全国通用版 高考数学文 精编冲刺练习习题 大题每日一题规范练第三周.docx

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全国通用版高考数学文精编冲刺练习习题大题每日一题规范练第三周

星期一　（三角）　2019年____月____日

【题目1】（本小题满分12分）已知f（x）＝a·b，其中a＝（2cosx，－sin2x），b＝（cosx，1），x∈R.

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）＝－1，a＝，且向量m＝（3，sinB）与n＝（2，sinC）共线，求边长b和c的值.

解　

（1）由题意知，f（x）＝2cos2x－sin2x＝1＋cos2x－sin2x＝1＋2cos.

令2kπ－π≤2x＋≤2kπ（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ－（k∈Z），

所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）.

（2）由题意得f（A）＝1＋2cos＝－1，即cos＝－1，又<2A＋<，

所以2A＋＝π，即A＝.又a＝，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝（b＋c）2－3bc＝.

又向量m＝（3，sinB）与n＝（2，sinC）共线，则2sinB＝3sinC，

由正弦定理得2b＝3c.则b＝，c＝1.星期二　（数列）　2019年____月____日

【题目2】（本小题满分12分）Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和.

解　

（1）由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.可得a－a＋2（an＋1－an）＝4an＋1，即

2（an＋1＋an）＝a－a＝（an＋1＋an）（an＋1－an）.

由于an>0，可得an＋1－an＝2.

又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1（舍去），a1＝3.

所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.

（2）由an＝2n＋1可知

bn＝＝＝.

设数列{bn}的前n项和为Tn，则

Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝

＝.

星期三　（概率统计）　2019年____月____日

【题目3】（本小题满分12分）通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：

男

女

总计

爱好

40

20

60

不爱好

15

25

40

总计

55

45

100

（1）能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？

请说明理由；

（2）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率.

附：

P（K2≥k0）

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

K2＝，且n＝a＋b＋c＋d.

解　

（1）K2＝≈8.25>6.635，

∴有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关.

（2）由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a，b，c，d；女生2名，分别记为m，n.

则抽取的结果共有15种：

（a，b），（a，c），（a，d），（a，m），（a，n），（b，c），（b，d），（b，m），（b，n），（c，d），（c，m）（c，n），（d，m），（d，n），（m，n），

设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种：

（a，m），（a，n），（b，m），（b，n），（c，m），（c，n），（d，m），（d，n）.

则P（A）＝.

∴选出的2人中恰有1名女大学生的概率为.

星期四　（立体几何）　2019年____月____日

【题目4】（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体D－ABC中：

（1）求证：

BC⊥平面ACD；

（2）点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F－BCE的体积.

（1）证明　∵AC＝＝2，

∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，

∴在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos∠BAC＝8，

∴AB2＝AC2＋BC2＝16，

∴AC⊥BC，

∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，

∴BC⊥平面ACD.

（2）解　∵AD∥平面BEF，AD⊂平面ACD，平面ACD∩平面BEF＝EF，

∴AD∥EF，

∵E为AC的中点，

∴EF为△ACD的中位线，

由

（1）知，VF－BCE＝VB－CEF＝×S△CEF×BC，

S△CEF＝S△ACD＝××2×2＝，

∴VF－BCE＝××2＝.

星期五　（函数与导数）　2019年____月____日

【题目5】（本小题满分12分）已知a为实数，函数f（x）＝alnx＋x2－4x.

（1）若x＝3是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值；

（2）设g（x）＝（a－2）x，若存在x0∈，使得f（x0）≤g（x0）成立，求实数a的取值范围.

解　

（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝＋2x－4＝.

∵x＝3是函数f（x）的一个极值点，

∴f′（3）＝0，解得a＝－6.

经检验，当a＝－6时，x＝3是函数f（x）的一个极小值点，符合题意，故实数a＝－6.

（2）由f（x0）≤g（x0），得（x0－lnx0）a≥x－2x0，

记F（x）＝x－lnx（x>0），则F′（x）＝（x>0），

∴当0

当x>1时，F′（x）>0，F（x）单调递增.

∴F（x）≥F

（1）＝1>0，∴a≥.

记G（x）＝，x∈，

则G′（x）＝

＝.

∵x∈，∴2－2lnx＝2（1－lnx）≥0，

∴x－2lnx＋2>0，

∴当x∈时，G′（x）<0，G（x）单调递减；

当x∈（1，e）时，G′（x）>0，G（x）单调递增.

∴G（x）min＝G

（1）＝－1，∴a≥G（x）min＝－1，

故实数a的取值范围为[－1，＋∞）.

星期六　（解析几何）　2019年____月____日

【题目6】（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

＋y2＝1，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.

（1）求证：

k1·k2＝－；

（2）试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由.

（1）证明　∵k1，k2存在，∴x1x2≠0，

∵m·n＝0，∴＋y1y2＝0，

∴k1·k2＝＝－.

（2）解　①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，

由＝－，得－y＝0，

又由P（x1，y1）在椭圆上，得＋y＝1，

∴|x1|＝，|y1|＝.

∴S△POQ＝|x1|·|y1－y2|＝1.

②当直线PQ的斜率存在时，

设直线PQ的方程为y＝kx＋b（b≠0）.

由得（4k2＋1）x2＋8kbx＋4b2－4＝0，

Δ＝64k2b2－4（4k2＋1）（4b2－4）＝16（4k2＋1－b2）>0，

∴x1＋x2＝，x1x2＝.

∵＋y1y2＝0，

∴＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝0，

得2b2－4k2＝1，满足Δ>0.

∴S△POQ＝·|PQ|＝|b|

＝2|b|·＝1.

综上可知，△POQ的面积S为定值.

星期天　（选考内容）　2019年____月____日

【题目7】（在下面两题中任选一题作答.注意：

只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.）

1.（本小题满分10分）选修4－4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|AB|＝8，求实数a的值.

解　

（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数，a∈R），

∴曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.

∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，

∴ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，

∴x2＋4x－x2－y2＝0，

即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.

（2）将直线l的参数方程

（t为参数）代入曲线C2的直角坐标方程

得t2－2t＋2－8a＝0.

Δ＝（－2）2－4（2－8a）>0，即a>0，

设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，

则

根据参数方程中参数的几何意义可知

|AB|＝|t1－t2|＝＝＝＝8，解得a＝2.

2.（本小题满分10分）选修4－5：

不等式选讲

已知函数f（x）＝|2x－1|，x∈R.

（1）解不等式f（x）<|x|＋1；

（2）若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：

f（x）<1.

（1）解　∵f（x）<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1，

即或或

得≤x<2或0

故不等式f（x）<|x|＋1的解集为{x|0

（2）证明　f（x）＝|2x－1|＝|2（x－y－1）＋（2y＋1）|

≤|2（x－y－1）|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|

≤2×＋＝<1.