：

指出Darboux和未必是积分和.但Darboux和由分法唯一确定.分别用S（T）、s（T）和记相应于分法T的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和是数集（多值）.但总有s（T）S（T）

因此有

.

和的几何意义.

*3.Darboux和的性质:

分点增加，上和不增，下和不减.

定理9.3（可积准则）函数在上可积的充要条件是：

对任意的，总存在相应的分割T，使得

（本定理的证明，参见§6）

定理9.3的几何意义

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设,并称为在上的振幅，有必要时记为。

则有

。

定理9.函数在上可积对，，使得

。

不等式或

的几何意义：

若函数f（x）在[a,b]上可积，则p.209图9-7中包围曲线的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。

三、小结：

可积的必要条件与可积准则

可积函数的充分条件（证明函数可积的思路和方法）

当函数f（x）在区间[a,b]上含某些点的小区间上振幅作不到任意小时,可试用f（x）在区间[a,b]上的振幅作的估计,有.此时,倘能用总长小于

否则f（x）为常值函数的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法的一部分分点，在区间[a,b]的其余部分作分割，使在每个小区间上有

<,

对如此构造的分法,有

<

.

作业：

p2121和2

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时间

---------月---------日

星期-----------------

课

题

§3可积条件（2学时）

（二）

教学目的

进一步理解可积的必要条件以及可积准则，掌握可积函数类，熟悉证明可积性问题的思路和方法.

教学重点

熟记可积函数类

教学难点

应用可积的充要条件，证明函数的可积性

课型

理论课

教学媒体

教法选择

讲授

教学过程

教法运用及板书要点

一、复习可积的必要条件与可积准则

二、可积函数类

可积函数的充分条件

1．闭区间上的连续函数必可积：

定理9.4若函数是上的连续函数，则函数是上可积。

证明思路：

应用闭区间上的连续函数一致连续

根据定积分的定义，应用可积准则

（给出证明） 

2．闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积. 

定理9.5若函数是上的有界且仅有有限个间断点的函数。

则函数是上可积。

证明思路：

不失一般性，假设函数在上仅有一个间断点的情形，并假设该间断点为。

取特殊的分割，应用可积准则。

（给出证明） 

推论1闭区间上按段连续函数必可积.

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推论2设函数在区间上有界且其间断点仅有有限个聚点,则函数在区间上可积.

例判断题:

闭区间上仅有一个间断点的函数必可积.（） 

闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积.（） 

3.闭区间上的单调函数必可积：

定理9.6若函数是上的单调函数，则函数在上可积。

证明思路：

（证明过程）

例2用两种方法证明

在[0,1]上可积.

例3证明黎曼函数

在区间【0，1】内可积，且

小结：

常见的可积函数类（三类）

证明可积函数的方法

作业:

p2123

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时间

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