1718版 第2章 第5课 函数的单调性与最值.docx

1、1718版 第2章 第5课 函数的单调性与最值第5课 函数的单调性与最值最新考纲内容要求ABC函数的单调性函数的最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在区间I上具有单调性，区间I叫作yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数

2、yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M是yf(x)的最大值M是yf(x)的最小值1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，x1x2且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增函数()(2)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(3)函数y|x|是R上的增函数()(4)所有的单调函数都有最值()答案(1)(2)(3)(4)2(2016北京高考改编)下列函数中，在区间(

3、1,1)上为减函数的是_(填序号)y；ycos x；yln(x1)；y2x.中，y在(，1)和(1，)上为增函数，故y在(1,1)上为增函数；中，ycos x在(1,1)上先增后减；中，yln(x1)在(1，)上为增函数，故yln(x1)在(1,1)上为增函数；中，y2xx在R上为减函数，故y2x在(1,1)上是减函数3(教材改编)已知函数f(x)，x2,6，则f(x)的最大值为_，最小值为_2可判断函数f(x)在2,6上为减函数，所以f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).4设函数f(x)x22x，x2，a，若函数的最小值为g(a)，则g(a)_.f(x)x22x(x1)21，当a

4、1时，函数在2,1上递减，在1，a上递增，g(a)1.当2a0)在x(1,1)上的单调性. 【导学号：62172024】解设1x1x21，则f(x1)f(x2).1x1x20，x2x10，x1x210，(x1)(x1)0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故函数f(x)在(1,1)上为减函数.利用函数的单调性求最值已知f(x)，x1，)，且a1.(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围思路点拨(1)先判断函数f(x)在1，)上的单调性，再求最小值；(2)根据f(x)min0求a的范围，而求f(x)min应对a分类讨论解(

5、1)当a时，f(x)x2，f(x)10，x1，)，即f(x)在1，)上是增函数，f(x)minf(1)12.(2)f(x)x2，x1，)法一：当a0时，f(x)在1，)内为增函数f(x)minf(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，3a0.当0a1时，f(x)在1，)内为增函数，f(x)minf(1)a3，a30，a3，0a1.综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3,1法二：f(x)x20，x1，x22xa0，a(x22x)，而(x22x)在x1时取得最大值3，3a1，即a的取值范围为(3,1规律方法利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f

6、(x)在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)请思考，若函数f(x)在闭区间a，b上是减函数呢？变式训练2(2016北京高考)函数f(x)(x2)的最大值为_2法一：f(x)，x2时，f(x)0恒成立，f(x)在2，)上单调递减，f(x)在2，)上的最大值为f(2)2.法二：f(x)1，f(x)的图象是将y的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的y在2，)上单调递减，f(x)在2，)上单调递减，故f(x)在2，)上的最大值为f(2)2.法三：由题意可得f(x)1.x2，x11，01，112，即12.故f(x)在2，)上的最大值为2.函数单调性的

7、应用角度1比较大小设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是_. 【导学号：62172025】bac因为函数y0.6x是减函数，00.60.60.60.61.5，即ba1.因为函数yx0.6在(0，)上是增函数，110.61，即c1.综上，bac.角度2解不等式已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f(2x1)f的x的解集是_由题意知即所以x.角度3求参数的取值范围(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_(2)已知函数f(x)若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为_(1

8、)(2)(2,3(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0.综上所述，实数a的取值范围是.(2)要使函数f(x)在R上单调递增，则有即解得2a3，即实数a的取值范围是(2,3规律方法1.比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决2解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域3利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定

9、义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数易错警示：(1)若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值思想与方法1判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性2求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值易错与防范1易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点3函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“”连结课时分层训练(五)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1函数y(2k1)xb在R上是减函数，则k的取值范围是_. 【导学号：62172026】由题意知