立体几何中求体积常用方法汇集.docx
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立体几何中求体积常用方法汇集
立体几何中求体积常用方法汇集
教学内容：
立体几何中求体积常用方法。
考情分析：
近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的表面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。
即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。
知识点梳理
1、柱体、台体、锥体的侧面积公式
注意体会柱体、锥体、台体侧面积公式之间的统一性。
2、空间几何体的体积公式
V柱体=Sh．
V锥体=．
V台体=．
3、球的表面积和体积．
．V球=．
一、直接法
例1、（2011·广东）如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ）．
A．18B．12C．9D．6
分析：
根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．
解析 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为，故V＝3×3×＝9.
答案 C
以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．
练习1、（2012·东莞模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）．
A.πB.π
C.π＋8D．12π
解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋π＝π.
答案 A
二、等积代换
三、平行移动法
四、割补法
对于题目中出现一些不规则的几何图形，不能直接套用公式，需要按照题目的要求，将原几何图形分割成或添加补成可求体积的几何体，然后再求解。
例、四面体S—ABC的三组对棱分别相等，且依次为2、、5，求该四面体的体积．
分析：
由三条对棱相等，易联想到长方体的三组相对的面上的对角线长相等，因此可将四面体补成一个长方体来解决．
（一）来自三棱柱的截体
例1、如图1，正四面体中，分别是棱的中点，求证：
平面把正四面体分割成的两部分几何体的体积相等．
分析：
显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？
如果选择补，那么补成什么样子呢？
显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割．
证明：
连结，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．
当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．
（二）来自正方体的截体
例2、如图2，已知多面体中，两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，则该多面体的体积为（ ）
Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8
解法一（割）：
如图3，过点作于，连结，这样就把多面体分割成一个直三棱柱和一个斜三棱柱．
于是所求几何体的体积为：
．
解法二（补）：
如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半．
于是所求几何体的体积为．
（三）
来自圆柱的截体
例3图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的
最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_______．
解法一（割）：
如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上
面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长1，而上面的圆柱的高为3．
于是所求几何体的体积为．
解法二（补）：
如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与
已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是．
练习1、如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．
练习2、如图所示，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截下部分的体积是____________．
练习3、如图，在多面体中，已知平面是边长为的正方形，,,且与平面的距离为，则该多面体的体积为_________
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