综上可知，g（a）＝]
5．（教材改编）已知函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________．
（－∞，1]∪[2，＋∞） [∵f（x）＝x2－2ax－3＝（x－a）2－a2－3，
∴f（x）关于x＝a对称．
要使y＝f（x）在区间[1,2]上具有单调性，
只需a≥2或a≤1.]
函数单调性的判断
（1）函数f（x）＝log2（x2－1）的单调递减区间为________．
（2）试讨论函数f（x）＝x＋（k＞0）的单调性．
（1）（－∞，－1） [由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）．
令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈（0，＋∞）上为增函数，
t＝x2－1在x∈（－∞，－1）上是减函数，所以函数f（x）＝log2（x2－1）的单调递减区间为（－∞，－1）．]
（2）法一：
由解析式可知，函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）．在（0，＋∞）内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f（x2）－f（x1）＝－＝（x2－x1）＋k＝（x2－x1）.
因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.
故当x1，x2∈（，＋∞）时，f（x1）＜f（x2），
即函数在（，＋∞）上单调递增．
当x1，x2∈（0，）时，f（x1）＞f（x2），
即函数在（0，）上单调递减．
考虑到函数f（x）＝x＋（k＞0）是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在（－∞，－）上单调递增，在（－，0）上单调递减．
综上，函数f（x）在（－∞，－）和（，＋∞）上单调递增，在（－，0）和（0，）上单调递减．
法二：
f′（x）＝1－.
令f′（x）＞0得x2＞k，即x∈（－∞，－）或x∈（，＋∞），故函数的单调增区间为（－∞，－）和（，＋∞）．
令f′（x）＜0得x2＜k，即x∈（－，0）或x∈（0，），故函数的单调减区间为（－，0）和（0，）．
故函数f（x）在（－∞，－）和（，＋∞）上单调递增，在（－，0）和（0，）上单调递减．
[规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．
2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．
易错警示：
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题
（1）．
[变式训练1] 讨论函数f（x）＝（a>0）在x∈（－1,1）上的单调性.
【导学号：
62172024】
[解] 设－1则f（x1）－f（x2）＝－
＝
＝.
∵－10，
∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，（x－1）（x－1）>0.
∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），
故函数f（x）在（－1,1）上为减函数.
利用函数的单调性求最值
已知f（x）＝，x∈[1，＋∞），且a≤1.
（1）当a＝时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，＋∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
[思路点拨]
（1）先判断函数f（x）在[1，＋∞）上的单调性，再求最小值；
（2）根据f（x）min＞0求a的范围，而求f（x）min应对a分类讨论．
[解]
（1）当a＝时，f（x）＝x＋＋2，f′（x）＝1－＞0，x∈[1，＋∞），
即f（x）在[1，＋∞）上是增函数，∴f（x）min＝f
（1）＝1＋＋2＝.
（2）f（x）＝x＋＋2，x∈[1，＋∞）．
法一：
①当a≤0时，f（x）在[1，＋∞）内为增函数．
f（x）min＝f
（1）＝a＋3.
要使f（x）＞0在x∈[1，＋∞）上恒成立，只需a＋3＞0，
∴－3＜a≤0.
②当0＜a≤1时，f（x）在[1，＋∞）内为增函数，
f（x）min＝f
（1）＝a＋3，
∴a＋3＞0，a＞－3，∴0＜a≤1.
综上所述，f（x）在[1，＋∞）上恒大于零时，a的取值范围是（－3,1]．
法二：
f（x）＝x＋＋2＞0，∵x≥1，∴x2＋2x＋a＞0，
∴a＞－（x2＋2x），而－（x2＋2x）在x＝1时取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即a的取值范围为（－3,1]．
[规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f（x）在闭区间[a，b]上是增函数，则f（x）在[a，b]上的最大值为f（b），最小值为f（a）．
请思考，若函数f（x）在闭区间[a，b]上是减函数呢？
[变式训练2] （2016·北京高考）函数f（x）＝（x≥2）的最大值为________．
2 [法一：
∵f′（x）＝，∴x≥2时，f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）在[2，＋∞）上单调递减，
∴f（x）在[2，＋∞）上的最大值为f
（2）＝2.
法二：
∵f（x）＝＝＝1＋，
∴f（x）的图象是将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝在[2，＋∞）上单调递减，∴f（x）在[2，＋∞）上单调递减，故f（x）在[2，＋∞）上的最大值为f
（2）＝2.
法三：
由题意可得f（x）＝1＋.
∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜≤1，
∴1＜1＋≤2，即1＜≤2.
故f（x）在[2，＋∞）上的最大值为2.]
函数单调性的应用
角度1 比较大小
设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是________.
【导学号：
62172025】
b0.60.6>0.61.5，即b10.6＝1，即c>1.综上，b角度2 解不等式
已知函数f（x）是定义在区间[0，＋∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f（2x－1）＜f的x的解集是________．
[由题意知即
所以≤x＜.]
角度3 求参数的取值范围
（1）如果函数f（x）＝ax2＋2x－3在区间（－∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是________．
（2）已知函数f（x）＝若f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为________．
（1）
（2）（2,3] [
（1）当a＝0时，f（x）＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在（－∞，4）上单调递增；
当a≠0时，二次函数f（x）的对称轴为x＝－，
因为f（x）在（－∞，4）上单调递增，
所以a＜0，且－≥4，解得－≤a＜0.
综上所述，实数a的取值范围是.
（2）要使函数f（x）在R上单调递增，
则有即
解得2＜a≤3，
即实数a的取值范围是（2,3]．]
[规律方法] 1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
易错警示：
（1）若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；
（2）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
[思想与方法]
1．判断函数单调性的四种方法
（1）定义法：
取值、作差、变形、定号、下结论．
（2）复合法：
同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．
（3）图象法：
如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．
（4）导数法：
利用导函数的正负判断函数单调性．
2．求函数最值的常用方法
（1）单调性法：
先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
（2）图象法：
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
（3）换元法：
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
[易错与防范]
1．易混淆两个概念：
“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．
3．函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“∪”连结．
课时分层训练（五）
A组 基础达标
（建议用时：
30分钟）
一、填空题
1．函数y＝（2k＋1）x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________.
【导学号：
62172026】
[由题意知
升级会员 